數(shù)學建模習題目及答案解析

1、09級數(shù)模試題1. 把四只腳的連線呈長方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然后稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。試作合理的假設并建立數(shù)學模型說明這個現(xiàn)象。（15分）解：對于此題，如果不用任何假設很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對這個問題我們假設 ：（1）地面為連續(xù)曲面 （2）長方形桌的四條腿長度相同（3）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的（4）方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面?，F(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B

2、、C、D處，A、B,C、D的初始位置在與x軸平行，再假設有一條在x軸上的線ab,則ab也與A、B，C、D平行。當方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時，對角線 ab與x軸的夾角記為。容易看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 為A、B離地距離之和，為C、D離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設（1），,均為的連續(xù)函數(shù)。又由假設（3），三條腿總能同時著地， 故=0必成立（）。不妨設,g（若也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：已知,均為的連續(xù)函數(shù)，,且對任意有，求證存在某一，使。證明：當=時，AB與CD互換位置，故，。作，顯然，也是的連續(xù)函數(shù)，而，由

3、連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，使得，即。又由于，故必有，證畢。 2.學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生 們要組織一個10人的委員會，試用合理的方法分配各宿舍的委員數(shù)。（15分）解：按各宿舍人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比列分配各宿舍的委員數(shù)。設：A宿舍的委員數(shù)為x人，B宿舍的委員數(shù)為y人，C宿舍的委員數(shù)為z人。計算出人數(shù)小數(shù)點后面的小數(shù)部分最大的整數(shù)進1，其余取整數(shù)部分。則 x+y+z=10； x/10=235/1000； y/10=333/1000； z/10=432/1000； ，x,y,z為正整數(shù)；解得：x=3 y=3 z=43.一飼養(yǎng)場每天投入5元資金

4、用于飼料、設備、人力，估計可使一頭80公斤重的生豬每 天增加2公斤。目前生豬出售的市場價格為每公斤8元，但是預測每天會降低元，問該場應該什么時候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤。（15分）解：設在第t天出售這樣的生豬（初始重80公斤的豬）可以獲得的利潤為z元。每頭豬投入：5t元產(chǎn)出：（）（80+2t）元利潤：Z = 5t +（）（80+2t）= t2 + 13t +640 =（t2-65t+4225/4）+3405/4當t=32或t=33時，Zmax=(元)因此，應該在第32天過后賣出這樣的生豬，可以獲得最大利潤。 4. 一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設備甲上用12

5、小時加工成3公斤A1，或者在設備乙上用8小時加工成4公斤A2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A1，A2全部能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天工人總的勞動時間為480小時，并且設備甲每天至多能加工100公斤A1，設備乙的加工能力沒有限制。（1）試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大。（2）33元可買到1桶牛奶，買嗎（3）若買，每天最多買多少（4）可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元 (5)A1的獲利增加到30元/公斤，應否改變生產(chǎn)計劃（15分）解：設：每天生產(chǎn)將x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所獲得的收益為Z元。 加工每桶牛奶的

6、信息表:產(chǎn)品A1A2所需時間12小時8小時產(chǎn)量3公斤4公斤獲利/公斤24元16元(1) x+y0則，牛奶33元/桶 可以買。(3)若不限定牛奶的供應量，則其優(yōu)化條件變?yōu)椋?W=39x+31y解得，當x=0，y=60時 ， Wmax=1860元則最多購買60桶牛奶。(4) 若將全部的利潤用來支付工人工資，設工資最高為n元。 n=Wmax/480=（元）(5)若A1的獲利為30元，則其優(yōu)化條件不變。Z1=90x+64y解得， 當x=0，y=60時，Z1max=3840（元）因此，不必改變生產(chǎn)計劃。 5. 在冷卻過程中，物體的溫度在任何時刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為

7、牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個煮硬了的雞蛋有98，將它放在18的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38，假定沒有感到水變熱，問雞蛋達到20，還需多長時間（15分）解：題意沒有感到水變熱，即池水中水溫不變。設:雞蛋的溫度為T，溫度變化率就是 dT/dt 其中t為時間，水的溫度為T1，則雞蛋與水溫差為 T-T1由題意有： T- T1=kdT/dt (其中k為比例常數(shù)) (1)方程(1)化為 ： dt=kdT/（T- T1） （2）對（2）兩邊同時積分之后并整理一下就得到： t=k*ln（T- T1）+C則 k*ln（98-18）+ C=05=k*ln（38-18）+c t1=k*ln(20

8、-18)+c-k*ln(38-18)+c=（min）所以，還需（min）。6. 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣完的報紙退回。設每份報紙的購進價為，零售價為，退回價為，應該自然地假設。這就是說，報童售出一份報紙賺，退回一份報紙賠。報童如果每天購進的報紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將要賠錢。請你為報童籌劃一下，他應該如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。（15分）解：設：報紙具有時效性每份報紙進價b元，賣出價a元，賣不完退回份報紙c元。設每日的訂購量為n，如果訂購的多了，報紙剩下會造成浪費，甚至陪錢。訂的少了，報紙不夠賣，又會少賺錢。為了獲得最大效益，現(xiàn)在

9、要確定最優(yōu)訂購量n。n的意義。n是每天購進報紙的數(shù)量，確定n一方面可以使報童長期以內(nèi)擁有一個穩(wěn)定的收入，另一方面也可以讓報社確定每日的印刷量，避免紙張浪費。所以，筆者認為n的意義是雙重的。本題就是讓我們根據(jù)a、b、c及r來確定每日進購數(shù)n?；炯僭O1、假設報童現(xiàn)在要與報社簽定一個長期的訂購合同，所以要確定每日的訂購量n。2、假設報紙每日的需求量是r，但報童是一個初次涉足賣報行業(yè)的菜鳥，毫無經(jīng)驗，無法掌握需求量r的分布函數(shù),只知道每份報紙的進價b、售價a及退回價c。3、假設每日的定購量是n。4、報童的目的是盡可能的多賺錢。建立模型應該根據(jù)需求量r確定需求量n，而需求量r是隨機的，所以這是一個風險

10、決策問題。而報童卻因為自身的局限，無法掌握每日需求量的分布規(guī)律，已確定優(yōu)化模型的目標函數(shù)。但是要得到n值，我們可以從賣報紙的結(jié)果入手，結(jié)合r與n的量化關(guān)系，從實際出發(fā)最終確定n值。由常識可以知道賣報紙只有賺錢、不賺錢不賠錢、賠錢會有三種結(jié)果?，F(xiàn)在用簡單的數(shù)學式表示這三種結(jié)果。1、賺錢。賺錢又可分為兩種情況:rn，則最終收益為(a-b)n(1)r0整理得：r/n(b-c)/(a-c)(2)2、由(2)式容易得出不賺錢不賠錢。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3、賠錢。r/nbc,可得a-ca-b，而(a-b)恰好是賣一份報紙賺得的錢。然后采用放縮法，把(2)式中的(a-c)換成(a-b)，得到

11、r/n(b-c)/(a-b)(5)不等式依然成立。由(5)式再結(jié)合(1)式可知收益與n正相關(guān)，所以要想使訂購數(shù)n的份數(shù)越多，報童每份報紙賠錢(b-c)與賺錢(a-b)的比值就應越小。當報社與報童簽訂的合同使報童每份報紙賠錢與賺錢之比越小，訂購數(shù)就應越多。7. 談談你對數(shù)學建模的認識，你認為數(shù)學建模過程中哪些步驟是關(guān)鍵的。（10分） 簡單地說：數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述。 具體一點說：數(shù)學模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。 更確切地說：數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學公式，算法、表格、圖示等。 數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型，建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模的過程（見數(shù)學建模過程流程圖）。 數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。數(shù)學建模的幾個過程 1 模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學語言來描述問題。 2 模型假設：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O。 3 模型建立：在假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻劃各變量之間的數(shù)學關(guān)系