第2講概率隨機變量及其分布列

1、二輪二輪數(shù)學數(shù)學第第2 2講概率、隨機變量及其分布列講概率、隨機變量及其分布列二輪二輪數(shù)學數(shù)學考向分析考向分析核心整合核心整合熱點精講熱點精講閱卷評析閱卷評析二輪二輪數(shù)學數(shù)學考向分析考向分析考情縱覽考情縱覽年份年份考點考點2011201120122012201320132014201420152015古典概型與幾古典概型與幾何概型何概型4 414145 5互斥事件、相互斥事件、相互獨立事件和互獨立事件和獨立重復試驗獨立重復試驗151519(1)19(1)4 418(2)18(2)條件概率條件概率19(1)19(1)5 5離散型隨機變離散型隨機變量的分布列、量的分布列、均值、方差均值、方差19(

2、2)19(2)181819(2)19(2)19(3)19(3)1818二輪二輪數(shù)學數(shù)學真題導航真題導航D D 二輪二輪數(shù)學數(shù)學2.(20152.(2015新課標全國卷新課標全國卷,理理4)4)投籃測試中投籃測試中, ,每人投每人投3 3次次, ,至少投中至少投中2 2次才能次才能通過測試通過測試. .已知某同學每次投籃投中的概率為已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,0.6,且各次投籃是否投中相且各次投籃是否投中相互獨立互獨立, ,則該同學通過測試的概率為則該同學通過測試的概率為( ( ) )(A)0.648(A)0.648(B)0.432(B)0.432(C)0.36(C)0.36 (D)0

3、.312 (D)0.312A A二輪二輪數(shù)學數(shù)學A A二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學備考指要備考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)幾何概型很少考查幾何概型很少考查; ;古典概型可以單獨考查也可以與計數(shù)原理、統(tǒng)計等古典概型可以單獨考查也可以與計數(shù)原理、統(tǒng)計等知識交匯考查知識交匯考查. .(2)(2)條件概率條件概率, ,正態(tài)分布正態(tài)分布, ,互斥、對立事件的概率互斥、對立事件的概率, ,相互獨立事件的概率以及相互獨立事件的概率以及獨立重復試驗獨立重復試驗. .可能出現(xiàn)在客觀題中單獨考查可能出現(xiàn)在客

4、觀題中單獨考查, ,也可能在解答題中與其他知也可能在解答題中與其他知識、綜合考查識、綜合考查, ,難度不大難度不大. .(3)(3)以實際問題為背景以實際問題為背景, ,多與統(tǒng)計結合考查離散型隨機變量的分布列、均值、多與統(tǒng)計結合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差方差; ;多以解答題形式呈現(xiàn)多以解答題形式呈現(xiàn). .2.2.怎么辦怎么辦注重基礎知識、基本思想、基本能力的復習是關鍵注重基礎知識、基本思想、基本能力的復習是關鍵, ,是解決綜合性題目的是解決綜合性題目的基礎基礎. .在復習的過程中一定要注重思想方法的應用和能力的培養(yǎng)在復習的過程中一定要注重思想方法的應用和能力的培養(yǎng), ,注重閱讀注重

5、閱讀能力以及從題目中提取信息的能力的培養(yǎng)能力以及從題目中提取信息的能力的培養(yǎng). .二輪二輪數(shù)學數(shù)學核心整合核心整合1.1.隨機事件的概率隨機事件的概率(1)(1)隨機事件的概率范圍隨機事件的概率范圍:0P(A)1;:0P(A)1;必然事件的概率為必然事件的概率為1;1;不可能事件不可能事件的概率為的概率為0.0.二輪二輪數(shù)學數(shù)學2.2.互斥事件與對立事件互斥事件與對立事件(1)(1)對立事件是互斥事件對立事件是互斥事件, ,互斥事件未必是對立事件互斥事件未必是對立事件; ;4.4.相互獨立事件同時發(fā)生的概率相互獨立事件同時發(fā)生的概率: :若若A,BA,B為相互獨立事件為相互獨立事件, ,則則P

6、(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學a.a.曲線位于曲線位于x x軸軸 , ,與與x x軸不相交軸不相交; ;b.b.曲線是單峰的曲線是單峰的, ,它關于直線它關于直線 對稱對稱; ;上方上方x=x=二輪二輪數(shù)學數(shù)學1 1 越小越小 越大越大 二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(-X+)= P(-X+)= ; ;P(-2X+2)= P(-2X+2)= ; ;P(-3X+3)= P(-3X+3)= . .0.68260.68260.95440.95440.99740.9974二輪二輪數(shù)學

7、數(shù)學溫馨提示溫馨提示 (1)(1)事件互斥與事件相互獨立的區(qū)別事件互斥與事件相互獨立的區(qū)別事件互斥是指在一次試驗中事件互斥是指在一次試驗中, ,兩個事件或多個事件不可能同時發(fā)生兩個事件或多個事件不可能同時發(fā)生, ,而事而事件的相互獨立不要求事件是在一次試驗中件的相互獨立不要求事件是在一次試驗中, ,只要它們互不影響就可以稱只要它們互不影響就可以稱為相互獨立為相互獨立. .(2)(2)獨立重復試驗的條件獨立重復試驗的條件. .滿足獨立重復試驗的條件有兩個滿足獨立重復試驗的條件有兩個, ,一是每一次試驗的結果只有兩個一是每一次試驗的結果只有兩個, ,二是二是在相同條件下在相同條件下, ,試驗可以重

8、復試驗可以重復. .(3)(3)正態(tài)分布的計算主要是通過正態(tài)分布的計算主要是通過33原則以及正態(tài)曲線的性質原則以及正態(tài)曲線的性質: :曲線關于曲線關于x=x=對稱進行計算對稱進行計算. .二輪二輪數(shù)學數(shù)學熱點精講熱點精講熱點一熱點一古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學方法技巧方法技巧 (1)(1)有關古典概型的概率問題有關古典概型的概率問題, ,關鍵是正確求出基本事件總數(shù)關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù), ,此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關知此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關知識識; ;對于較復雜的題目要注意正確分

9、類對于較復雜的題目要注意正確分類, ,分類時應不重不漏分類時應不重不漏. .(2)(2)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時, ,應應考慮使用幾何概型求解考慮使用幾何概型求解; ;利用幾何概型求概率時利用幾何概型求概率時, ,關鍵是試驗的全部結果關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定, ,有時需要設出變量有時需要設出變量, ,在坐標系中表示在坐標系中表示所需要的區(qū)域所需要的區(qū)域. .二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學熱點二熱點二相互獨立事件和獨立重復試驗相互獨

10、立事件和獨立重復試驗二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)求兩人各射擊求兩人各射擊4 4次次, ,甲恰好擊中目標甲恰好擊中目標2 2次且乙恰好擊中目標次且乙恰好擊中目標3 3次的概率次的概率; ;二輪二輪數(shù)學數(shù)學(3)(3)假設每人連續(xù)假設每人連續(xù)2 2次未擊中目標次未擊中目標, ,則終止其射擊則終止其射擊. .問問: :乙恰好射擊乙恰好射擊5 5次后次后, ,被被終止射擊的概率是多少終止射擊的概率是多少? ?二輪二輪數(shù)學數(shù)學方法技巧方法技巧 求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點: :(1)(1)求復雜事件的概率求復雜事件的概率, ,要正確分析復雜事件的構

11、成要正確分析復雜事件的構成, ,看復雜事件能轉化為看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件的積事件, ,然后用相應概率公式求解然后用相應概率公式求解. .(2)(2)一個復雜事件若正面情況比較多一個復雜事件若正面情況比較多, ,反面情況比較少反面情況比較少, ,則一般利用對立事則一般利用對立事件概率公式進行求解件概率公式進行求解. .對于對于“至少至少”“”“至多至多”等問題經(jīng)常也用這種方法求等問題經(jīng)常也用這種方法求解解. .(3)(3)注意辨別獨立重復試驗的基本特征注意辨別獨立重復試

12、驗的基本特征: :在每次試驗中在每次試驗中, ,試驗結果只有發(fā)試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況生與不發(fā)生兩種情況; ;在每次試驗中在每次試驗中, ,事件發(fā)生的概率相同事件發(fā)生的概率相同. .二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率求該選手至多進入第三輪考核的概率. .二輪二輪數(shù)學數(shù)學熱點三熱點三離散型隨機變量的分布列、均值、方差離散型隨機變量的分布列、均值、方差 二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)記記X X為甲、乙、丙三名同學中參加為甲、乙、丙三名同學中參加B B高校自主招生考試的人數(shù)高校自主招生考試的人數(shù), ,求求X X的的分布列及數(shù)學期望分布列及數(shù)學期望. .

13、二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學方法技巧方法技巧 (1)(1)求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件取每一個值所表示的具體事件, ,然后綜合應用各類求概率的公式求出概率然后綜合應用各類求概率的公式求出概率. .(2)(2)求隨機變量的期望的關鍵是正確求出隨機變量的分布列求隨機變量的期望的關鍵是正確求出隨機變量的分布列, ,若隨機變量服若隨機變量服從二項分布從二項分布, ,則可直接使用公式求解則可直接使用公式求解. .(3)(3)對于兩點分布、二項分布、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關對于兩點分布、二項分布、

14、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關公式求解公式求解; ;對于一般類型的隨機事件的期望與方差需列出概率分布列對于一般類型的隨機事件的期望與方差需列出概率分布列, ,用期用期望、方差公式求解望、方差公式求解. .二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)求這求這5050名考生成績在名考生成績在22,3022,30內的人數(shù)內的人數(shù); ;解：解：(2)(2)由題頻率分布直方圖知由題頻率分布直方圖知, ,后兩組頻率為后兩組頻率為(0.03+0.02)(0.03+0.02)4=0.2,4=0.2,人數(shù)為人數(shù)為0.20.250=10,50=10,即該校這即該校這5050名考生聽力成績在名

15、考生聽力成績在22,3022,30內的人數(shù)為內的人數(shù)為10.10.二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學備選例題備選例題【例【例1 1】 (2015(2015山東卷山東卷) )若若n n是一個三位正整數(shù)是一個三位正整數(shù), ,且且n n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字的個位數(shù)字大于十位數(shù)字, ,十位數(shù)字大于百位數(shù)字十位數(shù)字大于百位數(shù)字, ,則稱則稱n n為為“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次數(shù)學趣味活動中在某次數(shù)學趣味活動中, ,每位參加者需從所有的每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”中隨機抽取中隨機抽取1 1個數(shù)個數(shù), ,且

16、只能抽取一次且只能抽取一次. .得分規(guī)則如下得分規(guī)則如下: :若抽取的若抽取的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”的三個數(shù)的三個數(shù)字之積不能被字之積不能被5 5整除整除, ,參加者得參加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)寫出所有個位數(shù)字是寫出所有個位數(shù)字是5 5的的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”; ;二輪二輪數(shù)學數(shù)學(2)(2)若甲參加活動若甲參加活動, ,求甲得分求甲得分X X的分布列和數(shù)學期望的分布列和數(shù)學期望E(X).E(X).二輪二輪數(shù)學數(shù)學解解: : (1) (1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù), ,在在1010場比賽中場比賽中, ,李明投籃命中率超過李明投籃命中率超過0.60.6的場次的場次有有5 5場場, ,分別是主場分別是主場2,2,主場主場3,3,主場主場5,5,客場客場2,2,客場客場4.4.所以在隨機選擇的一場比賽中所以在隨機選擇的一場比賽中, ,李明的投籃命中率超過李明的投籃命中率超過0.60.6的概率是的概率是0.5.0.5.二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學閱卷評析閱卷評析二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學二輪二輪數(shù)學數(shù)學【答題啟示】【答題啟示】1.1.要理解正態(tài)分布中的兩個重要參數(shù)要理解正態(tài)分布中