第三章第二節(jié)函數(shù)的微分法ppt課件

1、3.2 函數(shù)微分法求導(dǎo)法則）一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、高階導(dǎo)數(shù)的定義四、高階導(dǎo)數(shù)的定義五、高階導(dǎo)數(shù)的求法，五、高階導(dǎo)數(shù)的求法， 萊布尼茲公式萊布尼茲公式并并且且可可導(dǎo)導(dǎo)處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxv

2、xuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在xxf推論推論; )( )()1(11 n

3、iiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf4、例題分析例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin

4、 xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)

5、的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以增量以增量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sinyydydx且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arct

6、an2xx .11)cot(2xx arc . ,)(eea)x(- lnln)(log1)(dxdy 0 0ln1log ), 0(log x ) 1, 0( 21xaxxxxaxaxeeeaeaaayyayayydydxyaaay）時，（當(dāng)時，特別地，當(dāng)）（）（內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且在解：的導(dǎo)數(shù)。求例例例3 3.sinh的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh ).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為可

7、可導(dǎo)導(dǎo)在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點而而可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t)證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdudu

8、dydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 例例1 1.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例2 2.)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例3 3.arcsin22222的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例4 4.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解

9、解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例5 5.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx .)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 四、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率

10、率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱

11、為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf五、高階導(dǎo)數(shù)的求法，萊布尼茲公式例例7 7).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).任意階導(dǎo)數(shù)。具有階導(dǎo)必為零。且多項式次多項式的結(jié)論：例：1. 0 , 6 , 26123 2nnyyxyxxynxnxxaaaaaay)(ln)() 1, 0()(例：例例8 8.),()(nyRxy求

12、求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例9 9.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(.(數(shù)學(xué)歸納數(shù)學(xué)歸納法

13、證明法證明) ) ,)1 (!) 1()11(1)()(nnnxnx ,)(!) 1()1(1)()(nnnxanxa ,)1 (!)11(1)(nnxnx ,)1 (!) 1()11(1)()(nnnnaxanax例例1010.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()2) 1(sin()2sin()(cos)()(nxnxxxnn,同理可得同理可得例例1111.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaey

14、axaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2. 高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲

15、公式萊布尼茲公式例例1212.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanx

16、nxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則運算，通過四則運算，1)(!)1()1( nnnxnx 變量代換等方法變量代換等方法, 求求n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).例例1313.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1414.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x