第五章(第6,7,8節(jié))多自由度系統(tǒng)的振動

1、多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析 目前，只介紹了離散系統(tǒng)的自由振動，并在第目前，只介紹了離散系統(tǒng)的自由振動，并在第5.4節(jié)中討論了如何用振型分析方法來確定一個節(jié)中討論了如何用振型分析方法來確定一個n自由度無自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。 振型分析振型分析能夠用來導(dǎo)出無阻尼系統(tǒng)對任意激勵的能夠用來導(dǎo)出無阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)，在某些情況下，也可以導(dǎo)出有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。響應(yīng)，在某些情況下，也可以導(dǎo)出有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。 不計阻尼時，不計阻尼時，n自由度系統(tǒng)的強迫振動微分方程為自由度系統(tǒng)的強迫振動微分方

2、程為 tttMqKqF(5.6-1)式中式中M和和K為為nn階的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，階的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，n維向量維向量q(t)和和F(t) 分別表示廣義坐標(biāo)和廣義力。分別表示廣義坐標(biāo)和廣義力。 方程方程(5.6-1)構(gòu)成了構(gòu)成了n個聯(lián)立的個聯(lián)立的常系數(shù)的常微分方常系數(shù)的常微分方程組。程組。雖然這些方程是線性的，但求解也并非是件容易雖然這些方程是線性的，但求解也并非是件容易的事。的事。 用用振型分析振型分析來求解就要方便得多，振型分析的基來求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是將聯(lián)立的方程組變換成為互不相關(guān)的方程組，本思想就是將聯(lián)立的方程組變換成為互不相關(guān)的方程組，其其變換矩陣就是振型矩陣

3、變換矩陣就是振型矩陣。 為了用振型分析去求解方程為了用振型分析去求解方程(5.6-1)，首先必須求解首先必須求解特征值問題特征值問題，即，即2KuMu(5.6-2)式中式中u為振型矩陣，為振型矩陣， 2是固有頻率平方的對角矩陣。振是固有頻率平方的對角矩陣。振型矩陣可以正則化，使其滿足型矩陣可以正則化，使其滿足TT, I2u Muu Ku (5.6-3)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析 引入正則坐標(biāo)，作如下的線性變換引入正則坐標(biāo)，作如下的線性變換式中式中 (t)為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的正則坐標(biāo)正則坐標(biāo)。 因為因為u是一個常數(shù)矩陣是一個常

4、數(shù)矩陣,所以所以 和和 之間存在著之間存在著同樣的變換。把式同樣的變換。把式(5.6-4)代入方程代入方程(5.6-1)，得，得( ) tq ( ) t ttqu(5.6-4) tttMuKuF(5.6-5)方程方程(5.6-5)左乘以左乘以uT，有，有 TTTtttu Muu Kuu F(5.6-6)考慮到方程考慮到方程(5.6-3)，得到得到 ttt2 N(5.6-7)式中式中N(t)=uTF(t)是與廣義坐標(biāo)向量是與廣義坐標(biāo)向量 (t)相應(yīng)的相應(yīng)的n維廣義力維廣義力向量，即向量，即正則激勵正則激勵。 多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型

5、分振型分析析 因為因為 2是對角矩陣，故方程是對角矩陣，故方程(5.6-7)表示一組互不相表示一組互不相關(guān)的方程，即關(guān)的方程，即 tNttrrrr2 ), 2 , 1(nr(5.6-8)方程方程(5.6-8)具有與單自由度系統(tǒng)的運動微分方程相同的具有與單自由度系統(tǒng)的運動微分方程相同的結(jié)構(gòu)，可作為結(jié)構(gòu)，可作為n個獨立的單自由度系統(tǒng)來處理。個獨立的單自由度系統(tǒng)來處理。 設(shè)廣義坐標(biāo)設(shè)廣義坐標(biāo)q(t)的初始條件為的初始條件為 000,0qqqq(5.6-9)由式由式(5.6-4)的變換的變換 (t)=u-1q(t)，有有 1100000,0u qu q(5.6-10)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)

6、求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析也可以在坐標(biāo)變換式也可以在坐標(biāo)變換式(5.6-4)兩邊同時左乘兩邊同時左乘uTM，得，得TT0000,u Mqu Mq(5.6-11) 由初始條件引起方程由初始條件引起方程(5.6-8)的的齊次解齊次解為為 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr (5.6-12)式中式中 和和 為第為第r階模態(tài)在正則坐標(biāo)中的初始條件。階模態(tài)在正則坐標(biāo)中的初始條件。 0r0r 任意激勵任意激勵Nr(t)的特解可以由卷積積分給出，即的特解可以由卷積積分給出，即 trrrrtNt 0 dsin1), 2 , 1(nr(5.6-13)

7、多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析自由振動初始條件的響應(yīng)自由振動初始條件的響應(yīng)所以第所以第r階模態(tài)的全解是由激勵階模態(tài)的全解是由激勵Nr(t)引起的響應(yīng)和初始引起的響應(yīng)和初始條件引起的響應(yīng)之和條件引起的響應(yīng)之和廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)是廣義坐標(biāo)的響應(yīng)是廣義坐標(biāo) (t)的響應(yīng)的疊加，則有的響應(yīng)的疊加，則有因此，將正則坐標(biāo)的全解因此，將正則坐標(biāo)的全解(5.6-14)代入方程代入方程(5.6-15)就可就可以得到無阻尼以得到無阻尼n自由度系統(tǒng)的全部響應(yīng)。自由度系統(tǒng)的全部響應(yīng)。 1nrrrtttquu(5.6-15)(5.6-14

8、) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） 例例5.6-1 考慮圖考慮圖5.6-1所示系統(tǒng)，在系統(tǒng)上作用有激所示系統(tǒng)，在系統(tǒng)上作用有激勵向量勵向量F(t)=0 F0u(t)T，u(t)為單位階躍函數(shù)。求在零初為單位階躍函數(shù)。求在零初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)。始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：系統(tǒng)的運動微分方程系統(tǒng)的運動微分方程為了用振型分析方法求解，為了用振型分析方法求解，首先首先要解特征值問題要解

9、特征值問題，得，得 11220102102120qqmkqqF u t 111 0000000.796226,1 366025.k.mu圖圖 5.9-1 221 0000001 538188,0 366025.k.mu對振型向量進行正則化對振型向量進行正則化，而后把振型向量排列成振型矩，而后把振型向量排列成振型矩陣陣0.4597010.88807410.6279630.325057mu利用振型矩陣作線性變換利用振型矩陣作線性變換 T00.6279630.325057Fu tmN tu F t例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） tmFtumFtt

10、1210 0 1101cos10.627963dsin1627963. 0 tmFtumFtt2220 0 2202cos10.325057dsin1325057. 0將上式代入方程將上式代入方程(5.6-14)，得，得例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1）那么廣義坐標(biāo)那么廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)為的響應(yīng)為 tmk.tmk.kFttmFtq5381881cos112200907962260cos14552950 cos11325057. 0888074. 0cos11627963. 0459701. 0022212101 tmk.tmk.kFttmF

11、tq5381881cos104465807962260cos16219450 cos11325057. 0cos11627963. 002222121202例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)例題：單位階躍激勵初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） 例例5.6-2 若圖若圖5.6-1所示系統(tǒng)的作用力向量為所示系統(tǒng)的作用力向量為F(t)=0 F0sin tT，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：根據(jù)前題，利用振型矩陣根據(jù)前題，利用振型矩陣u進行變換的正則激進行變換的正則激勵向量為勵向量為 T00.627963sin0.325057FtmN tu F t將上式代入將上式代入(5.6-14)，得，得 d

12、sinsin1627963. 0 0 1101ttmFt2121121011sinsin0.627963ttmF例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）最后，得最后，得 dsinsin1325057. 0 0 1202ttmFt2222222011sinsin325057. 0ttmF 21211210111sinsin1455295. 0ttmFtq222222211sinsin1122009. 0tt例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）可見，由方程可見，由方程(5.6-14)得到的解，包含由外加激得到的解，包含由外加激勵作

13、用于系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。勵作用于系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。當(dāng)存當(dāng)存在阻尼時，瞬態(tài)響應(yīng)將很快衰減。若只考慮強迫在阻尼時，瞬態(tài)響應(yīng)將很快衰減。若只考慮強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則只取則只取sint項。項。 21211210211sinsin1621945. 0ttmFtq222222211sinsin1044658. 0tt例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡諧激勵系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼概述阻尼概述 在工程實際中，在工程實際中，阻尼總是存在的阻尼總是存在的( (如摩擦、如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、粘性阻尼速度平方

14、阻尼、材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、粘性阻尼等等) )，并對系統(tǒng)的振動產(chǎn)生影響。，并對系統(tǒng)的振動產(chǎn)生影響。 由于各種阻尼的機理比較復(fù)雜，在線性系由于各種阻尼的機理比較復(fù)雜，在線性系統(tǒng)振動分析計算中，需統(tǒng)振動分析計算中，需將各種阻尼簡化為粘性阻將各種阻尼簡化為粘性阻尼，其阻尼力的大小與速度的一次方成正比尼，其阻尼力的大小與速度的一次方成正比。 阻尼系數(shù)須阻尼系數(shù)須由工程上各種理論與經(jīng)驗公式由工程上各種理論與經(jīng)驗公式給出，或直接根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定。給出，或直接根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定。多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼矩陣的特點及幾種常用的阻尼阻尼矩陣的特點及幾種常用的阻尼 對于一般粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外

15、激勵的作對于一般粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵的作用下，系統(tǒng)的運動微分方程為用下，系統(tǒng)的運動微分方程為 ttttMqCqKqF(5.7-1) 式中質(zhì)量矩陣式中質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣、剛度矩陣K和外激勵向量和外激勵向量F(t)的意義與的意義與前面相同，而阻尼矩陣前面相同，而阻尼矩陣C的形式為的形式為ijCcnji, 2 , 1,(5.7-2) 阻尼矩陣阻尼矩陣C一般為正定或半正定的對稱矩陣。一般為正定或半正定的對稱矩陣。 1. .比例阻尼：比例阻尼：若阻尼矩陣若阻尼矩陣C恰好與質(zhì)量矩陣恰好與質(zhì)量矩陣M或剛或剛度矩陣度矩陣K成正比，或者成正比，或者C是是M與與K的某種線性組合，即的某種線性組合，即

16、abCMK (5.7-3)式中式中a和和b為正的常數(shù)，稱這種阻尼為比例阻尼。為正的常數(shù)，稱這種阻尼為比例阻尼。 多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 對這種比例阻尼來說，當(dāng)廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成正則坐標(biāo)對這種比例阻尼來說，當(dāng)廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成正則坐標(biāo)時，時，在正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣將是一個對角矩陣在正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣將是一個對角矩陣，即使，即使用無阻尼系統(tǒng)的正則振型矩陣用無阻尼系統(tǒng)的正則振型矩陣u可以使可以使C對角化，即有對角化，即有TTTT21222nuababababababCuuMK uu Muu KuI(5.7-4)幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼1 比例阻尼比例阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻

17、尼稱稱 r為為振型比例阻尼振型比例阻尼?？梢钥闯觯?。可以看出，令a=0，而，而b0有有 這意味著在各個振型振動中，這意味著在各個振型振動中，阻尼正比于該振型所對阻尼正比于該振型所對應(yīng)的固有頻率應(yīng)的固有頻率。令令22rrrab (5.7-5)或?qū)懗苫驅(qū)懗?2rrrab(5.7-6)2rrb(5.7-7)幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼2 振型比例阻尼振型比例阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 適當(dāng)?shù)剡x取適當(dāng)?shù)剡x取a和和b的值，就有可近似地反映實際振的值，就有可近似地反映實際振動中出現(xiàn)的傾向性。動中出現(xiàn)的傾向性。幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼2振型比例阻尼振型比例阻尼2rra(5.7-8)這意味

18、著在各個振型振動中，這意味著在各個振型振動中，阻尼反比于該振型所對應(yīng)阻尼反比于該振型所對應(yīng)的固有頻率。的固有頻率。 若若b=0，而，而a0，有，有多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 再討論方程再討論方程（5.7-1）的解耦問題?？梢钥吹剑欠竦慕怦顔栴}。可以看到，是否能利用正則坐標(biāo)變換進行解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣是否能利用正則坐標(biāo)變換進行解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣是否能對角化。能對角化。 有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題 uTCu一般不是對角陣。一般不是對角陣。在工程實際的振動系統(tǒng)中，在工程實際的振動系統(tǒng)中，經(jīng)常遇到的是阻尼比較小的情況，經(jīng)常遇到的是阻尼比較小的情況，這時，由這時，由u

19、TCu的非對的非對角項引起的耦合很少出現(xiàn)大于或者遠大于對角項的情況。角項引起的耦合很少出現(xiàn)大于或者遠大于對角項的情況。因此，略去因此，略去uTCu非對角線元素組成的各阻尼項，即令非對角線元素組成的各阻尼項，即令uTCu的所有非對角線元素的值為零，不會引起很大的誤的所有非對角線元素的值為零，不會引起很大的誤差。差。 多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 對應(yīng)正則坐標(biāo)的阻尼矩陣就可以表為對角矩陣，即對應(yīng)正則坐標(biāo)的阻尼矩陣就可以表為對角矩陣，即1122T222nn u Cu(5.7-9)因此，就可以把振型疊加法有效地推廣到有阻尼的多自因此，就可以把振型疊加法有效地推廣到有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動問題

20、的分析求解。由度系統(tǒng)的振動問題的分析求解。 有阻尼的多自由度系統(tǒng)的正則坐標(biāo)的運動微分方程有阻尼的多自由度系統(tǒng)的正則坐標(biāo)的運動微分方程為為 22rrr t t tN t(5.7-10)有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 實踐經(jīng)驗表明，它一般實踐經(jīng)驗表明，它一般適用于振型阻尼比適用于振型阻尼比r不大不大于于0.2的弱阻尼系統(tǒng)。的弱阻尼系統(tǒng)。或展開為或展開為(5.7-11) 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 若系統(tǒng)的阻尼較大，不能用無阻尼系統(tǒng)的振型矩若系統(tǒng)的阻尼較大，不能用無阻尼系統(tǒng)的振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣陣使方程解耦，即阻尼矩陣

21、C不能對角化，也有一般的不能對角化，也有一般的理論適用于這種情況，它將包含復(fù)特征值和復(fù)特征向量，理論適用于這種情況，它將包含復(fù)特征值和復(fù)特征向量，這個問題已超出了本書的范圍。這個問題已超出了本書的范圍。 有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題有阻尼振動系統(tǒng)解耦問題有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 對于有阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵的作用下，對于有阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵的作用下，系統(tǒng)的運動微分方程為系統(tǒng)的運動微分方程為 Mq tCq tKq tF t 假設(shè)有粘性阻尼系統(tǒng)的運動微分方程中的阻尼矩陣假設(shè)有粘性阻尼系統(tǒng)的運動微分方程中的阻尼矩陣C可以實現(xiàn)對角化，可以實現(xiàn)

22、對角化，利用正則坐標(biāo)變換解耦后，得到利用正則坐標(biāo)變換解耦后，得到有有阻尼系統(tǒng)的運動微分方程為阻尼系統(tǒng)的運動微分方程為 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1根據(jù)式根據(jù)式(5.7-9)得振型阻尼比得振型阻尼比 r為為 T2rrrruCunr, 2 , 1(5.8-1)多自由度有阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度有阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法對應(yīng)第對應(yīng)第r階正則坐標(biāo)階正則坐標(biāo) r(t)模態(tài)力向量為模態(tài)力向量為 TrrNtuF tnr, 2 , 1(5.8-2) 激勵類型：激勵類型：簡諧激勵

23、；簡諧激勵；周期激勵；周期激勵；任意激勵。任意激勵。多自由度有阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度有阻尼系統(tǒng)對任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法1簡諧激勵簡諧激勵 假定一個具有粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，它的各廣假定一個具有粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，它的各廣義坐標(biāo)上有同頻率、同相位的簡諧激勵作用。義坐標(biāo)上有同頻率、同相位的簡諧激勵作用。令令將方程將方程(5.7-11)寫程復(fù)數(shù)形式寫程復(fù)數(shù)形式 sint0F tF(5.8-3) 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1(5.8-4)式中式中 T0rrN

24、0uF(5.8-5)多自由度有阻尼系統(tǒng)對多自由度有阻尼系統(tǒng)對簡諧激振簡諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法式中式中這里這里Hr()，r和和r分別為相應(yīng)于正則坐標(biāo)的放大因子，分別為相應(yīng)于正則坐標(biāo)的放大因子，相位角和頻率比。相位角和頻率比。 則正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為則正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 02sin(-)rrrrrNtHt (5.8-6) 222112rrrrH (5.8-7)122tg1rrrr (5.8-8)rr(5.8-9)多自由度有阻尼系統(tǒng)對多自由度有阻尼系統(tǒng)對簡諧激振簡諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)

25、振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法因此因此系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為可以表示為(5.8-10) 02222sin12rrrrrrrNtt 則則原廣義坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)原廣義坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為為 1T022221sin12nrrrrrnrrrrrrtt q tuuuF(5.8-11)多自由度有阻尼系統(tǒng)對多自由度有阻尼系統(tǒng)對簡諧激振簡諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 不難看出，當(dāng)外激勵頻率不難看出，當(dāng)外激勵頻率與系統(tǒng)第與系統(tǒng)第

26、r階固有頻率階固有頻率r值比較接近時，即值比較接近時，即r=/r1，這時第，這時第r階正則坐標(biāo)階正則坐標(biāo)r(t)的穩(wěn)態(tài)強迫振動的振幅值就會很大，這與單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)強迫振動的振幅值就會很大，這與單自由度系統(tǒng)的共振現(xiàn)象是完全類似的。的共振現(xiàn)象是完全類似的。 2周期激勵周期激勵 如果系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用的外激勵為具有同一周期的如果系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用的外激勵為具有同一周期的周期力，則可將各外力周期力，則可將各外力先按傅里葉級數(shù)先按傅里葉級數(shù)展開，即展開，即 10sincos2jjjrtjbtjaatN(5.8-12)式中系數(shù)式中系數(shù)a0，aj和和bj可用第三章可用第三章3.2節(jié)給出的公式計算。節(jié)給出的公

27、式計算。有阻尼系統(tǒng)對有阻尼系統(tǒng)對一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 把外激勵各簡諧分量所引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)強迫振動把外激勵各簡諧分量所引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)強迫振動解分別求出，然后將各解疊加起來，就得到系統(tǒng)在這種解分別求出，然后將各解疊加起來，就得到系統(tǒng)在這種周期力作用下的響應(yīng)周期力作用下的響應(yīng) 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat(5.8-13)式中式中 2222112rjrrrHjjj(5.8-14)1222tg1rrrjrjj(5.8-15)rr(5.8-16)

28、有阻尼系統(tǒng)對有阻尼系統(tǒng)對一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 對于任意階正則坐標(biāo)響應(yīng)對于任意階正則坐標(biāo)響應(yīng)r(t) (r=1,2,n)，是由是由各個不同頻率的激勵引起的響應(yīng)疊加而成。各個不同頻率的激勵引起的響應(yīng)疊加而成。 因而，就一般周期性激勵函數(shù)來說，產(chǎn)生共振的因而，就一般周期性激勵函數(shù)來說，產(chǎn)生共振的可能性要比簡諧函數(shù)大的多。所以很難預(yù)料各振型中哪可能性要比簡諧函數(shù)大的多。所以很難預(yù)料各振型中哪一振型將受到激勵的強烈影響。一振型將受到激勵的強烈影響。 但是，當(dāng)激勵函數(shù)展成傅里葉級數(shù)之后

29、，每一個但是，當(dāng)激勵函數(shù)展成傅里葉級數(shù)之后，每一個激勵頻率激勵頻率j 可以和每個固有頻率可以和每個固有頻率 r相比較，從而預(yù)先推相比較，從而預(yù)先推測出強烈振動所在。測出強烈振動所在。 有阻尼系統(tǒng)對有阻尼系統(tǒng)對一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法原坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為原坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 10211cos2sinnrrrrnrjjrjrjrjrjtaHjaj tbj tq tuu(5.8-17)3任意激勵任意激勵 對于外力是一般任意隨時間變化的激勵，用振型疊對于外力是一般任意隨時間變化的激勵，用振型疊加法也很容易求出各廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。加法也很容易求出各廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。 有阻尼系統(tǒng)對有阻尼系統(tǒng)對一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 000 0ecossin1e