概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)區(qū)間估計(jì)

1、第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念二、典型例題二、典型例題三、小結(jié)三、小結(jié)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念1. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義1121221212( ; ), (01), ,(,)(,) (,)(,)1, nnnnnXF xXXXXPXXXXXXXXXXX設(shè)總體的分布函數(shù)含有一個(gè)未知參數(shù)對(duì)于給定值若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和滿足, ,( , )1 1.1 則稱是 的為和分別稱為的置信隨機(jī)區(qū)間置信度的置信區(qū)間置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間下和置信為上限置信度限關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明.) ,( , , , 是是隨隨機(jī)機(jī)的的而而區(qū)區(qū)間間沒沒有有隨隨機(jī)機(jī)性性但但它它是是一一個(gè)

2、個(gè)常常數(shù)數(shù)雖雖然然未未知知被被估估計(jì)計(jì)的的參參數(shù)數(shù) : 1),(),(2121的的本本質(zhì)質(zhì)是是因因此此定定義義中中下下表表達(dá)達(dá)式式 nnXXXXXXP( , ) 1, 1( , ). 隨機(jī)區(qū)間以的概率參數(shù) 的真值而說參數(shù) 以的概率隨機(jī)區(qū)間不能落入包含著 : 1),(),(2121還可以描述為還可以描述為另外定義中的表達(dá)式另外定義中的表達(dá)式 nnXXXXXXP若反復(fù)抽樣多次若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) ), ,( 間間每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)按按伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理, 在這樣多的區(qū)間中在這樣多的區(qū)間中, .%100 ,)%1(

3、100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 ,每個(gè)這樣的區(qū)間或包含的真值或不包含的真值例如例如 , 1000 0.01, 次次反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣若若 .10 1000 個(gè)個(gè)真值的約為真值的約為個(gè)區(qū)間中不包含個(gè)區(qū)間中不包含則得到的則得到的 2. 求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟( (共共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括數(shù)數(shù)且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求一個(gè)樣本尋求一個(gè)樣本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出兩個(gè)

4、常數(shù)出兩個(gè)常數(shù)定定對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度, a b： 可以任意找，只要滿足區(qū)間概率要求即可，注一般找對(duì)稱的。. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為是是就就那那么么都都是是統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量其其中中不不等等式式得得到到等等價(jià)價(jià)的的若若能能從從 nnnXXXXXXbXXXZa212121(,(,3 ,)(,; ),)1nnnaZ XXXXXXXXPbX 步驟（ ）實(shí)質(zhì)是：由滿足 的不等式，來解出關(guān)于未知參數(shù) 的不等式從而得到其上下限。.,1,區(qū)間估計(jì)精度降低區(qū)間估計(jì)精度降低可信程度增大可信程度增大間長(zhǎng)度增大間長(zhǎng)度增大

5、置信區(qū)置信區(qū)增大增大置信水平置信水平固定固定樣本容量樣本容量 n.,1區(qū)間估計(jì)精度提高區(qū)間估計(jì)精度提高可信程度不變可信程度不變間長(zhǎng)度減小間長(zhǎng)度減小置信區(qū)置信區(qū)增大增大樣本容量樣本容量固定固定置信水平置信水平n 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出二、典型例題.1,),( ,)0(, 021的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信水水平平為為求求給給定定的的樣樣本本是是來來自自總總體體未未知知其其中中上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè)總總體體 XXXXXn解解, ,max 21nhXXXX 令令由上節(jié)例由上節(jié)例4可

6、知可知, ,1的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是 hXnn 的的概概率率密密度度為為因因?yàn)闉閔X ., 0,0,)(1其他其他 xnxxfnn例例1, hXZ ., 0, 10,)(1其他其他znzzgn其概率密度為其概率密度為 , )10(, baba可可定定出出兩兩個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于給給定定的的 ,1 bXaPh滿足條件滿足條件,d1 1nnbanabznz 即即,1 aXbXPhh.,為為置置信信區(qū)區(qū)間間 aXbXhh 的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量考察包括待估參數(shù)考察包括待估參數(shù) 解解.1 , , , ),(,2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為的置信水平的置信水平求求為未知為未知為已知為已知其中其中的樣本

7、的樣本是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體設(shè)設(shè) NXXXn , 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是因?yàn)橐驗(yàn)?X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/數(shù)的數(shù)的是不依賴于任何未知參是不依賴于任何未知參NnX 例例2 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義知知由由標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上 ., 1 2/2/ znXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成.2/ znX其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為. 22/ zn ,05. 0 , 1 ,16 2 n中中取取如如果果在在例例,9

8、6. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信區(qū)間的置信區(qū)間得一個(gè)置信水平為得一個(gè)置信水平為由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值,20. 5 x則置信區(qū)間為則置信區(qū)間為),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的的置置信信區(qū)區(qū)間間是是不不唯唯一一的的置置信信水水平平為為注注意意 ,05. 0 2 中如果給定中如果給定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 則則又又有有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為

9、的的置置信信水水平平也也是是故故 znXznX其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為. )(01. 004. 0zzn 比較兩個(gè)置信區(qū)間的長(zhǎng)度比較兩個(gè)置信區(qū)間的長(zhǎng)度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 顯顯然然置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高.說明說明: 對(duì)于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)對(duì)于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況軸對(duì)稱的情況, 易證取易證取a和和b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),能使能使置信區(qū)間長(zhǎng)度最小置信區(qū)間長(zhǎng)度最小.今抽今抽9件測(cè)量其長(zhǎng)度件測(cè)量其長(zhǎng)度, 得數(shù)據(jù)如下得數(shù)據(jù)如下(單位單位:m

10、m): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/2/ znXznX的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為得得根根據(jù)據(jù)例例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信度度為為 ),16,( NX 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布設(shè)設(shè)某某工工件件的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度. 95 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信水水平平為為試試求求參參數(shù)數(shù) 例例3二、 2未知時(shí) 的置信區(qū)間 這時(shí)可用t 統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，因此 t 可以用來作為樞軸量

11、?？傻玫?的1-置信區(qū)間為： 此處 是 2的無偏估計(jì)。 () (1)n xtt ns22(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxxn例4 設(shè)x1, x2 , , x10是來自N(, 2)的樣本，則 的置信水平為1- 的置信區(qū)間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 若取 =0.10，則t0.05(9)=1.8331，上式化為：22(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx例5n課本p.196 例1三、小結(jié) 點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度, 故而本節(jié)引入故而本節(jié)引入了區(qū)間估計(jì)了區(qū)間估計(jì).求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般

12、步驟(分三步分三步).1 , )( ),( P有有意的意的即對(duì)于任即對(duì)于任置信水平置信水平數(shù)具有預(yù)先給定的概率數(shù)具有預(yù)先給定的概率它覆蓋未知參它覆蓋未知參間間置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)例 設(shè)x1, x2 , , x10是來自N(, 2)的樣本，則 的置信水平為1- 的置信區(qū)間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這里用它來說明置信區(qū)間的含義。 若取 =0.10，則t0.95(9)=1.8331，上式化為1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx 現(xiàn)假定 =15, 2 =4，則我們可以用隨機(jī)模擬方法由N(15,4)產(chǎn)生一個(gè)容量為10的樣本，如下即是這樣一個(gè)樣本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由該樣本可以算得 從而得到 的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為 該區(qū)間包含 的真值-15?，F(xiàn)重復(fù)這樣的方法100次，可以得到100個(gè)樣本，也就得到100個(gè)區(qū) 間，我們將這100個(gè)區(qū)間畫在圖6.4.1上。 14.7053,1.8438xs14.7053 0.5797 1.8438, 14