教學(xué)目的掌握常見(jiàn)一階微分方程的求解 方法

1、教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握常見(jiàn)一階微分方程的求解掌握常見(jiàn)一階微分方程的求解 方法方法難難 點(diǎn)：點(diǎn)：一階線性非齊次微分方程的一階線性非齊次微分方程的 通解通解 重重 點(diǎn)：點(diǎn)：可分離變量的微分方程、齊可分離變量的微分方程、齊 次方程和一階線次方程和一階線 性微分方程性微分方程一階微分方程一階微分方程解法解法可分離變量法可分離變量法齊次微分方程齊次微分方程一階線性一階線性微分方程微分方程解題步驟解題步驟一階齊次一階齊次微分方程微分方程一階非齊次一階非齊次微分方程微分方程常數(shù)變異法常數(shù)變異法通解通解伯努利方程伯努利方程dxxfdyyg)()( 則稱為可分離變量的微分方程則稱為可分離變量的微分方程. .5

2、422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yG和和)(xF是依次為是依次為)(yg和和)(xf的原函的原函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的通解為微分方程的通解.分離變量法分離變量法如果一階微分方程能化為如果一階微分方程能化為例例 求解微分方程求解微分方程.2dyxydx的通解解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分得兩端積分得,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xcey 故故:解解 分離變量，分離變量， 得得 dxxxdyyy)1 (1122dxxxxdyyy22111Cxxyln21)1ln(21l

3、n)1ln(2122兩邊積分兩邊積分)ln(1)(1ln(222Cxyx）因此，因此， 通解為通解為 222(1)(1)xyCxCR于是，于是， 所求特解為所求特解為 22210)1)(1 (xyx例題例題)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uuf xdxuufdu)(得得例例 求解微分方程求解微分方程，令令xyu ，則則udxxdudy 把

4、變量代回得微分方程的解為把變量代回得微分方程的解為解解.tan2xyxyy.tan2xdxudu.lnlnln2sinln2cxcxu.sin2cxu .sin2cxxy例例 求解微分方程解解11yxdxdy令,xyu 則,yxudxdudxdy1111udxduudxdu1分離變量， 并兩邊積分 Cxu22Cxyx2)(2微分方程的通解為回主視圖回主視圖)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為一階線性一階線性齊次方程齊次方程.上方程稱為上方程稱為一階線性非一階線性非齊次方程齊次方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如

5、,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.回主視圖回主視圖. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey線性齊次方程線性齊次方程(使用分離變量法使用分離變量法)一階線性齊次微分方程解法一階線性齊次微分方程解法回主視圖回主視圖 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論: 設(shè)設(shè)y=f(x)是解是解, 則則,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 變變形形積分積分,)()()()(ln dxx

6、PdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齊方程通解形式非齊方程通解形式( )( ) ( )( )df xP x f xQ xdx,)()()( dxxfxQexc記記 dxxpexcxfy)()()(回主視圖回主視圖把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .設(shè)解為設(shè)解為 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和將將yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 積分得積分得)()

7、()(CdxexQeydxxPdxxP 非齊方程通解非齊方程通解例例 求解微分方程 cot2 sin .yyxxx 對(duì)應(yīng)齊次方程為cot0yyx1cotdyxdxycotlnsinsinxdxxyCeCeCx( )sin .yC xx令( )sin( )cosyC xxC xx則有: xxC2)(CxxC2)(故所求通解為2()sinyxCx分離變量得兩邊積分有 代入原非齊次方程， 得.sin2)(,cot)(xxxQxxP).(sin)2(sin)sin1sin2(sin)sin2()sin2(2sinlnsinlncotcotCxxCxdxxCdxxxxxCdxexxeCdxxexeyxxxdxxdx根據(jù)公式有根據(jù)公式有:一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxx