高等數(shù)學(xué)課件D傅里葉級(jí)數(shù)

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-231第七節(jié)第七節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 第十二章 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-232一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).

2、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-233xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00sinsinxxnxkd同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0sincosxxnxkd)(nk 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-234上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2x

3、xn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-235二、二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2d)(nnnxxnbxxnaxaxxf0a,對(duì)在逐項(xiàng)積分, 得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、 2022-4-236xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-237葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxx

5、fbn的傅里里的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) .稱為函數(shù))(xf簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-238定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2 的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展

6、成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-239yx例例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),0,10,1)(xxxf解解: 先求傅里葉系數(shù)dcos)(1xnxxfan00dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). O11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2310dsin)(1xnxxfbn0011( 1)sind1 sindnxxnx x01cosnxn01cosnxn21 cos nn21 ( 1)nn 4,n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)4( )sin f

7、 xxx3sin31xkk) 12sin(121(,0,2 ,)xx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2311yx11O),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于02112) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x說(shuō)明說(shuō)明:), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖.Oyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2312例例2. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 上的表達(dá)式為),0,00,)(xxxxf將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).解解: 0d)(1xxfa0dcos1xxnxdcos)

8、(1xnxxfan0d1xx0221x202cossin1nnxnnxx21 cosnn它在 xyO2332目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2313), 2, 1(ndsin)(1xnxxfbnnn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx32231x4sin41 5sin 5cos xx52251cos12nnan,) 12(22k),2,1,0,) 12(,(kkxx說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)) 12(kx時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于22)(0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2314, )(x

9、xf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法), )(xxf , )2(kxf其它目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2315例例3. 將函數(shù)0, 0,)(xxxxxf則0d)(1xxFad)(1xxf0d2xx0222xdcos)(1xnxxFandcos)(1xnxxf0dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里葉級(jí)數(shù).2為周期的函數(shù) F(x) , yxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2316x3cos312na)1cos(22n

10、n12 knkn2,0),2,1(k,) 12(42kdsin)(1xnxxFbndsin)(1xnxxf0)(xf24xcosx5cos512)(x當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n說(shuō)明說(shuō)明: 利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-231742,421312242設(shè),413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2318三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.

11、周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理定理4 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,02( )cosd(0,1, 2,) naf xnxxn),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan02( )sind(1, 2,3,)nbf xnxxn它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2319例例4. 設(shè)的表達(dá)式為 f (x) x , 將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù). f (x) 是周期為2 的周期函數(shù),它在上),解解: 若不計(jì)),2,

12、1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2320n1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1(21) ,0,1 ,)xkk級(jí)數(shù)的部分和 , ) 在上逼近 f (x) 的情況見右圖. yxOn2n3n4n5Oxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2321例例5. 將周期函數(shù)tE

13、tusin)(展成傅里里葉級(jí)數(shù), 其中E 為正常數(shù) .解解:)(tu; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttE4Ettntuan0dcos)(202sin cosdEtntt0sin(1)sin(1)dEntntt是周期為2 的周期偶函數(shù) , 因此0d)(2ttu 為便于計(jì)算, 將周期取為2 y2xO2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2322t 2cos310sin(1)sin(1)dnEantnttkn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t24,(41)Ek0sin2 dEtt21t 4cos151t6cos3512E4E 2141cos241kEkxk目錄 上

14、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-23232. 定義在定義在0, 上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)( ),0,f xx)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓xOy正弦級(jí)數(shù) f (x) 在 0, 上展成Oxy( ),(0, f xx0, 0 x(),(, 0)fxx ( ),0, f xx(),(, 0)fxx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2324xyO1例例6. 將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓

15、,0dsin)(xnxxf2nb 0dsin) 1(2xnxx202cossincosxnxnxnxnnn21coscosnnn12 knkn2),2, 1(k22,21k,1k目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2325nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2326再求余弦級(jí)數(shù).xy將)(xf則有O0a02(1)dxxna02(1)cos

16、dxnxx2022xx2202sincossinxnxnxnxnnn22cos1nn24,21(21) nkkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2327na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k112x xcosx3cos312(0)xx5cos512說(shuō)明說(shuō)明: 令 x = 0 可得2221113582211(21)8nk即4122141(21)kkxk) 12cos(xyO1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2328內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級(jí)數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnb

17、xnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中1( )cosdnaf xnx x1( )sindnbf xnx x),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于2)()(00 xfxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-23292. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3. 在 0, 上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級(jí)數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級(jí)數(shù)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2

18、330 ,處收斂于2.)(xf0 x ,10 x,12x則它的傅里里葉級(jí)數(shù)在x在4x處收斂于 .提示提示:()()2ff()2 f()f222(4)(4)2ff2)0()0( ff21102設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為xyO11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2331xO3. 設(shè),0,)(2xxxxf又設(shè))(xS求當(dāng)( ,2 )( ) xS x的表達(dá)式 .解解: 由題設(shè)可知應(yīng)對(duì))(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx (, ), 在上; )()(xFxS由周期性:( ,2 ),在上( )(2 )S xS x2(,0)x 2(2 )(2 )xx2232xx)

19、(xf是(0, )2 以為周期的正弦級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù), 在2x f (x)的定義域 內(nèi)時(shí)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2332xyO11)(xf4. 寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2333P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ; 7 (2)第八節(jié) 作業(yè)作業(yè) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022-4-2334備用題備用題 1.2( )f xxx()x 葉級(jí)數(shù)展式為, )sincos(210nnnnxbnxaa則其中系數(shù). 3b提示提示:13( )sin3 dbf xxx21()sin3 dxxxxxx3sin0 x3cos31x3sin912(cos3sin3 )39xxx023