數(shù)學實驗課件

1、數(shù)學實驗之十三混沌實驗內(nèi)容 函數(shù)迭代 二次函數(shù)的迭代 FeigenBaum圖 混沌的特性 其它函數(shù)的迭代一、函數(shù)迭代 給定一函數(shù) 以及初始點 ，定義數(shù)列 稱為函數(shù) 的迭代序列。 滿足 的點 稱為 的不動不動點點，記之為 。如果所有附近的點在迭代過程中都趨向于某一不動點，則該不動點稱為吸引點吸引點。如果所有附近的)(xf0 x,.1 , 0),(1kxfxkkkx)(xfuuf)(ufuu點都遠離它，則它是排斥點排斥點。例如，0 與 1 是 的不動點。0 是吸引點，1是排斥點。如果則點集 形成一個 k k 循環(huán)循環(huán)。 稱為 k 周期點周期點。k稱為周期周期。2)(xxf13221)(.,)(,)

2、(uufuufuufkkuuu,.,211u類似地，周期點也可以分吸引點與排斥點。如果點 最終歸宿于某個循環(huán)中，則稱它為預周期點預周期點。如 1 是 的預周期點。迭代序列 的收斂與發(fā)散性質(zhì)不僅與函數(shù) 有關， 而且與初值的選擇有關。 例如，對于迭代12xukx)(xf121kkxx 當初值 時， 迭代序列收斂，否則發(fā)散。10 x二、二次函數(shù)的迭代 對二次函數(shù)對二次函數(shù) 做迭代做迭代: 迭代的幾何直觀圖迭代的幾何直觀圖)1 ()(xxaxf, 1 , 0),1 (1kxxaxkkk40 a0 x)(0 xf)(1xfxy練習練習 1 1 對幾組不同的參數(shù)值 （如 1.4)以及不同的初值 ，觀察迭代

3、是否收斂。練習練習 2 2 取參數(shù) ，用不同的初值做迭代。你能找到一個吸引的不動點嗎？一個排斥的不動點嗎？哪些初值收斂到吸引的不動點？哪些初值使序列發(fā)散？取不動的參數(shù) 回答同樣的問題。a, 5 . 0a0 x8 . 0a5 . 2, 2, 6 . 1, 1a練習練習 3 3 找出一個參數(shù) 使它對應的迭代具有2周期點。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？練習練習 4 4 對任意的整數(shù) ，你能找到一個 值使得它對應的迭代具有 周期點嗎？對哪些 值能給出 周期點？在每種情況下，結果是否依賴于初值？（對 和 的值進行驗證）akkakk6 . 34 . 3a46 . 3 a練習練習 5 5 如果某個 值能給出周期點，

4、它是否一定是吸引的周期點？你能否找到排斥的周期點？練習練習 6 6 根據(jù)前面的練習，試著從理論上分析：如何求不動點？對哪些 值對應吸引的不動點？哪些 值對應排斥的不動點？初值對結果有什么影響？對周期點做類似的分析。 不動點的計算不動點的計算 從 得到 及)1 (xxax0 xaax/ ) 1( 吸引的不動點與排斥的不動點吸引的不動點與排斥的不動點 定理定理設 是 的不動點，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動點；否則， 是 的排斥的不動點。由于 故當 0a1時，為吸引點，(a-1)/a為排斥點。當1a3, 為排斥點，(a-1)/ a為吸引點。x)(xfx1| )( |xfx)(xfx)(xf

5、aaafaf2)/ ) 1(,)0( 2 2 周期點周期點 得)1 (1)(1 ()(2xaxxxaxffx,/ ) 1(, 021aaxx3,2/ )321 (24, 3aaaaax三、Feigenbaum圖 將區(qū)間（0, 4 以某個步長 （如 ）離散化。對每個離散的 值做迭代。忽略前50個迭代值，而把點 顯示在坐標平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。a04. 0a),( ,),(),(1005251xaxaxaa練習練習 7 觀察Feigenbaum圖。（1）它的左部有一條曲線，這表示什么意義？（2） 從某一點 開始，這條曲線分成兩支，這說明了迭代的什么性質(zhì)？迭代的點是如何

6、運動的？（3）再在下一個分支點 ，曲線分成幾支？這說明迭代的什么性質(zhì)？（4）上述分支過程是否一直進行下去？1a2a是否存在極限分支點 ? （5）在極限分支點之后，F(xiàn)eigenbaum圖是否顯得很混亂？練習練習 8 在Feigenbaum圖的右部，有一個有三條線穿過的空白地帶，它是一個周期為3 的窗口。你能找到其它窗口嗎？它們的周期是什么？窗口里有什么圖案？這些窗口與周期軌道有什么關系？a四、混沌的特性 對初值的敏感性對初值的敏感性練習練習 9 任取兩個初值使它們之間的差的絕對值不超過 0.1, 在迭代他們是否逐漸分開？如果兩個初值的差的絕對值不超過0.01, 0.001, 0.0001 結果如

7、何？由此得出迭代對初值是否敏感？, 1 , 0),1 (41kxxxkkk 非隨機性非隨機性 仍然考慮迭代練習練習 10 從不同的初值 出發(fā)，統(tǒng)計迭代點列中分別落與區(qū)間（0,1/2)及(1/2,1)中的點的個數(shù)，你得到的結果是隨機的嗎？進一步，將區(qū)間分成任意等份，統(tǒng)計迭代點列落于每個子區(qū)間的點的個數(shù)？結果如何？, 1 , 0),1 (41kxxxkkk) 1 , 0(0 x五、其它函數(shù)的迭代 鋸齒函數(shù)鋸齒函數(shù) 練習練習 11 11 鋸齒函數(shù)的迭代對初值是否敏感？ 找出鋸齒函數(shù)的周期點。12 / 1122 / 102)(xxxxxS 帳篷函數(shù)帳篷函數(shù) 練習練習 12 12 帳篷函數(shù)的迭代對初值是否敏感？ 找出帳篷函數(shù)的周期點。12 / 1)1 ( 22 / 102)(xxxxxT 其它函數(shù)的迭代其它函數(shù)的迭代 對以下函數(shù)的迭代行為做探討，并與函數(shù) 的迭代行為相比較。axxfxaxfxxfaxaxf42)(. 4)sin()(. 32)(. 2)()(. 1)