隱函數(shù)及其求導方法

1、2013-1-23案例導出案例導出案例：案例：n由方程x3+y3=6xy所確定的函數(shù)y=y(x)對應的平面曲線一般稱為笛卡爾葉形線。請求出笛卡爾葉形線在點（3，3）處的切線方程。案例分析案例分析n根據(jù)導數(shù)的幾何意義，要求笛卡爾葉形線在點（3，3）處的切線方程，只要求出切線的斜率y（3），但由方程x3+y3=6xy所確定的函數(shù)y=y(x)與我們前面所遇到的函數(shù)有所不同，前面我們遇到的不管是一元函數(shù)還是二元函數(shù)，都是因變量可由含有自變量的數(shù)學表達式直接表示出來的函數(shù)形式，如y=sinx ,y=1-x2 等，我們稱這樣的函數(shù)為顯式函數(shù)。但是，有些時候函數(shù)的因變量與自變量之間的表達式卻不是這樣直接的，

2、如方程x+y-10=0和z-x-y=0,換句話說，將因變量與自變量之間的函數(shù)關系隱藏在方程里，這種函數(shù)我們稱為隱函數(shù)。案例中的函數(shù)就是隱函數(shù)。將隱函數(shù)化為顯式函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯式化。但案例中的函數(shù)無法顯式化，求這種函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)就稱為隱函數(shù)求導。相關知識相關知識n一般地，如果變量x,y之間的函數(shù)關系由方程F(x,y)=0所確定，這樣的函數(shù)稱為由方程F(x,y)=0確定的一元隱函數(shù)。類似地，由方程F(x,y,z)=0確定的二元函數(shù)z=f(x,y)稱為二元隱函數(shù)。隱函數(shù)的解法隱函數(shù)的解法n.對確定的隱函數(shù)的方程兩邊關于自變量求導n.公式法求隱函數(shù)的導數(shù)方法一：等式兩邊關于自變量求導方法一：等

3、式兩邊關于自變量求導n我們知道，一元隱函數(shù)y=f(x)由方程F(x,y)=0確定，對方程兩邊同時關于自變量x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，利用復合函數(shù)求導方法，可以得到一個含有y的方程，解出y即找到了一元隱函數(shù)的導數(shù)。方法二：公式法求隱函數(shù)的導數(shù)方法二：公式法求隱函數(shù)的導數(shù)n(1).方程F(x,y)=0,可以確定一個一元隱函數(shù)，如y=y(x),可以得到一元隱函數(shù)的求導公式dy/dx=-Fx/Fy.n(2).方程F(x,y,z)=0,可以確定一個二元隱函數(shù)，如z=z(x,y),也可類似地得到二元隱函數(shù)的求導公式dz/dx=-Fx/Fz,dz/dy=-Fy/Fz.典型例題典型例題n例題1設x2+2xy

4、-ln(x+y)=0,求dy/dx.解：設F(x,y)=x2+2xy-ln(x+y) Fx=2x+2y-1/x+y Fy=2x-1/x+y所以dy/dx=-Fx/Fy=1-2(x+y)2/2x(x+y)-1例題2設ez=xyz,求dz/dx,dz/dy.例題3求出案例中笛卡爾葉形線在點（3,3）處的切線方程例題4求y=(1+x2)sinx的導數(shù).例題五：例題五：n設z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0確定，求 dz/dx ,dz/dy.解：兩邊同時求對x的偏導數(shù)，y看成常數(shù)，有 2xz+x2zx+2y2.2z.zx=0 于是 zx=-2xz/x2+4y2z同樣，兩邊同時求對y的偏導

5、數(shù)，x看成常數(shù)，有 zy=-(4yz2+1)/ x2+4y2z 用公式法解本題試試？用公式法解本題試試？例題六：例題六：n設y=f(x)由方程y=xlny確定，求y解： 令 F(x,y)=y-xlny, 則 Fx=-lny Fy=1-x/y, 于是 y=lny/(1-x/y)=ylny/(y-x) (y-x0)隨堂練習隨堂練習n1.設x2+2xy-y2=a2求yxn2.設cos2x+cos2y+cos2z=1求zx,zyn3.設xy=yx求yxn4.設x2/a2+y2/b2+z2/c2=1求zx,zyn5.設y=xx求yx課后作業(yè)課后作業(yè)n1.求下列方程所確定的隱函數(shù)y的導數(shù) (1).x2-y2=16 (2).xey-yex=x (3).ysinx=cos(x+y) 2.求下列函數(shù)的導數(shù) (1).y=xx