-第四章-第講-導數(shù)在研究函數(shù)中的應用-[配套課件]

1、第 2 講 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系一般地，函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a，b)內，如果 f(x)0，那么函數(shù) yf(x)在這個區(qū)間內_；如果 f(x)0，那么函數(shù) yf(x)在這個區(qū)間內_.單調遞增單調遞減2判別 f(x0)是極大、極小值的方法若 x0滿足 f(x0)0，且在 x0的兩側 f(x)的導數(shù)異號，則 x0是 f(x)的極值點，f(x0)是極值且如果 f(x)在 x0兩側滿足“左正右負”，則 x0是 f(x)的_點，f(x0)是極大值；如果 f(x)在x0兩側滿足“左負右正”，則 x0是 f(x)的_，f(x0)是_極大值極小值極小值

2、第一頁，編輯于星期六：七點 三十分。)D1函數(shù) f(x)x33x21 是減函數(shù)的區(qū)間為(A(2，)B(，2)C(，0)D(0,2)2函數(shù) f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 時取得極值，則 a()DA2B3C4D53函數(shù) y2x33x212x5 在區(qū)間0,3上最大值與最小值分別()AA5，15B5，4C4，15D5，16A第二頁，編輯于星期六：七點 三十分。解析：yexxex2，斜率 ke0023，所以，y13x，即 y3x1.考點 1討論函數(shù)的單調性例 1：設函數(shù) f(x)x33axb(a0)(1)若曲線 yf(x)在點(2，f(2)處與直線 y8 相切，求 a、b的值；(2)

3、求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間與極值點y3x15曲線 yxex2x1 在點(0,1)處的切線方程為_. 解題思路：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值解析：(1)f(x)3x23a，曲線 yf(x)在點(2，f(2)處與直線 y8 相切，第三頁，編輯于星期六：七點 三十分。(2)f(x)3(x2a)(a0)，當 a0 時，f(x)0，函數(shù) f(x)在(，)上單調遞增，此時函數(shù) f(x)沒有極值點當 x(， a)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調遞增，當 x( a， a)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調遞減，當 x( a，)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調遞增，此時 x a是 f(x)的極大值

4、點，x a是 f(x)的極小值點本題出錯最多的就是將(1)中結論 a4 用到(2)中第四頁，編輯于星期六：七點 三十分?！净犹骄俊?設函數(shù) f(x)xekx (k0)(1)求曲線 yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間；(3)若函數(shù) f(x)在區(qū)間(1,1)內單調遞增，求 k 的取值范圍第五頁，編輯于星期六：七點 三十分。第六頁，編輯于星期六：七點 三十分?？键c 2導數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值例 2：設函數(shù) f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 時取得極值(1)求 a、b 的值；(2)若對于任意的 x0,3，都有 f(x)c2成立，求 c

5、 的取值范圍第七頁，編輯于星期六：七點 三十分。當 x(1,2)時，f(x)0.所以，當 x1 時，f(x)取得極大值 f(1)58c，又 f(0)8c，f(3)98c，則當 x0,3時，f(x)的最大值為 f(3)98c.因為對于任意的 x0,3，有 f(x)c2恒成立，所以 98cc2，解得 c9，因此 c 的取值范圍為(，1)(9，)第八頁，編輯于星期六：七點 三十分?！净犹骄俊康诰彭?，編輯于星期六：七點 三十分。第十頁，編輯于星期六：七點 三十分?？键c 3構造函數(shù)來證明不等式例 3：已知函數(shù) f(x)是(0，)上的可導函數(shù)，若 xf(x)f(x)在 x0 時恒成立(2)求證：當 x1

6、0，x20 時，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)第十一頁，編輯于星期六：七點 三十分。所以函數(shù) g(x)因為 xf(x)f(x)，所以 g(x)0 在 x0 時恒成立，f(x)x在(0，)上是增函數(shù)(2)由(1)知函數(shù) g(x)f(x)x在(0，)上是增函數(shù)，所以當 x10，x20 時，兩式相加得 f(x1x2)f(x1)f(x2)第十二頁，編輯于星期六：七點 三十分。ln(x1)x.1x1【互動探究】3已知函數(shù) f(x)ln(x1)x.(1)求函數(shù) f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)若 x1，證明：11x1(1)解：函數(shù) f(x)的定義域為(1，)，f(x)1x1x.由 f(x)0 及 x

7、1，得 x0.所以當 x(0，)時，f(x)是減函數(shù)，即 f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，)(2)證明：由(1)知，當 x(1,0)時，f(x)0；當 x(0，)時，f(x)0.因此，當 x1 時，f(x)f(0)，即 ln(x1)x0，第十三頁，編輯于星期六：七點 三十分。1，.x1所以 ln(x1)x.令 g(x)ln(x1)1x1則 g(x)1 1x1 (x1)2x(x1)2當 x(1,0)時，g(x)0；當 x(0，)時，g(x)0.所以當 x1 時，g(x)g(0)，即 ln(x1)1x110，ln(x1)11.綜上可知，若 x1，則 11x1ln(x1)x.第十四頁，編輯于星期六：七

8、點 三十分。錯源：f(x0)0 是 f(x0)為極值的必要但不充分條件例 4：已知函數(shù) f(x)x33mx2nxm2 在 x1 時有極值0，則 m_，n_. 誤解分析：對 f(x)為極值的充要條件理解不清，導致出現(xiàn)多 解正解：f(x)3x26mxn，由題意，f(1)36mn0，f(1)13mnm20，即 x1 不是 f(x)的極值點，應舍去故 m2，n9.第十五頁，編輯于星期六：七點 三十分。糾錯反思：f(x)=0 是 f(x0)為極值的必要但不充分條件,判斷x0不是極值點需要檢查 x0側 f(x)的符號.如果左正右負，那么 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值；如果左負右正，那么 f(x0

9、)是函數(shù) f(x)的一個極小值；如果符號相同，那么 f(x0)不是函數(shù) f(x)的極值.此題就沒有討論在兩種情況下，f(-1)是不是為極值.本題說明用導數(shù)求函數(shù)極值時一定要判斷某函數(shù)值是不是極值，要檢驗相關區(qū)間內導數(shù)的符號.第十六頁，編輯于星期六：七點 三十分?！净犹骄俊?設 f(x)是函數(shù) f(x)的導函數(shù)，yf(x)的圖像如圖 4)C21，則 yf(x)的圖像最有可能的是(圖 421第十七頁，編輯于星期六：七點 三十分。解析：由導函數(shù)的圖像知，導函數(shù)在 x0 和 x2 時的導函數(shù)值為 0，故原來的函數(shù) yf(x)在 x0 和 x2 時取得極值當 x0 或 x2 時，導函數(shù)值為正(或 0)

10、，當 0 x2 時，導函數(shù)值為負，所以當 x0 或 x2 時函數(shù) yf(x)為增函數(shù)，當 0 x2 時，函數(shù) yf(x)為減函數(shù)，故選項為 C.(1)證明 a0；(2)若 za2b，求 z 的取值范圍第十八頁，編輯于星期六：七點 三十分。解析：f(x)ax22bx2b.(1)由函數(shù) f(x)在 xx1 處取得極大值，在 xx2處取得極小值，知 x1、x2是 f(x)0 的兩個根所以 f(x)a(xx1)(xx2)當 x0，由 xx10，xx20.(2)在題設下，0 x11x20，實數(shù) a、b 為常數(shù))(1)若 a1，b1，求函數(shù) f(x)的極值；(2)若 ab2，討論函數(shù) f(x)的單調性第二十二頁，編輯于星期六：七點 三十分。第二十三頁，編輯于星期六：七點 三十分。第二十四頁，編輯于星期六：七點 三十分。第二十五頁，編輯于星期六：七點 三十分。第二十六頁，編輯于星期六：七點 三十分。(1)求函數(shù) f(x)為奇函數(shù)的充要條件；(2)若任取 a0,4，b0,3，求函數(shù) f(x)在 R 上是增函數(shù)的概率第二十七頁，編輯于星期六：七點 三十分。所以 f(x)為奇函數(shù)故 f(x)為奇函數(shù)的充要條件是 a1.(2)因為 f(x)x22(a1)xb2.若 f