達(dá)朗貝爾原理(動靜法)

1、第十五章第十五章 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理( (動靜法動靜法) )15-1 15-1 慣性力慣性力15-2 15-2 質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理15-3 15-3 質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理15-4 15-4 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化15-5 15-5 轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念動靜法：用靜力學(xué)中研究平衡問題的方法將動力學(xué)問題在形式動靜法：用靜力學(xué)中研究平衡問題的方法將動力學(xué)問題在形式上化為靜力學(xué)問題來進(jìn)行求解。上化為靜力學(xué)問題來進(jìn)行求解。NFFam0amFFN令令amFI慣性力慣性力有有0INFFF質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理:作用在質(zhì)點的

2、主動力、約束力和虛加的慣性在形式上形式上組成平衡力系。 15-1 15-1 慣性力慣性力質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理在任意瞬時，質(zhì)點的慣性力的大小等于質(zhì)點的 質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，作用在使質(zhì)點獲得加速度的施力物體上。例例15-1 15-1 用達(dá)朗貝爾原理求解用達(dá)朗貝爾原理求解已知已知:60,m3 . 0,kg1 . 0lm求求:.,TFvOl解解:0ITFFgm0cos, 0mgFFTb0sin, 0nITnFFF解得解得N96. 1cosmgFTsm1 . 2sin2mlFvT先分析小球的受力和加速度，如圖sin2lvmmaFnnI15-2 15-2 質(zhì)點系的

3、達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理記記)(eiF為作用于第為作用于第i i個質(zhì)點上外力的合力個質(zhì)點上外力的合力. .)(iiF為作用于第為作用于第i i個質(zhì)點上內(nèi)力的合力個質(zhì)點上內(nèi)力的合力. .則有則有 00000IiiieiIiiieiFMFMFMFFFniFFFIiNii, 2 , 10因因 , 0, 00iiiiFMF有有 0000IieiIieiFMFMFF另一表述 ：作用在質(zhì)點系上的外力與虛加在每個質(zhì)點上的慣性力在形式上組成平衡力系。質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理：質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力，約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系.例例15-215-2如圖所示如圖所示, ,定滑輪定滑輪的半徑

4、為的半徑為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m均勻分均勻分布在輪緣上布在輪緣上, ,繞水平軸繞水平軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動. .垮過滑輪的無重繩的兩垮過滑輪的無重繩的兩端掛有質(zhì)量為端掛有質(zhì)量為m1 1和和m2 2的重的重物物( (m m2),),繩與輪間不打繩與輪間不打滑滑, ,軸承摩擦忽略不計軸承摩擦忽略不計, ,求求重物的加速度重物的加速度. .OABr解解:amFamFII2211,amrmFiitIi0, 02211armramgmamgmMiO由由mararmarmii解得解得gmmmmma2121rvmFinIi2以系統(tǒng)為研究對象，加速度和受力分析如圖。OABraam1gmgm2gFNy*1F*2F例例15-

5、30ta2*2DmF , 0nF0 cos*NFmgF,22nDa ) cos2(2NgDmgFgnDgD90022 cos222 這就是鋼球在任一位置這就是鋼球在任一位置時所受的法向時所受的法向動約束力，顯然當(dāng)鋼球脫離殼壁時，動約束力，顯然當(dāng)鋼球脫離殼壁時，F(xiàn)N=0，由此可求出其脫離角由此可求出其脫離角為為15-315-3剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 CiieiIRamamFF 剛體平移剛體平移慣性力系向質(zhì)心簡化慣性力系向質(zhì)心簡化.只簡化為一個力只簡化為一個力CIRamF2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動大小為大小為:iitiitIirmamF2iiniinIirmamF由由0ddCI

6、CLtMnIixiIixIixIxFMFMFMM)sin(cos2iiiiiiiizrmzrm由由iiiiiiryrxsin,cos有有iiiiiixIzymzxmM2記記iiizxiiizyzxmJzymJ,為為對于對于z z 軸的慣性積軸的慣性積. .2yzxzIxJJM同理同理2xzyzIyJJMniIztiIzIzFMFMMIOIxIyizMM iMjM k如果剛體有質(zhì)量對稱面且該面與轉(zhuǎn)動軸垂直如果剛體有質(zhì)量對稱面且該面與轉(zhuǎn)動軸垂直, ,簡化中簡化中心取此平面與轉(zhuǎn)軸的交點心取此平面與轉(zhuǎn)軸的交點, ,則則0, 0iiiyziiixzzymJzxmJ有有zIzIOJMM剛體作平面運動剛體作

7、平面運動（平行于質(zhì)量對稱面）（平行于質(zhì)量對稱面）IcCIRCMJFma 2tIzzIii iii izMMFm rrm rJ 因因0,nzIiMF有例例15-4 dmgF *FAzFAxdmgF *FAzFAx) sin)(d(d2*lmF 沿桿沿桿 AB 取任一微小段取任一微小段 d考慮，它的質(zhì)量是考慮，它的質(zhì)量是mg d/ gl，加速度是加速度是2sin。) 1 ( sin2 sindd202)(*lmlmFFll cos)(*bFMA*FdmgF *FAzFAx) sin)(d(d2*lmF) 2( cos sin3) cos)( sin)(d()d( cos3202)(*llmlmFM

8、bFllA把式把式(1)代入式代入式(2)，即可求得，即可求得lb32) 1 ( sin22*lmF dmgF *FAzFAx把表達(dá)式把表達(dá)式(1)代入平衡方程代入平衡方程(3)，有，有0 sin2 cos32 sin22lmglml0) 1 cos32( sin22glmgl0 , 00 , 00 sin2 cos32 , 0*mgFFFFFlmglFMAzzAxxAdmgF *FAzFAx) 1 ( sin22*lmF 223 cos0 sinlg或顯然顯然,第二個解只在第二個解只在 3g/2l21 時成立。第一個解能否成立，時成立。第一個解能否成立，還需進(jìn)一步分析。還需進(jìn)一步分析。mgF

9、lmFAzAx sin22第第5章章 達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理dmgF *FAzFAx例例15-5 15-5 如圖所示如圖所示, ,電動機定子及其外殼總質(zhì)量為電動機定子及其外殼總質(zhì)量為m1, ,質(zhì)心位質(zhì)心位于于O O 處處. .轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2 , ,質(zhì)心位于質(zhì)心位于 處處, ,偏心矩偏心矩e , ,圖圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱面示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱面. .電動機用地角螺釘固定于水平基電動機用地角螺釘固定于水平基礎(chǔ)上礎(chǔ)上, ,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)O O與水平基礎(chǔ)間的距離為與水平基礎(chǔ)間的距離為h h. .運動開始時運動開始時, ,轉(zhuǎn)子質(zhì)心轉(zhuǎn)子質(zhì)心位位于最低位置于最低位置, ,轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)子以勻角速度

10、 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動. .求求:基礎(chǔ)與地角螺釘給電動機總的約束力基礎(chǔ)與地角螺釘給電動機總的約束力.xym1gm2gCOh解解:2meFI0sin, 0IxxFFF0sinsin, 012hFgemMMA因因得, ttemFxsin22temgmmFycos2221themtgemMsinsin2220cos)(, 0121FgmmFFyy以電動機為研究對象，如圖例例15-6 15-6 如圖所示如圖所示, ,電動絞車安裝在梁上電動絞車安裝在梁上, ,梁的兩端擱在梁的兩端擱在支座上支座上, ,絞車與梁共重為絞車與梁共重為P. .絞盤半徑為絞盤半徑為R, ,與電機轉(zhuǎn)子固結(jié)在一與電機轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起起, ,轉(zhuǎn)動慣

11、量為轉(zhuǎn)動慣量為J , ,質(zhì)心位于質(zhì)心位于O 處處. .絞車以加速度絞車以加速度a a提升質(zhì)量為提升質(zhì)量為m m的重物的重物, ,其它尺寸如圖其它尺寸如圖. . 已知已知:.,maJRP求求:支座支座A，B受到的附加約束力。受到的附加約束力。ABxyal1l2l3mgW解解 :maFI解得解得:RJmlaPlmglllFA232211RaJJM0I0021322llFMPllFmglMAIOB00IBAyFPmgFFFRJmlalllPmglllFB13211211以絞車和梁一起為研究對象ABxyal1l2l3mgF *WFAFBM*上式中前兩項為靜約束力，附加動約束力為上式中前兩項為靜約束力，

12、附加動約束力為RJmlllaFA221RJmlllaFB121 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑，半徑為為r。細(xì)長桿長。細(xì)長桿長l=2r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m。桿端桿端A點與輪心為光滑鉸接，如點與輪心為光滑鉸接，如圖所示。如在圖所示。如在A處加一水平拉力處加一水平拉力F，使輪沿水平面滾動。問，使輪沿水平面滾動。問F力力多大能使桿的多大能使桿的B端剛剛離開地面？端剛剛離開地面？又為保證純滾動，輪與地面間又為保證純滾動，輪與地面間的靜滑動摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？的靜滑動摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？ , 0)(FMA030 cos30 sinmgrmarga3gmmFA)(NrarmMA2*21 , 0yF300

13、)(FMAramMrFA21*sgmamFAA2321s)( sNssmmgfFfFAAxFyAF0 xFgmmFFFFACA3)23(s*gmamFAA2321s)( 23 NssmmmFFfAAAxFyAF00 xIxRxBxAxFFFFF15-4 15-4 轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念00yIyRyByAyFFFFF00zRBzzFFF00 xIxyAyBxMMOAFOBFM00yIyBxAxyMMOBFOAFM解得解得OBMMOBFMABFIxIxRxyAx1 OBFMOBFMABFIyIxRyxAy1OAFMOAFMAB1FIxIxRxyBx OAFMOAFM

14、ABFIyIxRyxBy1RzBzFF0, 0IyIxIyIxMMFF即即:000022xzyzIyyzxzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF必有必有0Ca0yzxzJJ通過質(zhì)心的慣性主軸稱為中心慣性主軸因此，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)因此，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸是剛體的中心慣性主軸.引起的軸承約束力稱動約束力引起的軸承約束力稱動約束力由由IOIRMF,稱滿足稱滿足的軸的軸z z為為慣性主軸慣性主軸0yzxzJJ動約束力為零的條件為動約束力為零的條件為:轉(zhuǎn)子的靜平衡：靜平衡：設(shè)剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體除重力外，沒有受到其它主動

15、力作用，則剛體可以在任意位置靜止不動，這種現(xiàn)象稱為靜平衡。轉(zhuǎn)子的動平衡：動平衡：當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心且為慣性主軸時，剛體轉(zhuǎn)動時不出現(xiàn)軸承附加動反力，這種現(xiàn)象稱為動平衡。轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念轉(zhuǎn)子的靜平衡與動平衡的概念 飛輪質(zhì)量為飛輪質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，以勻角速度，以勻角速度轉(zhuǎn)動。設(shè)輪轉(zhuǎn)動。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不靠考慮重緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不靠考慮重力的影響，求輪緣橫截面的張力。力的影響，求輪緣橫截面的張力。 n*iiimaF 2n*2RRRmamFiiii , 0 xF0 cos*AiiFF0i2d cos22202mRRmFAxyRABOFAFB*iF由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截面張力都相同。面張力都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0yF0 sin*BiiFF22mRFB同樣解得同樣解得xyRABOFAFB*iF 半徑為半徑為R，重量為，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，在的大圓輪，由繩索牽引，在重量為重量為W2的重物的重物A的作用下，在水平地面上作純滾的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地動，系統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦力。面之間的滑動摩擦力。sWTRvRgWvgWvg