八年級(jí)數(shù)學(xué)113《角的平分線的性質(zhì)》課件

1、復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問1 1、角平分線的概念、角平分線的概念oBCA12復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 2 2、點(diǎn)到直線距離、點(diǎn)到直線距離: :從直線外一點(diǎn)從直線外一點(diǎn)到這條直線的到這條直線的垂線段垂線段的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度，叫做叫做點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)到直線的距離。OPAB我的我的長(zhǎng)度長(zhǎng)度 如圖如圖,是一個(gè)平分角的儀器是一個(gè)平分角的儀器,其中其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)放在角的頂點(diǎn),AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一條畫一條射線射線AE,AE就是角平分線就是角平分線.你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎你能由上面的探究得出

2、作已知角的平分線的方法嗎?E角的平分線的作法角的平分線的作法證明：證明： 在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等）對(duì)應(yīng)邊相等） AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）尺規(guī)作角的平分線畫法：畫法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長(zhǎng)的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求為什么OC是角平

3、分線呢？ 想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求證：求證：OCOC平分平分AOBAOB。證明證明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB練習(xí)練習(xí)1 1：平分平角：平分平角AOBAOB。歸納：歸納：“過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法。的方法。ABOCDABOAOEBCPD 將將 AOBAOB對(duì)折對(duì)折, ,再折出一個(gè)直角三角形再折出一個(gè)直角三角

4、形( (使第一條折痕為斜邊使第一條折痕為斜邊),),然后展開然后展開, ,觀察兩次折疊形成的三條折痕觀察兩次折疊形成的三條折痕, ,你能得出什么結(jié)論你能得出什么結(jié)論? ? 可以看一看可以看一看, ,第一條折痕是第一條折痕是AOBAOB的平分線的平分線OCOC, ,第二次折疊第二次折疊形成的兩條折痕形成的兩條折痕PD,PEPD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到是角的平分線上一點(diǎn)到AOBAOB兩邊的兩邊的距距離離, ,這兩個(gè)距離相等這兩個(gè)距離相等. .折一折角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)已知：如圖，已知：如圖，OC是是AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分別是，垂足分別是

5、D，E。求證：求證：PD=PE證明：證明： PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。DP PEAOBC證明幾何命題的一般步驟：1、明確命題的已知和求證2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

6、定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：AOBPED12 1= 21= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OBPD=PEPD=PE( (角角的的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的距離相等) )推理的理由有推理的理由有三個(gè)三個(gè)，必須寫完全，不能必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。少了任何一個(gè)。角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)BADOPEC定理應(yīng)用所具備的定理應(yīng)用所具備的條件條件： （1 1）角的平分線；）角的平分線；（2 2）點(diǎn)在該平分線上；）點(diǎn)在該平分線上； （3 3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用：定理的作用： 證明線段相等。證

7、明線段相等。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等如圖，如圖， OC是是AOB的平

8、分線，的平分線， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分線上的點(diǎn)角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等到角的兩邊的距離相等 在在OAB中，中，OE是它的角平分線，且是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為，垂足為C，D.求證：求證：AC=BD.O OA AB BE EC CD D 在在ABC中，中， C=90 ，AD為為BAC的平分線，的平分線，DEAB，BC7，DE3.求求BD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。EDCBA 如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的的平分線，平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求

9、證：CF=EBACDEBF這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？ 1、“作已知角的平分線作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；的尺規(guī)作圖法；2、角的平分線的性質(zhì)：、角的平分線的性質(zhì)： 111角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 OC是是AOB的平分線的平分線, 又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等到角的兩邊距離相等). EDOABPC幾何語言幾何語言: :，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎

10、？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2、如圖、如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線, ,點(diǎn)點(diǎn)P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用41 . 1 . 如圖，如圖，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分別是分別是E E，F(xiàn) F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，則，則 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF2 2 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=90C=9

11、0，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么線段，那么線段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分線角的平分線6cm6cm練習(xí)練習(xí)3.已知已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D到到AB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE你會(huì)嗎？你會(huì)嗎？例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足為垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=P