2019-2020年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.2.2.2雙曲線方程及性質的應用高效測評新人教A

1、2019-2020年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程222.2雙曲線方程及性質的應用高效測評新人教A版選修一、選擇題(每小題5分，共20分)2 21.過點(0,1)與雙曲線X -y = 1僅有一個公共點的直線共有()A. 0條B. 2條C. 4條D. 6條解析：由題意知直線的斜率存在，設直線方程為y = kx +1代入雙曲線方程得(1 k2)x22 kx2 = 0當1 k2= 0時，方程組有一解，直線與雙曲線僅有一個公共點2 2 2當 1 k 工 0,A = 4k 4(1 k ) x( 2) = 0.即k =±2時，方程組有一解，直線與雙曲線僅有一個公共點綜上，有4條直線滿足題意.答案：

2、C2.y+ b= 0和bx + ay = ab( ab* 0)所表示的曲線只可能是 (解析： ax y+ b= 0 可化為 y= ax+ b,2 222x ybx + ay = ab 可化為一 + = 1.a b若ab>0,則A中曲線錯誤，B中曲線不存在.若ab<0,則D中曲線錯誤，故選 C.答案：C如圖，ax )3.已知雙曲線 E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線I與E相交于A, B兩點，且AB的中點為N( 12,- 15),貝U E的方程為()2 2x y1B.A- =362 2x yc. =63解析：2 2D.-12 2x y22設雙曲線的標準方程為孑一 二1(

3、 a>0, b>0),由題意知c = 3, a + b = 9,I 22設 A(X1, y" , B(X2, y2)則有：X2 y2兩式作差得:yi y2 b2 Xi+ X2Xi X2 a yi+ y2-12b2 4 b222 215a5a'一 15一 0又AB的斜率是 “ q = 1,12 一 3所以將 4b 2 2 2 x (kx + 2) = 6, (1 k )x 4kx- 10 = 0 有兩個不同的正根 = 5a2代入 a2+ b2= 9 得 a2= 4, b2= 5,2 2所以雙曲線標準方程是一= 1,故選B.45雙曲線的右焦點為圓2 2x yA- =1

4、2 2x y c. = 1解析：？?雙曲線C的圓心，則該雙曲線的方程為()B.2 2D xy = 1.632g 八2= 1的漸近線方程為y =± 圓C的標準方程為(X 3) 2 + y2a答案： B2 24.已知雙曲線斗一b, =1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C ：x2 +y26x+ 5= 0相切，且=4,?圓心為 C (3,0).又漸近線方程與圓 C相切，即直線bx- ay = 0與圓C相切，3b2 2 = 2 ,a + b? 5b2= 4a2.2 2八一言寸1的右焦點F2( Qa? + b, 0)為圓心C(3,0),由得a2= 5, b2 = 4.2 2雙曲線

5、的標準方程為一一y=1.54答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5.若直線y = kx+ 2與雙曲線x2 y2= 6的右支交于不同的兩點，那么k的取值范圍是(2 2 nx y = 6, 解析：i|y= kx + 2,?2 只= 40- 24k >0,X1 + X2 =4k22 >°，得 "3r<k<- 1.X1X2= 0>答案： 辱 - 1)2 26.已知雙曲線X-y = 1 與直線 x + y- 1 = 0 相交于 P,Q 兩點，且OP- 0Q= 0(0 為原點 ) ,a b11 則 a- b 的值為a b解析： 設 P(X1, y1)

6、 、 QX2, y ,< 2 21 b =1, 由題意得 a bx+ y- 1 = 0,2貝 U (b-a)x + 2 ax- a- ab= 0.2 a aab所以 Xi + X2 ba, X1X2 =-ba",y1y2= (1 X1) (1 X2) = 1 ( X1 + X2) + X1X2,根據(jù) 3P? &= 0, 得 X1X2 + y1y2= 0,即 1 - (X1 + X2) + 2X1X2= 0,_ 2a aab因此 1+ 2X= 0,b a b ab a 11化簡得苛=2, 即 a-1=2.答案： 2三、解答題 ( 每小題 10 分，共 20 分 )線的同一

7、7?直線y= kx + 1 與雙曲線3x2- y2= 1 相交于 A, B 兩點，當 k 為何值時， A, B 在雙曲支上？當 k 為何值時， A, B 分別在雙曲線的兩支上？解析： 把 y= kx + 1 代入3x2- y2= 1, 整理，得(3 - k2)x2- 2kx - 2= 0.設 A(X1, y1) , B(X2, y2) ，要使直線與雙曲線有兩個交點，則需滿足：k 工土 3 ，2=24 - 4k > 0.> 0 ，解得一 .6 v k v _ 6 ,所以當一 6vkv ,6,且M± ,3時,一元二次方程有兩解，直線與雙曲線有兩個交點2若A, B在雙曲線的同一

8、支上，須XiX2=C 3 > 0,解得kv,3 或 k> 3;2若A, B分別在雙曲線的兩支上，須XiX2=斤二v 0,解得 3 v kv 3.所以，當一 6v kv.3 或 3v kv,6 時， A, B 兩點在同一支上；當一.3v kv 3 時,A B 兩點在雙曲線的兩支上 .2&經(jīng)過點 M2,2)作直線I交雙曲線X2一占=1于A, B兩點，且 M為AB中點.(1) 求直線 I 的方程 ;2 2x2-y = 1, x2牛 1,兩式 求線段 AB 的長 .解析： ( 1)設 A(Xi, yi), B(X2, y2) ，代入雙曲線方程得2 2相減得X2X2 浮 y = 0

9、,04.Z1 (X1+X2)( X1 X2) 4( y1+y2) ( y1 y?) = 0.? M為AB的中點,X1 + X2 = 4, y1+ y2= 4,4( X1 X2) (y1 y2) = 0,ki =3 = 4X1X2. I 的方程為y2 = 4(X2),即 y = 4X 6.2(2)將 y= 4x 6 代入到 x2一眷=1 中得 3x2- 12x+ 10= 0,故 X1 + X2 = 4, X1X2 = -3, 3. I AB = , 1 + k2 L X1 + X2 24x1X2 = 3 102.30 尖子生題庫 回 9. (10 分) 已知雙曲線C: 2x2y2= 2 與點 F

10、(1,2).(1)求過點 F(1,2) 的直線 I 的斜率的取值范圍，使I 與 C 有兩個交點解析： ( 1) 當直線 l 的斜率不存在時，若 Q1,1) ，試判斷以 Q 為中點的弦是否存在.I 的方程為 x= 1 ，與雙曲線C 只有一個交點 . 當 I 的斜率存在時，設直線I的方程為y 2= k(x 1),代入C的方程，弁整理得(2 2 2 2 2k )x + 2(k 2k)x k + 4k 6= 0.(i )當2 k2= 0,即k =± 2時，方程有一個根，I與C只有一個交點.(ii )當2 k2工0,即口 k工土 2時， = 2( k22k)24(2 k2)(k2+4k 6)

11、= 16(3 2k),33當4 >0,即k<2時，又k工土 2,故當k<- 2或一 2<k< 2或2<k<2時，方程有兩 個不等實根，I與C有兩個交點.(2)假設以Q為中點的弦存在，設為 AB且A(Xi, yd , B(X2, y",貝u 2xi yi= 2,2 x；一2y2=2,兩式相減得：2(Xi X2)( Xi + X2) = ( y1 一 y2)( y1 + y)又 T Xi + X2= 2,中 + y2 = 2, r. 2(x1 X2)=中一 y2,即 kAB= = 2 , X1 X2由(1)可知直線AB與雙曲線C無交點，所以假設不

12、正確，即以 Q為中點的弦不存在.2019-2020年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程 2.2.2雙曲線的幾何性質教學案新人教B版選修1-1學習目標1.掌握雙曲線的簡單幾何性質,如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡單幾何性質解決一些簡單問題.3.能區(qū)別橢圓與雙曲線的性質.聲預習導學全 挑戰(zhàn)自我？點點落實知識鏈接類比橢圓的幾何性質，結合圖象，你能得到雙曲線X2一占=1 ( a>0, b>0)的哪些幾何性質?a b答案范圍：x >a或xw a； (2)對稱性：雙曲線關于 x軸、y軸和原點都是對稱的； 頂點：雙曲線有兩個頂點A( a, 0), A(a, 0).預習導

13、引1?雙曲線的幾何性質標準方程2 2x y 1 a2 蘆 1(a>0,b>0)2 2 y x1 M E =1(a>0, b>0)圖形卞廠性質范圍x> a 或 x< aya或y w a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點坐標A( a,0), A(a, 0)Ai (0 , a) , A(0 , a)漸近線by =± xay=± Lx離心率C4 c e=-, e? (1 ,+ 卞 a2.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y=± x,離心率為2.尹課瑩講義 至息難點.個個擊破要點一已知雙曲線的標準方程求其幾何性

14、質例1求雙曲線9y2 16x2= 144的實半軸長和虛半軸長、2 2y x七一 2= 1.43焦點坐標、離心率、漸近線方程解 把方程9y 16x = 144化為標準方程由此可知，實半軸長 a= 4,虛半軸長b= 3;C=、 . ja + b = 4 + 3 = 5，焦點坐標是(0， 5) , (0,5);C 54離心率 e = a= 4；漸近線方程為 y =± §x.規(guī)律方法討論雙曲線的幾何性質，先要將雙曲線方程化為標準形式， 形式的特點得到幾何性質.跟蹤演練 1 求雙曲線x3 43y2 + 12= 0 的實軸長、虛軸長、焦點坐標、程、離心率.2 2解 將方程x2- 3y2

15、+ 12 = 0化為標準方程 魯一1A2= 1,? a2= 4, b2= 12,? a= 2, b= 2 3 ,? c = a2+ b2= 16= 4.?雙曲線的實軸長2a = 4, 虛軸長 2b= 4.3.焦點坐標為 F1(0 , 4) , F2(0,4), 頂點坐標為 A(0 , 2) , A(0,2),頂點坐標、漸近線方然后根據(jù)雙曲線兩種漸近線方程為y =±£x, 離心率 e= 2.要點二根據(jù)雙曲線的幾何性質求標準方程例 2 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：13(1) 一個焦點為 (0,13) ，且離心率為 ;51(2) 漸近線方程為 y= ± qx, 且

16、經(jīng)過點A(2 , 3).c 13解( 1)依題意可知，雙曲線的焦點在y 軸上，且 c = 13, 又=三a 52 2? a= 5, b= , c2a2= 12, 故其標準方程為 卷缶 =1.1(2)方法一?雙曲線的漸近線方程為y =± qx,2 2若焦點在 x 軸上，設所求雙曲線的標準方程為 字一y2= 1(a>0, b>0)49? A(2, 3)在雙曲線上，？孑一尸二1.由聯(lián)立，無解.2 2若焦點在 y 軸上，設所求雙曲線的標準方程為 字一 b = 1(a>0, b>0)9 4? A(2, 3)在雙曲線上，？孑一b2二1.由聯(lián)立，解得 a = 8, b =

17、32.2 2?所求雙曲線的標準方程為y x = 1.832b 1L =： .a 2ttra 1 一,則滬2.方法二由雙曲線的漸近線方程為3y=±2X ，可設雙曲線方程為22? A(2, - 3)在雙曲線上，22 22A(3)=入，即入=8.2 2?所求雙曲線的標準方程為y-x= 1.832規(guī)律方法由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程,般用待定系數(shù)法.當雙曲線的焦點把(3,92)代入，把(3,92 )代入,故所求雙曲線方程為不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線方程b為mx ny = 1 ( m>0),從而直接求得.若已知雙曲線的漸近線方程為

18、y =± -x,還可以將a 2 2方程設為孑一行-入(入豐0),避免討論焦點的位置.跟蹤演練2求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且滿足下列條件的雙曲線方程雙曲線過點(3,92),離心率e=¥3過點R2 , 1),漸近線方程是 y =±3x.2解(1寸=普，得產(chǎn)= 罟，設a 2= 9k(k> 0),9 a 9則 c2 = 10k, b2 = c2 a2 = k.2 2于是，設所求雙曲線方程為9k- A12 2或務一x 二 19k k得k=- 161與k>0矛盾，無解;得 k= 9,2 2壬 181 9 'P(2 , 1)在漸近線y(2)方法一(首先確

19、定所求雙曲線的標準類型，可在圖中判斷一下點=3x的上方還是下方)如圖所示，x = 2與y =- 3x交點為Q2 , - 6) , R2， 1)在Q2 , 6) 的上方，所以焦點在 x軸上.2 2x y設雙曲線方程為2= 1 ( a>0, b>0).a b（bf 2 35 a =tt ,解得 S 9三' b2= 35依題意，得22?所求雙曲線用 一 x 匚二/為 二 35 35方法二由漸近線方程y =±3x,2可設所求雙曲線方程為x2-y9 =入（入工o）（ §）35將點P（2， 1）的坐標代入（*）,得入=-,=1.2 2 ?所求雙曲線方程為靠35 35

20、9要點三直線與雙曲線的位置關系例3直線l在雙曲線2 2X3| =1上截得的弦長為4,其斜率為2,求I的方程.解設直線I的方程為y = 2x +y = 2x+m22由 x2 y2=132得10x+ 12m 灶 3( m+ 2) = 0.(*)設直線I與雙曲線交于A(Xi,yd , B(X2, y2)兩點,由根與系數(shù)的關系，6得 X1 + X2 = X1X2=5(m+ 2).10又 y = 2xi + m y2= 2x2 +.y 1 y2= 2( X1 X2),2 2 2? | AE| = (X1 X2)+ (y1 y2)= 5(X1 X2)2=5( X1 + X2) 4x1X2§ *=

21、5 ni4X ±(m+2) L 25 10'2102?3 m=m= ±70 ,由(*)式得 = 24m 240 ,把m= ±2310代入上式，得 >0 ,?所求l 1的方程為y= 2x 土310 規(guī)律方法 直線與雙曲線相交的題目，一般先聯(lián)立方程組，消去一個變量，轉化成關于或y的一元二次方程？要注意根與系數(shù)的關系，根的判別式的應用 ？若與向量有關，則將向量用坐標表示，弁尋找其坐標間的關系，結合根與系數(shù)的關系求解.2X 2跟蹤演練3設雙曲線C： 2- y = 1(a>0)與直線I : x+ y = 1相交于兩個不同的點 A、B. a(1)求實數(shù)a的

22、取值范圍；設直線I與y軸的交點為P,若PA=求a的值.2 22221 a0,依題意*42A = 4a + 8a解 將y=- x+1代入雙曲線方程 ry = 1(a>0)中得(1 a)x+ 2ax 2a = 0. a? 0<a< 2 且 a* 1.設 A(xi, y1), B(X2, y? , P(0,1),因為 PA= 12pB 所以(Xi, y1 1) = 12(x2, y2 1)5 由此得Xi= 12X2.由于 Xi, X2是方程(1 a2) x2 + 2a2x 2a2 = 0 的兩根，1 a2 工 0, 且2 22?172a 5 22a所以 7AX 2 = -2 , X

23、2 = -121 - a 121 - a2F當堂檢測 全當堂訓練.休驗成功2 22,則 a=(x y1.已知雙曲線 -=1(a>0)的離心率為答案D解析由題意得e=4皿=2,若實數(shù)k滿足 )a2+ 3 = 2a,2 小 ，22""2 a + 3 = 4a , ? a = 1, ? a= 1.2 2 2 22.0<k<5,則曲線X匚叫二1與曲線花一一展1的(16 5 k16 k 5A. 實半軸長相等B. 虛半軸長相等C. 離心率相等D. 焦距相等 答案 D2 2 2XV22X解析 因為0<k<5,所以兩曲線都表示雙曲線，在不一 =1中a2= 16, b2= 5-k；在-165- k16- k2 V = 1 中 a2 = 16 k, b2 = 5. 由 c2= a2 + b2 知兩雙曲線的焦距相等，故選 D. 52 23.若在雙曲線X2 V = 1( a>0, b>0)的右支上到原點 。和右焦點F的距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. ( 2 ,十八)B . (1 ,2)C.