選修系列教學中的幾個問題(人民教育出版社中數(shù)室章建躍)

1、選修系列教學中的幾個問題選修系列教學中的幾個問題人民教育出版社中數(shù)室人民教育出版社中數(shù)室章建躍章建躍一、常用邏輯用語的教學一、常用邏輯用語的教學1內容與要求的說明內容與要求的說明四部分內容：命題及其關系；充分條件與四部分內容：命題及其關系；充分條件與必要條件；簡單的邏輯聯(lián)接詞；全稱量詞必要條件；簡單的邏輯聯(lián)接詞；全稱量詞與存在量詞（新增內容）。相互之間具有與存在量詞（新增內容）。相互之間具有緊密的聯(lián)系。緊密的聯(lián)系。學習目的：體會邏輯用語在表述和論證中學習目的：體會邏輯用語在表述和論證中的作用，能用邏輯用語準確地表達數(shù)學內的作用，能用邏輯用語準確地表達數(shù)學內容。容。所有例子都是數(shù)學的所有例子都是

2、數(shù)學的2本章難點分析本章難點分析理解必要條件的意義；理解必要條件的意義；對含有一個量詞的全稱命題或特稱命題的對含有一個量詞的全稱命題或特稱命題的否定。否定。分析：由分析：由p推出推出q，q是結論，怎么是結論，怎么q又成了又成了p的必要條件了？的必要條件了？ “充分充分”就是就是“有此就夠有此就夠了，不需要別的了了，不需要別的了”；“必要必要”就是就是“必必須要有，有了又不一定夠須要有，有了又不一定夠”，難在對，難在對“有有了不一定夠了不一定夠”的理解。分清條件和結論是的理解。分清條件和結論是關鍵。關鍵。對含有一個量詞的命題的否定對含有一個量詞的命題的否定不知道不知道該否什么。破解難點的方法是該

3、否什么。破解難點的方法是“做比較做比較”。例：所有矩形都是平行四邊形；例：所有矩形都是平行四邊形； 并非所有矩形都是平行四邊形；并非所有矩形都是平行四邊形； 所有矩形都不是平行四邊形；所有矩形都不是平行四邊形； 有的矩形不是平行四邊形。有的矩形不是平行四邊形。使用使用“等值語言等值語言”較多較多“也就是也就是”3教學建議教學建議（1）不要在復雜性、綜合性上做文章；）不要在復雜性、綜合性上做文章；（2）注意使用數(shù)學實例，采用）注意使用數(shù)學實例，采用“歸納式歸納式”教教學，加強對基本概念意義的理解；學，加強對基本概念意義的理解；（3）注意聯(lián)系性）注意聯(lián)系性從不同角度幫助理解；從不同角度幫助理解；（

4、4）符號語言的使用。）符號語言的使用。二、解析幾何的教學二、解析幾何的教學1“課標課標”對解析幾何內容的安排對解析幾何內容的安排坐標法為核心，依坐標法為核心，依“直線與方程直線與方程圓與圓與方程方程圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程極坐標系與極坐標系與參數(shù)方程參數(shù)方程”螺旋上升地展開內容。螺旋上升地展開內容。解析幾何是方法論解析幾何是方法論代數(shù)方法研究幾何。代數(shù)方法研究幾何。直線與圓直線與圓基礎，強調與平面幾何研究基礎，強調與平面幾何研究方法的比較，坐標法的體驗。方法的比較，坐標法的體驗。圓錐曲線圓錐曲線體現(xiàn)坐標法的威力（有限接體現(xiàn)坐標法的威力（有限接觸）觸）局限：缺少直觀形象支撐（數(shù)缺形時少直局限

5、：缺少直觀形象支撐（數(shù)缺形時少直觀）觀）幾何證明選講幾何證明選講中從立體幾何中從立體幾何角度進行了研究。角度進行了研究。坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程充分展示坐標法的充分展示坐標法的綜合性：坐標系的多樣性、曲線方程的多綜合性：坐標系的多樣性、曲線方程的多樣性、聯(lián)系方式的多樣性等。樣性、聯(lián)系方式的多樣性等。2編寫中考慮的幾個問題編寫中考慮的幾個問題（1）坐標法為核心，強調數(shù)形結合思想）坐標法為核心，強調數(shù)形結合思想明確提出明確提出“三步曲三步曲”；強調經歷用坐標法解決問題的完整過程：強調經歷用坐標法解決問題的完整過程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決。先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決。

6、例例 “橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程”的的“過程性過程性”：畫圖畫圖找動點滿足的幾何條件找動點滿足的幾何條件給定給定義義建坐標系建坐標系求曲線方程求曲線方程這里要建立起一套求曲線方程的這里要建立起一套求曲線方程的“規(guī)范規(guī)范”：動點滿足的幾何條件分析；動點滿足的幾何條件分析；根據圖形特點建立坐標系（利用對稱性、定點、根據圖形特點建立坐標系（利用對稱性、定點、定直線等），不同坐標系下有不同的方程形式；定直線等），不同坐標系下有不同的方程形式；各類幾何元素的坐標表示，如曲線上的任意點各類幾何元素的坐標表示，如曲線上的任意點（代表）、焦點等；（代表）、焦點等；根據對稱性等，給出適當?shù)拇鷶?shù)表示（如根

7、據對稱性等，給出適當?shù)拇鷶?shù)表示（如b的的引入）；反之，給出方程中引入）；反之，給出方程中“參數(shù)參數(shù)”的幾何意的幾何意義。義。（2）根據學生心理安排學習內容；）根據學生心理安排學習內容；（3）問題引導學習，改進教與學的方式；）問題引導學習，改進教與學的方式；（4）加強背景和應用，完善學習過程；）加強背景和應用，完善學習過程；（5）加強聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)）加強聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)“思想性思想性”；（6）體現(xiàn)教學設計思想。）體現(xiàn)教學設計思想。3. 幾個教學建議幾個教學建議（1）重視）重視“先行組織者先行組織者”的作用的作用解析幾何是解析幾何是方法論；方法論；例例1 使用章引言；研究哪些性質、如何研究的引使

8、用章引言；研究哪些性質、如何研究的引導。導。（2）重視）重視“幾何要素幾何要素”的分析的分析有效使用解析有效使用解析法的前提。法的前提。先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解。解。例例2 橢圓的幾何要素的探索橢圓的幾何要素的探索不同表現(xiàn)形式。不同表現(xiàn)形式。（3）加強聯(lián)系與綜合）加強聯(lián)系與綜合解析幾何的學科解析幾何的學科特點。特點。例例3 直線的參數(shù)方程中體現(xiàn)的聯(lián)系與綜直線的參數(shù)方程中體現(xiàn)的聯(lián)系與綜合：平面直角坐標系中，確定直線的幾合：平面直角坐標系中，確定直線的幾何要素；參數(shù)的思想何要素；參數(shù)的思想點點P的坐標由參的坐標由參數(shù)數(shù)t唯一確定；有向線

9、段；方向向量；三唯一確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；比例；角函數(shù)；比例；不同聯(lián)系方式下的教學設計不同聯(lián)系方式下的教學設計參數(shù)方程：坐標參數(shù)方程：坐標x，y作為參數(shù)作為參數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)以確定曲線的幾何要素為基點，考察坐以確定曲線的幾何要素為基點，考察坐標隨哪一要素的變化而變化。標隨哪一要素的變化而變化。找一座找一座“橋橋”，把任意一點，把任意一點P(x，y) 與確與確定直線的幾何要素：傾斜角定直線的幾何要素：傾斜角、點、點P(x0，y0)聯(lián)系起來。聯(lián)系起來。與幾何、三角的聯(lián)系與幾何、三角的聯(lián)系將將P(x，y) 、P0 (x0，y0) y在直角坐標系中表示出來，在直角坐標系中表示出來， P可

10、以看到可以看到P0P的橋梁作用：的橋梁作用： PM= P0P sin， P0M= P0P cos。 P0 M O x與向量的聯(lián)系與向量的聯(lián)系向量代數(shù)是坐標幾何的返璞歸真精益求精向量代數(shù)是坐標幾何的返璞歸真精益求精數(shù)軸：原點、方向、長度單位數(shù)軸：原點、方向、長度單位 數(shù)軸上點的坐標數(shù)軸上點的坐標數(shù)乘運算數(shù)乘運算坐標系中的直線坐標系中的直線與數(shù)軸沒有本質區(qū)別：與數(shù)軸沒有本質區(qū)別： 點點P(x0，y0)原點原點 傾斜角傾斜角方向方向 單位向量單位向量長度單位長度單位 直線上任意一點的坐標直線上任意一點的坐標數(shù)乘運算數(shù)乘運算純粹的代數(shù)、三角變換純粹的代數(shù)、三角變換由直線方程由直線方程yy0 =tan（

11、xx0）出發(fā)的）出發(fā)的代數(shù)變換：代數(shù)變換：這一過程無法這一過程無法反映參數(shù)的幾反映參數(shù)的幾何意義何意義sin,coscossin0000tyytxxtxxyy（4）注意控制難度。）注意控制難度。幾何意義幾何意義復雜的代數(shù)表述，可以產復雜的代數(shù)表述，可以產生復雜的題目。生復雜的題目。三、空間向量與立體幾何三、空間向量與立體幾何1對內容的說明對內容的說明空間向量基礎知識；向量法解立體幾何題?？臻g向量基礎知識；向量法解立體幾何題。“九九B”重點在立幾知識，空間向量只作解重點在立幾知識，空間向量只作解題工具；本章空間向量和向量法是重點內題工具；本章空間向量和向量法是重點內容，不介紹系統(tǒng)的立體幾何知識。

12、容，不介紹系統(tǒng)的立體幾何知識。重點：空間向量及其運算；向量法。重點：空間向量及其運算；向量法。難點：立體圖形元素的向量表示，如基底難點：立體圖形元素的向量表示，如基底的選擇。的選擇。2編寫中考慮的幾個問題編寫中考慮的幾個問題（1）兩個指導思想：）兩個指導思想：以必修系列為基礎，從數(shù)量表示和幾何意以必修系列為基礎，從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把向量及其運算從二維提升到義兩方面，把向量及其運算從二維提升到三維，這是三維，這是“由此及彼，由淺入深由此及彼，由淺入深” 的認的認識發(fā)展過程。識發(fā)展過程。以立體幾何問題為載體，體現(xiàn)向量的工具以立體幾何問題為載體，體現(xiàn)向量的工具作用和向量法的基本步驟和原理，

13、再次滲作用和向量法的基本步驟和原理，再次滲透代數(shù)化（符號、運算）、模型化、程序透代數(shù)化（符號、運算）、模型化、程序化等數(shù)學思想。化等數(shù)學思想。（2）注重聯(lián)系，溫故知新，用類比法認識新）注重聯(lián)系，溫故知新，用類比法認識新問題。問題。從開篇引言到章尾小結都關注空間向量與從開篇引言到章尾小結都關注空間向量與平面向量的聯(lián)系平面向量的聯(lián)系問題的設置也延續(xù)了問題的設置也延續(xù)了平面向量的做法。平面向量的做法。（3）強調通性通法，突出一般規(guī)律，滲透基本數(shù)學）強調通性通法，突出一般規(guī)律，滲透基本數(shù)學思想。思想。向量向量既有大小又有方向的量；向量的運算既有大小又有方向的量；向量的運算法則、運算律、幾何解釋、各種表

14、示形式等；法則、運算律、幾何解釋、各種表示形式等；向量法向量法研究幾何的位置關系、大小度量，用研究幾何的位置關系、大小度量，用“三步曲三步曲”。處理好兩個問題：第一，以數(shù)及其運算為類比對處理好兩個問題：第一，以數(shù)及其運算為類比對象，認識平面向量及其運算、空間向量及其運算象，認識平面向量及其運算、空間向量及其運算之間的異同，用同樣的方法討論不同維數(shù)下的共之間的異同，用同樣的方法討論不同維數(shù)下的共同問題；同問題；第二，體現(xiàn)向量法的第二，體現(xiàn)向量法的“通法通法”特點：特點：“代代數(shù)化數(shù)化”和和“程序化程序化”，即引進向量表示，即引進向量表示，用運算代替幾何推理，用向量的坐標表示用運算代替幾何推理，用

15、向量的坐標表示把幾何徹底推向把幾何徹底推向“有效能算有效能算”的水平；的水平；“模型化模型化”，即用抽象符號把一類對象轉化，即用抽象符號把一類對象轉化為其他等價形式。為其他等價形式。3. 教學建議教學建議（1）把重點放在空間向量和向量法上。）把重點放在空間向量和向量法上?？臻g向量的教學中，用好平行六面體；類空間向量的教學中，用好平行六面體；類比平面向量提出空間向量中的問題和研究比平面向量提出空間向量中的問題和研究方法方法可以自學?？梢宰詫W。3.2節(jié)的教學，以立體幾何問題為載體，以節(jié)的教學，以立體幾何問題為載體，以向量法學習為主；注意引導學生思考幾何向量法學習為主；注意引導學生思考幾何問題的向量

16、表示。問題的向量表示。向量法中，要抓住根據條件選擇適當?shù)南蛄糠ㄖ?，要抓住根據條件選擇適當?shù)摹盎谆住?，建立空間坐標系的訓練。，建立空間坐標系的訓練。（2）注意數(shù)與形的關聯(lián)。）注意數(shù)與形的關聯(lián)。向量向量數(shù)與形的結合體，要注意與立體幾何數(shù)與形的結合體，要注意與立體幾何的橫向聯(lián)系，特別要注意點、線、面關系的向的橫向聯(lián)系，特別要注意點、線、面關系的向量表示（這是核心），如：量表示（這是核心），如： 四點共面四點共面 線線平行線線平行 lm ab a=kb； 線面平行線面平行 l au au=0； 面面平行面面平行 uv u=kv。垂直的關系也一樣。這些要非常熟練。垂直的關系也一樣。這些要非常熟練。O

17、CzOByOAxOP（3）強化對向量運算的作用的認識。）強化對向量運算的作用的認識。有了運算，向量威力無限；沒有運算，向有了運算，向量威力無限；沒有運算，向量只是路標。向量的作用主要通過運算得量只是路標。向量的作用主要通過運算得到體現(xiàn)。到體現(xiàn)。四、導數(shù)及其應用的教學四、導數(shù)及其應用的教學1對教學內容的說明對教學內容的說明了解導數(shù)的實際背景，知道瞬時變化率就了解導數(shù)的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)；直觀理解導數(shù)的幾何意義；是導數(shù)；直觀理解導數(shù)的幾何意義；能根據定義求能根據定義求5個冪函數(shù)的導數(shù)；個冪函數(shù)的導數(shù)；能利用導數(shù)公式和四則運算法則求簡單函能利用導數(shù)公式和四則運算法則求簡單函數(shù)和形如數(shù)和

18、形如f(ax+b)的導數(shù)；的導數(shù)；導數(shù)的應用：研究函數(shù)性質、生活中的優(yōu)導數(shù)的應用：研究函數(shù)性質、生活中的優(yōu)化問題；化問題；通過通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），了解定積分的實際背景；借助幾何直等），了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；的概念；通過實例（如變速運動物體在某段時間內的通過實例（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系），直觀了解微積分基本速度與路程的關系），直觀了解微積分基本定理的含義。定理的含義。 理論要求不高，注重思想，注重過程，理論要求不高，注重思想

19、，注重過程，注重應用。注重應用。2“不講不講”極限如何講導數(shù)極限如何講導數(shù)“不講不講”什么，什么，“講講”了什么？了什么？（1）不講極限的形式化概念，不出現(xiàn)）不講極限的形式化概念，不出現(xiàn)“”定義；不把導數(shù)處理為一種特殊定義；不把導數(shù)處理為一種特殊的極限（增量比的極限）。的極限（增量比的極限）。（2）講了導數(shù)概念的本質，強調了導數(shù)的）講了導數(shù)概念的本質，強調了導數(shù)的思想，強調了導數(shù)的物理意義和幾何意思想，強調了導數(shù)的物理意義和幾何意義，強調了導數(shù)的應用。義，強調了導數(shù)的應用。教材是如何處理導數(shù)概念的教材是如何處理導數(shù)概念的（1）構建）構建“平均變化率平均變化率瞬時變化率瞬時變化率導導數(shù)數(shù)”的認識

20、過程的認識過程直接通過能反映導數(shù)思想和本質的、學生直接通過能反映導數(shù)思想和本質的、學生熟悉的實例，例如速度、膨脹率、效率、熟悉的實例，例如速度、膨脹率、效率、增長率等，使學生經歷從平均變化率到瞬增長率等，使學生經歷從平均變化率到瞬時變化率的過程，認識和理解導數(shù)概念，時變化率的過程，認識和理解導數(shù)概念，即導數(shù)就是瞬時變化率；加強導數(shù)的幾何即導數(shù)就是瞬時變化率；加強導數(shù)的幾何意義的認識和理解。意義的認識和理解。在在00，0.50.5這段時間內的平均速度這段時間內的平均速度在在11，22這段時間內的平均速度這段時間內的平均速度運動員在某一時刻運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示？的瞬時速度怎樣表示？y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？處的瞬時變化率怎樣表示？（2）淡化形式化的導數(shù)運算，加強導數(shù)在研究實）淡化形式化的導數(shù)運算，加強導數(shù)在研究實際問題和函數(shù)性質中的應用際問題和函數(shù)性質中的應用導數(shù)是研究函數(shù)性質的導數(shù)是研究函數(shù)性質的“通法通法”，是一個有效、，是一個有效、好用的工具（初等方法是一種好用的工具（初等方法是一種“特技特技”）。教）。教材中有較多的只用圖象表示的函數(shù)、超越函數(shù)材中有較多的只用圖象表示的函數(shù)、超越函數(shù)的例子。的例子。研究問題的拓展：單調性（重點）、增長快慢研究問題的拓展：單調性（重點）、增長快慢的描述、極值、最大（?。┲怠５拿枋?、極值、最