應(yīng)用時間序列分析習(xí)題答案解析

1、第二章習(xí)題答案2.1（1）非平穩(wěn)（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有單調(diào)趨勢的時間序列樣本自相關(guān)圖2.2（1）非平穩(wěn)，時序圖如下（2）- （3）樣本自相關(guān)系數(shù)及自相關(guān)圖如下：典型的同時具有周期和趨勢序列的樣本自相 關(guān)圖2.3（1）自相關(guān)系數(shù)為：0.20230.0130.042-0.043-0.179 -0.251-0.0940.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070-0.0250.075-0.141-0.204-0.2450.0660.0062-0.139-0.0340.2

2、06-0.0100.0800.1182）平穩(wěn)序列3）白噪聲序列 2.4LB=4.83 ，LB統(tǒng)計量對應(yīng)的分位點為 0.9634 ，P值為 0.0363 。顯著性水平=0.05，序列不能視為純隨機序列。2.51）時序圖與樣本自相關(guān)圖如下2) 非平穩(wěn)3)非純隨機2.6(1)平穩(wěn)，非純隨機序列(擬合模型參考：ARMA(1,2) )(2)差分序列平穩(wěn)，非純隨機 第三章習(xí)題答案 3.1 解：E(xt) 0.7 E(xt1) E( t)(10.7B) xttxt(110.7B) 1 t22(1 0.7B 0.72 B2)Var(xt )1222 1.9608 21 0.492210 0.4922 0(1

3、0.7)E(xt ) 0E(xt ) 03.2 解：對于 AR(2)模型：110211 2 1 0.5211201 1 2 0.3解得：1 7/152 1/153.3 解：根據(jù)該 AR(2)模型的形式，易得： E(xt ) 0原模型可變?yōu)椋?xt 0.8xt 1 0.15xt 2tVar ( xt )12(1 2)(1 1 2)(1 1 2 )(1 0.15)(1 0.15)(1 0.8 0.15)(1 0.8 0.15)22 =1.98231 1 /(1 2 ) 0.695721 1 2 0 0.40663 1 22 1 0.220911 122 2330.69570.1503.4解：原模型

4、可變形為：2(1 B cB2 )xtt由其平穩(wěn)域判別條件知：當(dāng) | 2 | 1， 21 且 2 1 1時，模型平穩(wěn)。3.53.63.7由此可知 c 應(yīng)滿足： |c| 1， c 1 1且c即當(dāng) 1c0時，該 AR(2)模型平穩(wěn)。 證明：已知原模型可變形為：(1 B cB 2 cB 3 )xt其特征方程為： 3 2不論 c 取何值，都會有一特征根等于2解：(1)錯，0 Var(xt )1)(c)2)3)4)5)解：錯，錯，錯，錯，1，/(1因此模型非平穩(wěn)21E(xtx?T(l)eT(l)(xt 1)l1 xT 。Tl10/(112)。G1 T lG2TlGl 1 T 11Tl1Tll11Tllim

5、 VarxTx?T (l) llim Var eT (l )im1112l121121 12 。11 124 12 121MA(1) 模型的表達(dá)式為：xt3.8 解法 1：由 xt = + t2 t 2 ，得 xt 1 = +t12 t 3 ，則xt 0.5xt 1=0.5 + t0.5) t 1 ( 2 0.5 1)t 2+0.5 2 t 3 ，與 xt =10+0.5 xt 1 + t0.82+C t3 對照系數(shù)得0.510,0.5 020.50.5 1 0.8 ，故2C20,0.5,0.55, 。0.275解法 2：將 xt 10 0.5xt 1 t 0.8 t 2 C t 3 等價表達(dá)

6、為1 0.8B2 CB3xt 20 tt 1 0.5B t1 0.8B2 CB3 (1 0.5B 0.52 B2 0.53 B3 L ) txt 20 1 0.5B 0.55B 20.5k (0.53 0.4 C)B3 k t k0展開等號右邊的多項式，整理為10.5B0.52B20.53B3440.54B4L0.8B20.80.5B3240.8 0.52 B4LCB30.5CB 4L合并同類項，原模型等價表達(dá)為當(dāng) 0.53 0.4 C0時，該模型為 MA(2) 模型，解出 C 0.275 。Var(xt ) (11.653.9 解： E(xt ) 011120.980.5939121221.

7、6520.40.2424 k 0， k 3212122 1.653.10 解法 1：(1)xttC( t 1t 2 )xt 1t1 C(t 2 t 3)xttCxt 1Ct1t1xt 1t (C 1) t 12122 ) 22即 (1 B) xt 1 (C 1)B t顯然模型的 AR部分的特征根是 1，模型非平穩(wěn)(2) yt xt xt 1 t (C 1) t 1 為 MA(1)模型，平穩(wěn)。1 C 11 2 21 1 12 C 2 2C 2解法 2：(1)因為 Var (xt) lim(1 kC2) 2 ，所以該序列為非平穩(wěn)序列。 k2) yt xt xt 1 t (C 1) t 1 ，該序列

8、均值、方差為常數(shù)，E(yt) 0, Var ( yt ) 1 (C 1)2 2自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔長度有關(guān)，與起始時間無關(guān)C11 (C 1)2k 0,k 2所以該差分序列為平穩(wěn)序列。1 0.6 0.3 0.3 ，3.11 解：(1) | 2 | 1.2 1，模型非平穩(wěn)；1 1.37382 -0.87362)| 2 | 0.3 1 ，2 1 0.81 ， 21 1.41，模型平穩(wěn)。1 0.62 0.53)| 2 | 0.3 1 ，2 1 0.61 ， 21 1.21，模型可逆。1 0.45 0.2693i2 0.45 0.2693i4)| 2 | 0.4 1 ，2 1 0.91 ， 21 1.

9、71，模型不可逆。1 0.25692 -1.55695)| 1 | 0.7 1 ，模型平穩(wěn)； 10.7| 1 | 0.6 1，模型可逆； 10.66)| 2 | 0.5 1 ，2 1 0.31 ， 21 1.31，模型非平穩(wěn)。1 0.41242-1.2124|1 | 1.1 1 ，模型不可逆； 11.1。3.12 解法 1： G0 1， G1 1G0Gk1Gk 11k 1G1 0.3 0.6k 1,k 2所以該模型可以等價表示為：xtt 0.3 0.6 t k 1 。k0解法 2： (1 0.6B)xt (1 0.3B) txt(1220.3B)(1 0.6B 0.62 B2)t(10.3B

10、0.3* 0.6B2 0.3*0.62 B3) t0.3* 0.6j 1 tj1G0j11，Gj 0.3* 0.6 j 13.13解： E (B)xt E3(B) t(10.5)2E(xt ) 3E(xt ) 12。3.14證明：已知 11，根據(jù)4ARMA（1,1） 模型 Green 函數(shù)的遞推公式得：G01 ， G11G00.50.251k 1G11,k 2GjGjj02j1Gj2j0GjGj kj02( j 1)11j1Gj1 Gj kj0511 12412124111 12GjGj k 1j05141726,kj0j0j0（ 1）成立（ 2）成立（ 3）成立（4）不成立解：（1) xt1

11、0 0.3*(xt 110) t ，xT 9.6x?T (1)E(xt 1)E10 0.3*(xT10) T1 9.88x?T(2)E(xt 2 )E10 0.3* (xT1 10)T 2 9.964x?T(3)E(xt 3)E10 0.3* (xT2 10)T 3 9.9892已知 AR（1）模型的 Green 函數(shù)為： Gj1j ， j 1，2，11k13.153.16G2jGj2G2j0.27eT (3) G0 t 3 G1 t 2 G2 t 1 t 3 1 t 2 1 t 1 Var eT (3) (1 0.32 0.092 ) * 9 9.8829xt 3的95的置信區(qū)間： 9.98

12、92-1.96*9.8829，9.98921.96* 9.8829 即3.8275,16.15092) T 1 xT 1 x?T (1) 10.5 9.88 0.62x?T 1(1) E(xt 2) 0.3* 0.62 9.964 10.15x?T 1(2) E(xt 3) 0.09* 0.62 9.9892 10.045VareT 2(2) (1 0.32)* 9 9.81xt 3的95的置信區(qū)間： 10.045-1.96 9.81 ，10.045 1.96* 9.81 即3.9061,16.1839 。3.17 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列 ( 2) AR(1)(3) 5 年預(yù)測結(jié)果如下：3.

13、18 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列 ( 2) AR(1)(3) 5 年預(yù)測結(jié)果如下：3.19 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列(2) MA(1)(3) 下一年 95%的置信區(qū)間為( 80.41,90.96 )3.20 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列 (2)ARMA(1,3)序列3）擬合及 5 年期預(yù)測圖如下：第四章習(xí)題答案4.1 解：x?T 11(xTxT 14xT 2xT 3)1555x?T 2(x?T 1 xTxT 1xT 2)xTxT 1xT 24 T 1 T16 T16 T 116 T 2116xT5 以，在 x?T 2中xT與xT 1前面的系數(shù)均為 16。4.2 解 由x%txt (1)x%t 1x%

14、t 1 xt 1 (1 )x%t 代入數(shù)據(jù)得x%t 5.25 5(1 )5.26 5.5 (1 )x%t 解得x%t 5.1 0.4(舍去1的情況 )4.3 解：（ 1）11x?21(x20 x19 x18 x17 +x16) (13+11+10+10+12)=11.5511x?22( x?21+ x20 x19 x18 x17) ( 11.2+13+11+10+10)=11.04552）利用 x%t 0.4xt 0.6x%t 1且初始值 x%0 x1 進行迭代計算即可。 另外，x?22 x?21 x%20 該 題詳見 Excel 。 11.792773）在移動平均法下 :X?21191X20

15、 1 19Xi55i 16X?2211 1 19 X?21X 20Xi555 i 171116a55525在指數(shù)平滑法中 :x?22x?21 x%20 0.4 x20 0.6x%19b 0.4ba0.46250.16。1）式成立，（1）式等號兩邊同乘 （1 ） 有（ 2）式成立則ltim x%tt ltim1。x%t t(t 1) (1)(t 2) (1)2(t2)(1)3 L (1)(1)x%tt (1)(t 1) (1)2(t2)(1)3 L (2)1）- （ 2）得x%tt(1)(1)2Lx%tt (1)(1)2L4.4 解：根據(jù)指數(shù)平滑的定義有（t14.5 該序列為顯著的線性遞增序列，

16、利用本章的知識點，可以使用線性方程或者 holt 兩參 數(shù)指數(shù)平滑法進行趨勢擬合和預(yù)測，答案不唯一，具體結(jié)果略。4.6 該序列為顯著的非線性遞增序列， 可以擬合二次型曲線、 指數(shù)型曲線或其他曲線， 也能使用 holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑法進行趨勢擬合和預(yù)測，答案不唯一，具體結(jié)果略。4.7 本例在混合模型結(jié)構(gòu)， 季節(jié)指數(shù)求法， 趨勢擬合方法等處均有多種可選方案， 如下做法 僅是可選方法之一，結(jié)果僅供參考（1）該序列有顯著趨勢和周期效應(yīng)，時序圖如下（ 2）該序列周期振幅幾乎不隨著趨勢遞增而變化，所以嘗試使用加法模型擬合該序列： xt Tt St It 。（注：如果用乘法模型也可以）首先求季節(jié)指數(shù)（沒有

17、消除趨勢，并不是最精確的季節(jié)指數(shù)）0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.1165661.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179消除季節(jié)影響， 得序列 yt xt Stx ，使用線性模型擬合該序列趨勢影響 （方法不唯一）Tt 97.70 1.79268t ， t 1,2,3, L（注：該趨勢模型截距無意義，主要是斜率有意義，反映了長期遞增速率） 得到殘差序列 It xt St x yt Tt ，殘差序列基本無顯著趨勢和周期殘留。預(yù)測1971年奶牛的月度產(chǎn)量序列為 x)t T)t

18、S?mod t 12 x ,t 109,110,L ,120得到771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.33273）該序列使用 x11 方法得到的趨勢擬合為趨勢擬合圖為4.8 這是一個有著曲線趨勢 , 但是有沒有固定周期效應(yīng)的序列 , 所以可以在快速預(yù)測程序中 用曲線擬合（ stepar ）或曲線指數(shù)平滑（ expo ）進行預(yù)測（ trend=3 ）。具體預(yù)測值略。第五章習(xí)題5.1 擬合差分平穩(wěn)序列 , 即隨機游走模型 xt =xt

19、-1+ t , 估計下一天的收盤價為 2895.2 擬合模型不唯一，答案僅供參考。擬合 ARIMA(1,1,0) 模型，五年預(yù)測值為：5.3 ARIMA (1,1,0) (1,1,0)125.4 (1)AR(1)， (2) 有異方差性。最終擬合的模型為xt =7.472+ t t =-0.5595 t-1+vtvt= ht etht =11.9719+0.4127vt2-15.5(1) 非平穩(wěn)(2) 取對數(shù)消除方差非齊，對數(shù)序列一節(jié)差分后，擬合疏系數(shù)模型AR(1，3) 所以擬合模型為ln xARIMA (1,3),1,0)3)預(yù)測結(jié)果如下：5.6 原序列方差非齊，差分序列方差非齊，對數(shù)變換后，

20、差分序列方差齊性。第六章習(xí)題6.1 單位根檢驗原理略。例 2.1 原序列不平穩(wěn)，一階差分后平穩(wěn)例 2.2 原序列不平穩(wěn)，一階與 12步差分后平穩(wěn)例 2.3 原序列帶漂移項平穩(wěn)例 2.4 原序列不帶漂移項平穩(wěn)例 2.5 原序列帶漂移項平穩(wěn) ( =0.06) ，或者顯著的趨勢平穩(wěn)。6.2 （ 1）兩序列均為帶漂移項平穩(wěn) （2）谷物產(chǎn)量為帶常數(shù)均值的純隨機序列，降雨量可以擬合AR（ 2）疏系數(shù)模型。（3）兩者之間具有協(xié)整關(guān)系（4）谷物產(chǎn)量 t 23.5521 0.775549降雨量 t6.3 （ 1）掠食者和被掠食者數(shù)量都呈現(xiàn)出顯著的周期特征，兩個序列均為非平穩(wěn)序列。但 是掠食者和被掠食者延遲 2階

21、序列具有協(xié)整關(guān)系。即 yt - xt-2 為平穩(wěn)序列。（2）被掠食者擬合乘積模型： ARIMA （0,1,0） （1,1,0）5 , 模型口徑為15xt = 5 t5 t 1+0.92874B5 t擬合掠食者的序列為：yt =2.9619+0.283994 xt-2 + t-0.47988 t-1未來一周的被掠食者預(yù)測序列為：Forecasts for variable xObsForecastStd Error95% Confidence Limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.

22、098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-176.5965303.72085580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.5955-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者預(yù)測值為：Forecasts for variable yObsForecastStd Error95% Confidence Limits4932.769