帕坦卡-斯波爾丁學(xué)派方法簡介

1、第9章 數(shù)值計(jì)算法帕坦卡-斯波爾丁學(xué)派方法簡介何險(xiǎn)峰2009年12月傳遞過程原理 2本章內(nèi)容1.微分方程的離散化2.差分方程的建立3.隱式方案和代數(shù)方程的解4.對流與擴(kuò)散5.流場計(jì)算6.小結(jié)3斯波爾丁簡介Brian Spalding1923生于英格蘭英國皇家工程院院士，英國帝國理工大學(xué)， PHOENICS創(chuàng)辦人BE, 1944, Oxford University Ph.D 1952, Cambridge University 4帕坦卡簡介Suhas V. Patankar1941生于印度，Brian Spalding的學(xué)生Univ. of Minnesota, Dept. of Mechan

2、ical Univ. of Minnesota, Dept. of Mechanical EngineeringEngineeringSIMPLE 代碼CFD biblePh.D., 1967, Mechanical Engineering, University of LondonM.Tech, 1964, Indian Institute of Technology- Mumbai (India) B.E. 1962, University of Pune, India5微分方程的離散化微分方程的通用形式（層流）St)()()(v連續(xù)方程連續(xù)方程運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程能量方程能量方程A組分連續(xù)方

3、程組分連續(xù)方程6微分方程的離散化微分方程的通用形式（湍流）iiiiiiSxxvxt)()()(連續(xù)方程連續(xù)方程運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程能量方程能量方程A組分連續(xù)方程組分連續(xù)方程k- 模型模型7微分方程的離散化單向坐標(biāo)和雙向坐標(biāo)單向坐標(biāo)和雙向坐標(biāo)的定義空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)對流過程和擴(kuò)散過程拋物線型和橢圓形方程8微分方程的離散化積分區(qū)域的網(wǎng)格化正交網(wǎng)格貼體網(wǎng)格9微分方程的離散化差分方程的一般格式網(wǎng)格和結(jié)點(diǎn)從結(jié)點(diǎn)劃分網(wǎng)格從網(wǎng)格劃分結(jié)點(diǎn)10微分方程的離散化差分方程的一般格式二維定態(tài)baaaaaWWNNSSEEPPbaaaaaaaaBBFFWWNNSSEEPPPP00三維非定態(tài)通式：baanbnbPP11微分方程

4、的離散化 值分布假設(shè)階梯分布分段線性分布12建立差分方程建立差分方程的一般方法泰勒級數(shù)法.dd)(! 31dd)(! 21dd)(! 11)()(33302220000 xfxxxfxxxfxxxfxfxx一維泰勒展開.)(dd21dd2222221xxxx .)(dd21dd2222223xxxx 13建立差分方程建立差分方程的一般方法泰勒級數(shù)法xx 2dd1322231222)(2ddxx 缺點(diǎn)：物理意義不明 缺乏彈性14建立差分方程建立差分方程的一般方法變分法基本思想：解微分方程化為求變分（泛函）的最小缺點(diǎn)：適用范圍有限（固體力學(xué)和傳熱）15建立差分方程建立差分方程的一般方法加權(quán)余數(shù)法0

5、)(LRL)(0d xWR近似解：)(.)()(22110 xfaxfaxfaamm令：R：余數(shù)W：權(quán)函數(shù)正交函數(shù)系)(xfm16建立差分方程控制容積法計(jì)算范圍在一個(gè)基本控制容積（網(wǎng)格）內(nèi)控制容積法要求： 物理上真實(shí) 整體平衡（邊界、通量等）17建立差分方程例9.1一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的離散化0ddddSxTxbTaTaTaWWEEPPeeExa)(wwWxa)(xSaaaPWEP xSbC 離散化后其中：18建立差分方程離散化的四項(xiàng)基本原則法則1：控制容積界面上的連續(xù)性法則法則2：正系數(shù)法則法則3：源項(xiàng)的負(fù)斜率線性化法則法則4：相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)之和法則0PS0)(nbpanbpaa19隱式方案一維非穩(wěn)

6、態(tài)熱傳導(dǎo)對控制容積積分xTxtTcV tttewewtttVtxxTxxttTcddddtTffTtTPPtttP )1 (d01令：tttwWPwePEePPVtxTTxTTTTxcd)()()()()(0120隱式方案一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)0000)1 ()1 ()1 ()1 (PWEPWWWEEEPPTafafaTffTaTffTaTaeeExa)(wwWxa)(txcaVP 00PWEPafafaa21隱式方案一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)1. 顯示模式 f=00000PWEPWWEEPPTaaaTaTaTa22隱式方案一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)2. 克蘭克-尼科爾森模式 f=0.500005 . 05 . 05

7、. 05 . 0PWEPWWWEEEPPTaaaTTaTTaTaxtxcaaaVWEP5 . 05 . 00可能 0, 解是震蕩的23隱式方案一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)3. 全隱模式f=1bTaTaTaWWEEPPeeExa)(wwWxa)(txcaVP 0 xSaaaaPPWEP000PPcTaxSbt穩(wěn)態(tài)模型24隱式方案二維和三維熱傳導(dǎo)SyTyxTxtTcV25代數(shù)方程的解高斯-賽德爾逐點(diǎn)計(jì)算法PnbnbPabTaT*26代數(shù)方程的解迭代的收斂性斯卡巴勒準(zhǔn)則：個(gè)方程對其中至少對所有的方程111Pnbaa迭代的穩(wěn)定性(顯式模式）2)(2xctV 27代數(shù)方程的解松弛法*PPnbnbPPTabTaTT2

8、8對流與擴(kuò)散0)(vt通用微分方程連續(xù)性方程：Svt)()()(通用傳遞方程：Svt)(可以化為：29對流與擴(kuò)散0)(v一維穩(wěn)態(tài)對流-擴(kuò)散問題一維情況下，展開：Svt)()()(傳遞方程：穩(wěn)態(tài)/無源項(xiàng))()(vxxxuddddd)(d連續(xù)性方程：0d)(dxu一維展開：constu（1）30對流與擴(kuò)散中值分線段方法)(21PEe)(21WEw對（1）積分：wewexxuudddd)()()()()()()()(21)()(21WPwwPEeeWPwPEexxuuuF)( xD令：31對流與擴(kuò)散中值分線段方法WWEEPPaaa離散化方程為：uF)( xD2eeEFDa2wwWFDa)(weWEPFFaaa32對流與擴(kuò)散中值分線段方法（1）滿足連續(xù)性方程（2）不一定滿足正系數(shù)法制（3）不一