高數(shù)4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分

1、第四節(jié)第四節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分 第四章第四章 基本積分法基本積分法 : 直接積分法直接積分法 ; 換元積分法換元積分法 ;分部積分法分部積分法 初等函數(shù)初等函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)初等函數(shù)初等函數(shù)積分積分（見本節(jié)第一段）（見本節(jié)第一段）一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與

2、分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法）利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和一個(gè)真分式之和.例如，例如，我們可將我們可將1123 xxx.112 xx化為多項(xiàng)式與真分式之和化為多項(xiàng)式與真分式之和kaxA)( 2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡式之和）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡式之和最簡分式是下面兩種形式的分式最簡分式是下面兩種形式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk，為正整數(shù)（

3、1）分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()( 為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系待定系數(shù)法數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,3

4、2 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxAAxCABxCA)2()(12.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2通分以后比較分子得：通分以后比較分子得： 1020ACABCA1, 1, 1 CBA)()(1112 xCxBxxA 我們也可以用我們也可以用賦值法賦值法來得到最簡分式，比來得到最簡分式，比如前面的如前面的例例2，兩端去分母后得到，兩端去分母后得到 :值代入特殊的x; 11Bx令.11)1(112 xxx2)

5、1(1 xx; 10Ax令; 12Cx令例例3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 求積分求積分 .2123dxxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.| 1|ln11|lnCxxx解：解： dxxxx2321例例2例例5 求積分求積分 解：解：.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(

6、21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例3dxxxx2151522154.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同變形方法同例例6, 并利用并利用 第三節(jié)第三節(jié) 例例9 . 例例6 求注意：注意：有理函數(shù)的積分就是對下列有理函數(shù)的積分就是對下列三類函數(shù)三類函數(shù)的積分：的積分：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA

7、;)()3(2nqpxxNMx 主要討論（主要討論（3）積分）積分, 1)1 n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab ,422pqa ,2MpNb 其中其中,222atqpxx , bMtNMx 并記并記令令tpx 2,42222pqpxqpxx , 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22第三節(jié)第三節(jié) 例例9結(jié)論：結(jié)論： 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d

8、4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 例例7（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題

9、技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁例例8 （補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求點(diǎn)擊看點(diǎn)擊看“常規(guī)解法常規(guī)解法”1d4xx第一步第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步第三步 分項(xiàng)積分 .此解法較繁此解法較繁 !按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè))cos,

10、(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換萬能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則2cos2sin2cos2sin2sin 22xxxxx這是因?yàn)?tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 22tan2tan 1tan2xxx2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 例例9 （課本例（課本例5）求求.)cos1(sinsin1 dxxx

11、x解：解：令,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan2,2tanxu 則例例10（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求.sin1cos dxxx解：解：22221211211uduuuuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 一直做下去，一定可以積出來，只是一直做下去，一定可以積出來，只是太麻煩太麻煩。 dxxxsin1cos xxdsin1)sin1(Cx )sin1ln( 由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，由此可以看出，萬能

12、代換法不是最簡方法，能不用盡量不用。能不用盡量不用。,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例11（課本課本 例例7）求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根

13、指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例12 求（自學(xué)課本（自學(xué)課本 例例8）.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln例例13 求（自學(xué)課本（自學(xué)課本 例例9）本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項(xiàng)式及部分分式之和多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單

14、無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計(jì)算簡便計(jì)算 .簡便簡便 , 作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題4-4 2，3，6，7思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 如何求下列積分更簡便如何求下列積分更簡便 ?)0(d1662axxax）（xxxcossind23）（解解: （1）23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln61（2） 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos2. 求xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222