全等三角形解題技巧

1、造全等三角形解題的技巧全等三角形是初中幾何三角形中的一個(gè)重要內(nèi)容，是初中生必須掌握的三角形兩大知識點(diǎn)之一（全等和相似），在解決幾何問題時(shí)，若能根據(jù)圖形特征添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出全等三角形，并利用全等圖形的性質(zhì)，可以使問題化難為易，出奇制勝，現(xiàn)舉幾例供大家參考。友情提示：證明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、見角平分線試折疊，構(gòu)造全等三角形例1 如圖1，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC。求證：B：C=2：1。 證法一：在線段AC上截取AE=AB，連接DE。在ABD和AED中AE=AB，1=2，AD=AD， ABDAED。 DE=DB，B=AED。A

2、B+BD=AC， AE+DE=AC。又AE+CE=AC， DE=CE。 C=EDC。AED=C+EDC， AED=2C，即B=2C。 B：C=2：1。證法二：延長AB到F，使BF=BD，連接DF。 F=BDF。ABC=F+BDF， ABC=2F。AB+BD=AC， AB+BF=AC， 即AF=AC。在ADF和ADC中，AF=AC，1=2，AD=AD， ADFADC。 F=C。又ABC=2F， ABC=2C， 即ABC：C=2：1。點(diǎn)評：見到角平分線時(shí)，既可把ABD沿AD折疊變成AED，也可把ACD沿AD折疊變成AFD，利用全等三角形的性質(zhì)，可使問題得以解決。練習(xí)：如圖3，ABC中，AN平分BA

3、C，CNAN于點(diǎn)N，M為BC中點(diǎn)，若AC=6，AB=10，求MN的長。圖3提示：延長CN交于AB于點(diǎn)D。 則ACNADN， AD=AC=6。又AB=10，則BD=4。 可證為BCD的中位線。點(diǎn)評：本題相當(dāng)于把ACN沿AN折疊成AND。二、見中點(diǎn)“倍長”線段，構(gòu)造全等三角形例2 如圖4，AD為ABC中BC上的中線，BF分別交AC、AD于點(diǎn)F、E，且AF=EF，求證：BE=AC。圖4證明：延長AD到G，使DG=AD，連接BG。AD為BC上的中線， BD=CD，在ACD和GBD中，AD=DG，ADC=BDG，BD=CD， ACDGBD。 AC=BG，CAD=G。AF=EF， CAD=AEF。 G=A

4、EF=BEG， BE=BG，AC=BG，BE=AC。點(diǎn)評：見中線AD，將其延長一倍，構(gòu)造GBD，則ACDGBD。例3 如圖5，兩個(gè)全等的含有、角的三角極ADE和ABC如圖放置，E、A、C三點(diǎn)在同一直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC圖5試判斷EMC的形狀，并說明理由。解析：EMC為等腰直角三角形。理由：分別延長CM、ED，使其相交于點(diǎn)N，可證BCMDNM。 則BC=DN，CM=NM。由于DEAACB， 則DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。 即EN=EC，則ENC為等腰直角三角形。CM=NM， EMCN，則可知EMC為等腰直角三角形。注：本題也可取EC的中點(diǎn)N，連接MN，

5、利用梯形中位線定理來證明。亦可連接AM，利用角的度數(shù)來證明。練習(xí)1：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，連接BE、CE，BEC=，圖6求證：（1）BE平分ABC。（2）若EC=4，且，求四邊形ABCE的面積。提示：見圖中所加輔助線，證ABEDFE。練習(xí)2：ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB的取值范圍為多少？注：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。則BDECDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三邊關(guān)系可求線段AB的取值范圍為：9<AB<19。三、構(gòu)造全等三角形，證線段的和差關(guān)系例4 如圖7，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的

6、邊BC、CD上，且1=2。圖7求證：BE+DF=AE。證明：延長CB到G，使BG=DF，連接AG。在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D=，BG=DF， ABGADF。 G=AFD，4=1。1=2， 4=2。ABCD， AFD=2+3=4+3=GAE。又G=AFD， G=GAE。 AE=GE。EG=BE+BG=BE+DF， BE+DF=AE。從以上幾例可以看出，全等三角形在證明中具有出奇制勝的作用。在解決有關(guān)角平分線、中點(diǎn)、線段的和差的問題時(shí)，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形的辦法，不僅能使問題迎刃而解，而且有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析能力。1. 全等三角形：能夠完全

7、重合的兩個(gè)三角形，叫做全等三角形 1. 全等三角形有如下性質(zhì)： (1)全等三角形的對應(yīng)邊相等； (2)全等三角形的對應(yīng)角相等；(3)全等三角形的對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)高相等； (4)全等三角形的面積相等，周長相等2. 等腰三角形 兩邊相等的三角形叫等腰三角形(1)等邊對等角；(2)底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合；(3)是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線；(4)底邊小于腰長的兩倍并且大于零，腰長大于底邊的一半；(5)頂角等于180°減去底角的兩倍；(6)頂角可以是銳角、直角、鈍角，而底角只能是銳角3等腰三角形可分為腰和底邊不等的等腰三角形及等邊三角形等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都是60°，它具備等腰三角形的一切性質(zhì)。4. 等腰三角形的判定：利用定義；等角對二、解題技巧 .1利用角平分線構(gòu)造全等三角形解題 .2 利用中線構(gòu)造全等三角形解題在等腰三角形的題目中常添加的輔助線是頂角的平分線，由此可以得到線