《一元二次方程的實(shí)根分布問題》

1、一元二次方程的實(shí)根分布問題一元二次方程的實(shí)根分布問題問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件1：若方程有兩個(gè)正根。：若方程有兩個(gè)正根。0)0(02304) 3(2mfmmm10 mOxy如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m條件條件2：若方程的兩個(gè)根均小于：若方程的兩個(gè)根均小于1。022) 1 (12304) 3(2mfmmm9m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)

2、x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件3：若方程的一個(gè)根大于：若方程的一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于，一個(gè)根小于1。1m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1022) 1 (mf問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件4：若方程的兩個(gè)根均在：若方程的兩個(gè)根均在( ( 0，2) )內(nèi)。內(nèi)。023)2(0)0(223004)3(2mfmfmmm132 m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+

3、mOxy2問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件5：若方程的兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在：若方程的兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在( ( 0，2) )內(nèi)。內(nèi)。132 m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy232m0)23()2()0(mmff3 3、12300)0(mf且1 1、22310)2(mf且2 2、由于由于1 1，2 2，3 3知知mm的取值范圍是的取值范圍是132 m問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范

4、圍。取值范圍。條件條件6：若方程的一個(gè)根在若方程的一個(gè)根在( (2 ，0) )，另一個(gè)根，另一個(gè)根 在在( (0 ，4) )。045)4(0)0(010)2(mfmfmf054m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mxOy42問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件7：若方程的一個(gè)根小于若方程的一個(gè)根小于2，另一個(gè)根大于，另一個(gè)根大于4。045)4(023)2(mfmf54m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy24

5、問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件8：若方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根若方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根 的絕對(duì)值較大。的絕對(duì)值較大。0230)0(mmf0m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。 一元二次方程的根，其實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根，其實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，可以借助于二次函數(shù)及其

6、圖象，軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，可以借助于二次函數(shù)及其圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究一元二次方程的實(shí)根分布問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究一元二次方程的實(shí)根分布問題，下面通過例題具體情況來說明。下面通過例題具體情況來說明。設(shè)二次方程設(shè)二次方程 )0(02acbxax的二實(shí)根為的二實(shí)根為 )(,2121xxxxacb42方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為 )0()(2acbxaxxf小結(jié)小結(jié)兩個(gè)根均小于兩個(gè)根均小于k k兩個(gè)根均大于兩個(gè)根均大于k k一個(gè)根小于一個(gè)根小于k k，一個(gè)根大于一個(gè)根大于k k。Oxyk0)(20kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf小結(jié)：小結(jié)：一般地

7、，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的實(shí)根分布的實(shí)根分布兩個(gè)根均在兩個(gè)根均在 (m(m，n)n)內(nèi)內(nèi)X X1 1(m(m，n)n) ，X X2 2(p(p，q)q) 。0)(0)(20nfmfnabm小結(jié)：小結(jié)：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的實(shí)根分布的實(shí)根分布0)()0(nfmf兩根均在兩根均在mm，nn外兩旁外兩旁O(shè)xynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小結(jié)：小結(jié)：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)

8、+c=0(a0)的實(shí)根分布的實(shí)根分布兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在(m(m，n)n)內(nèi)內(nèi)0)()(nfmf220)(nmabmmf 且或或nabnmnf220)(且或或nOxymnOxymnOxym注意：注意： 由函數(shù)圖象與由函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般軸交點(diǎn)的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般考慮以下三個(gè)方面：考慮以下三個(gè)方面： 判別式判別式 的符號(hào)；的符號(hào)； acb42對(duì)稱軸對(duì)稱軸 abx2的位置分布；的位置分布； 二次函數(shù)在實(shí)根分布界點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)。二次函數(shù)在實(shí)根分布界點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)。 k課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1. 1.若方程若方程7x7x(m+13)x+m(m+13)x+mmm2=0在區(qū)間在區(qū)間( (0，1) 1)、 (1 (1，2) )上各有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)上各有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)mm的取值范圍。的取值范圍。 )4 , 3() 1, 2(2.2.若方程若方程2x x(m(m2)x2)x2mmm=m=0的兩根在區(qū)間的兩根在區(qū)間 0，1 1 之外兩旁，求實(shí)數(shù)之外兩旁，求實(shí)數(shù)mm的取值范圍。的取值范圍。), 1 ()2,(4.4.若方程若方程x x2mx+m2mx+m1=1=0在區(qū)間在區(qū)間( (2 2，4)4)上有兩根，上有兩根， 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)mm的取值范