第八章 計量經(jīng)濟學-自相關

1、內(nèi)容回顧 什么情況下模型中可能存在異方差？ 異方差對估計結(jié)果有何影響？ 如何判斷一個模型中是否存在異方差？ 如何消除異方差？加權的方法有哪些？什么情況下使用？ 在Eviews中如何實現(xiàn)？ 在經(jīng)濟計量研究中，自相關是一種常見現(xiàn)象，它是指隨機擾動項序列相鄰之間存在相關關系，即各期隨機擾動項不是隨機獨立的。自相關主要表現(xiàn)在時間序列中。 在經(jīng)典線性回歸模型基本假定中，我們假設隨機擾動項序列的各項之間不相關，如果這一假定不滿足，則稱之為自相關。jiuiuEuiuCovjj 0)(),(第一節(jié)第一節(jié) 自相關的來源和形式自相關的來源和形式第二節(jié)第二節(jié) 自自 相相 關關 的的 后后 果果第三節(jié)第三節(jié) 自自 相

2、相 關關 的的 檢檢 驗驗第四節(jié)第四節(jié) 自相關的修正方法自相關的修正方法第五節(jié)第五節(jié) 廣義最小二乘法廣義最小二乘法一、自相關的來源 經(jīng)濟慣性（滯后效應） 模型設定偏誤：應含而未含變量 隨機擾動項序列本身的自相關 數(shù)據(jù)處理造成自相關如平滑處理 自相關也可能出現(xiàn)在橫截面數(shù)據(jù)中，但主要出現(xiàn)在時間序列數(shù)據(jù)中。第一節(jié) 自相關的來源和形式二、一階自相關 線性回歸模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若 ut 的取值只與它的前一期取值有關，即 ut = f (ut-1 ) 則稱為一階自回歸 經(jīng)典經(jīng)濟計量學對自相關的分析僅限于一階自回歸形式： ut = ut-1 +t 為自相關系數(shù) | 1 0 為正自相關

3、 0 為負自相關三、高階自相關 線性回歸模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若 ut 的取值不僅與它的前一期取值有關，而且與前n前取值都有關，即 ut = f (ut-1， ut-2， ut-3 ) 則稱ut具有n階自回歸形式。 例如， ut = f (ut-1， ut-2) 時，誤差項存在二階自回歸。 第二節(jié) 自 相 關 的 后 果1、參數(shù)的估計值仍然是線性無偏的2、參數(shù)的估計值不具有最小方差性，因而 是無效的，不再具有最優(yōu)性質(zhì)3、參數(shù)顯著性t檢驗失效 低估了2，也低估了bi的方差和標準差 夸大了T值，使t檢驗失去意義4、降低預測精度第三節(jié) 自 相 關 的 檢 驗1、圖示法2、杜賓瓦森

4、檢驗(Durbin-Watson)一、圖示法1、按時間順序繪制殘差et的圖形2、繪制殘差et, et-1的圖形1、時間順序圖將殘差對時間描點 如a圖所示，擾動項為鋸齒型，et隨時間變化頻繁地改變符號，表明存在負自相關。 如b圖所示，擾動項為循環(huán)型，et隨時間變化不頻繁地改變符號，而是幾個正之后跟著幾個負的，幾個負之后跟著幾個正的，表明存在正自相關。etetab2、繪制殘差et, et-1的圖形如a圖所示，散點在I,III象限，表明存在正自相關。如b圖所示，散點在II, IV象限， 表明存在負自相關。e te t-1abe te t-1變量I et變量II et-1e2e1e3e2e4e3.en

5、en-1.二、杜賓瓦森檢驗DW檢驗是檢驗自相關的最著名、最常用的方法。1、適用條件2、檢驗步驟（1）提出假設（2）構造統(tǒng)計量（3）檢驗判斷1、適用條件（1）回歸模型中含有截距項；（2）解釋變量與隨機擾動項不相關；（3）隨機擾動項是一階自相關；（4）回歸模型解釋變量中不包含滯后因變量；（5）樣本容量比較大。2、檢驗步驟（1）提出假設H0：=0，即不存在一階自相關；H1：0，即存在一階自相關。（2）構造統(tǒng)計量DW（3）檢驗判斷對給定樣本大小和給定解釋變量個數(shù)找出臨界值dL和dU，按圖中的決策準則得出結(jié)論。構造 D-W 統(tǒng)計量 定義 為樣本的一階自相關系數(shù)，作為 的估計量。則有， 因為-1 1，所以

6、，0 d 4 nttenttetenttenttenttentteted12212212212222)1(2112teteted21tetete) 1 (2dnttenttentte1222122對大樣本，DW檢驗的判斷準則依據(jù)顯著水平、變量個數(shù)（k）和樣本大?。╪）一般要求樣本容量至少為 15。 正自相關無自相關負自相關0dLdU4- dU4- dL2不能檢出不能檢出4判斷表格DW值值結(jié)論結(jié)論0DWdL存在一階正自相關dLDWdU無法判斷dUDW4- dU不存在自相關4- dUDW4- dL無法判斷4- dLDW4存在一階負自相關三、Q檢驗與LMtptptttpjjveaeaXejTrTTQ

7、1112)/()2(判斷方法F-statistic9.18 Probability0.005Obs*R-squared9.06 Probability0.010Q統(tǒng)計：以Q統(tǒng)計量對應的概率值為判斷依據(jù)。若大于顯著性則表明不存在自相關。LM：用F值與LM對應的概率為判斷依據(jù)。一、廣義差分法第四節(jié) 自相關的修正方法 線性回歸模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若隨機項 ut 存在一階自相關 ut = ut-1 +t 式中若隨機項 ut 滿足基本假定： E(t ) = 0 t 為白噪聲 Var (t ) = s2 Cov(t , t+s ) = 0 Yt= bo + b1 Xt + ut （1

8、）如果自相關系數(shù) 為已知，將上式滯后一期 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1兩邊乘以 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1 （2）(1) 式減 (2)式，變成廣義差分模型 Yt Yt-1 = bo(1 ) + b1 (Xt Xt-1) + Vt （3）作廣義差分變換 Yt* = Yt Yt-1 Xt* = Xt Xt-1 Yt * = bo* + b1 Xt * + t對廣義差分模型應用 OLS 法估計，求得參數(shù)估計量的方法稱為廣義差分法當 = 1 時，可得一階差分模型 Yt Yt-1= b1 (Xt Xt-1 ) + Vt （4）作一階差分變換 Yt = Yt

9、Yt-1 Xt = Xt Xt-1為不損失自由度， Yt 和Xt 的首項作如下變換一階差分模型可寫成 Yt = b1 Xt + Vt 12112111XXYY當 = 1 時，可得移動平均模型 （5）作變換移動平均模型可寫成 Yt* = b0 + b1 Xt * + Vt tVtXtXbobtYtY221112*2*11tXtXtXtYtYtY二、科克蘭內(nèi)奧克特（科-奧）法廣義差分法要求 已知，但實際上只能用 的估計值 來代替?？瓶颂m內(nèi)奧克特法又稱迭代法，步驟是：1、用OLS估計模型 Yt= bo + b1 Xt2、計算殘差et et = Yt Yt = Yt (bo + b1Xt )3、 將e

10、t代入，得殘差的一階自回歸方程 et = et-1 + Vt 用OLS方法求 的初次估計值1。4、利用1 對原模型進行廣義差分變換作第一次迭代2111ttteee1111111)1()1()1()1()1()1(tttttttttttotVXXXYYYVXbbY式中：5、計算 的第二次估計值(用迭代后的差分形式估計參數(shù)）2112tetete6、利用2 對原模型進行廣義差分變換作第二次迭代1212121)2()2()2()2()2()2(tttVtXtXtXtYtYtYtVtXbobtY式中：7、反復迭代，直到 收斂，實際上人們只迭代兩次，稱為二步迭代法。Eviews 中有專門命令 AR(1)

11、一階自回歸 LS Y C X AR(1)在回歸結(jié)果中，可以直接讀到 的迭代收斂值。三、杜賓兩步法這種方法是先估計 再作差分變換，然后用OLS法來估計參數(shù)。步驟是：1、將模型(3)的差分形式寫為 Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + Vt Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt + a2 Xt-1 + Vt式中： ao = bo (1 ) a1 = b1 a2 = b1 用OLS法來求得 的估計值 。2、用 對原模型進行差分變換得： Yt* = Yt Yt-1 Xt* = Xt Xt-1得 Yt* = ao + b1 Xt* + Vt用OLS法來求得參數(shù)

12、估計值 ao 和 b1 bo = ao / (1 )此外求得估計值還有其它方法：2222) 1() 1()21 (:21)1 (2knkdndd在小樣本下1、當模型存在自相關和異方差時，OLS參數(shù)估計值的優(yōu)良性質(zhì)將不存在。2、通過模型轉(zhuǎn)換（GLS法）消除自相關和異方差給定線性回歸模型 Y = XB + U (6)第五節(jié) 廣義最小二乘法222122212121212212221212121.)cov()cov(.)cov(.)cov()cov(.)cov(.) (nnnnnnnnuuuunuuuuuuuuuuuuunuuuuuuuuuuEuuE 如果 = I ( I為單位矩陣 ) ，表明 (1)

13、各隨機項的方差相同且等于2； (2)各隨機項無自相關；IuuE221.00.0.100.01) ( 如果 I ，有兩種可能1、矩陣的主對角線元素不全為1，即 ii 1 因此隨機項方差不全相同， i2 2 2、隨機項存在自相關 矩陣的非主對角線元素不全為 0，即 ij 0 i j因此隨機項協(xié)方差不等于 0，即 cov(ui,uj) 0 廣義最小二乘法的基本思路是對模型進行適當?shù)淖儞Q。變換后的新模型滿足線性回歸基本假定，即 = I ，然后應用OLS法，對模型進行估計，主要步驟如下：1、尋找適當?shù)淖儞Q距陣 P 因為 是 n 階對稱正定矩陣，根據(jù)線性代數(shù)知識，存在 nn 階非奇異矩陣 P，使下式成立。

14、 P P = I 可得 -1 = P P2、模型變換 用矩陣 P 左乘公式 (6) P Y = P XB + P U令 Y* = P Y X* = P X U* = P U得 Y* = X*B + U* 新的隨機項的方差協(xié)方差距陣 E(U* U* ) = EPU (PU) = E(P U U P ) = P E(U U ) P = P 2 P = 2 P P = 2 I 變換后的新模型滿足同方差和無自相關假定參數(shù)估計向量 B = ( X* X* ) -1 X* Y* = ( P X ) P X ( P X ) P Y = (X P P X ) -1 X P P Y = (X -1 X ) -1

15、 X -1 Y B 稱為廣義最小二乘估計量1、 當 = I 時， B = ( X X ) -1 X Y ，廣義最小二乘估計量就是普通最小二乘估計量。2、 當模型存在異方差時：nPnn1.00.0.100.011.00.0.100.01.00.0.00.02122221122221P 滿足關系式 P P = I 用距陣 P 左乘原模型 P Y = P XB + P U這實際上是對模型作變換，設異方差形式為 i2 = Xi 2nnnnXuXuXuuuuXXXPU.1.00.0.100.0122112121 B = (X -1 X ) -1 X -1 Y這是廣義最小二乘估計3、 當模型存在一階自相關

16、時：1.00.0.10.011.00.0.10.1111.1.12212121PnnnnP 滿足關系式 P P = I 用距陣 P 左乘原模型 P Y = P XB + P U第四節(jié)第四節(jié) 案例分析案例分析案例案例1：中國城市居民家庭人均實際生活費支出：中國城市居民家庭人均實際生活費支出 與恩格爾系數(shù)與恩格爾系數(shù)案例案例2：中國商品進口模型：中國商品進口模型案例11.建立模型71. 097.354931. 02934. 02)8 .18()8 .239(000338. 02 . 4)(*DWFRRYECLOGtt2.檢驗檢驗-0.12-0.08-0.040.000.040.0878 80 82

17、 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04RESID71. 097.354931. 02934. 02)8 .18()8 .239(000338. 02 . 4)(*dFRRYECLOGtt2.檢驗檢驗DW檢驗表檢驗表 n=27,k=1 dL1.32，dU 1.47存在一階正自相關存在一階正自相關3.修正修正1*1*645. 0)(645. 0)()(645. 02/1ttttttYYYECLOGECLOGECLOGd再估計方程：再估計方程：43. 177. 0000312. 048. 1)(2*dRYECLOGtt，Estimation Command:=LS LOG

18、(EC) C Y AR(1)Estimation Equation:=LOG(EC) = C(1) + C(2)*Y + AR(1)=C(3)Substituted Coefficients:=LOG(EC) = 4.17 - 0.000303*Y + AR(1)=0.71第四節(jié)第四節(jié) 案例：中國商品進口模型案例：中國商品進口模型 經(jīng)濟理論指出，商品進口商品進口主要由進口國的經(jīng)經(jīng)濟發(fā)展水平濟發(fā)展水平，以及商品進口價格指數(shù)商品進口價格指數(shù)與國內(nèi)價格國內(nèi)價格指數(shù)指數(shù)對比因素決定的。 由于無法取得中國商品進口價格指數(shù)，我們主要研究中國商品進口與國內(nèi)生產(chǎn)總值的關系。（下表）。 表表 4.2.14.2.

19、1 19782001 年中國商品進口與國內(nèi)生產(chǎn)總值年中國商品進口與國內(nèi)生產(chǎn)總值 國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP （億元） 商品進口 M （億美元） 國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP （億元） 商品進口 M （億美元） 1978 3624.1 108.9 1990 18547.9 533.5 1979 4038.2 156.7 1991 21617.8 637.9 1980 4517.8 200.2 1992 26638.1 805.9 1981 4862.4 220.2 1993 34634.4 1039.6 1982 5294.7 192.9 1994 46759.4 1156.1 1983 5934.5 213

20、.9 1995 58478.1 1320.8 1984 7171.0 274.1 1996 67884.6 1388.3 1985 8964.4 422.5 1997 74462.6 1423.7 1986 10202.2 429.1 1998 78345.2 1402.4 1987 11962.5 432.1 1999 82067.46 1657 1988 14928.3 552.7 2000 89442.2 2250.9 1989 16909.2 591.4 2001 95933.3 2436.1 資料來源： 中國統(tǒng)計年鑒 （1995、2000、2002） 。 1. 通過通過OLS法建立如

21、下中國商品進口方程法建立如下中國商品進口方程： ttGDPM02. 091.152 （2.32） （20.12） 2. 進行序列相關性檢驗。進行序列相關性檢驗。 DW檢驗檢驗 取=5%，由于n=24，k=2(包含常數(shù)項)，查表得： dL=1.27， dU=1.45由于 DW=0.628 20.05(2) 故: 存在正自相關存在正自相關2 2階滯后：階滯后：3階滯后：321032. 0819. 0108. 10003. 0692. 6tttteeeGDPe (0.22) (-0.497) (4.541) （-1.842） （0.087） R2=0.6615 于是，LM=210.6614=13.89取=5%，2分布的臨界值20.05(3)=7.815 LM 20.05(3) 表明: 存在正自相關；但存在正自相關；但 t-3t-3的參數(shù)不顯著，說的參數(shù)不顯著，說明不存在明不存在3 3階序列相關性。階序列相關性。 3、運用廣義差分法進行自相關的處理、運用廣義差分法進行自相關的