必修三課件232變量之間的相關(guān)關(guān)系

1、基礎(chǔ)知識(shí)框圖表解基礎(chǔ)知識(shí)框圖表解變量間關(guān)系變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖線形相關(guān)線形相關(guān)線形回歸方程線形回歸方程如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從從整體整體上看上看大致在大致在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有具有線性相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做關(guān)系，這條直線就叫做回歸回歸直線直線。回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為回歸方程回歸方程。二、回歸直線二、回歸直線 O45 50 55606520 25 30 35 40年齡年齡脂肪含量脂肪含量5101520253035401. 所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)所有的樣

2、本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上曲線上，變量之，變量之間具有間具有函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系2. 所有的樣本點(diǎn)都落在某一所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近直線附近，變量之間，變量之間就有就有線性相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系關(guān)系散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈中的點(diǎn)呈條狀集中條狀集中在某一直在某一直線周?chē)瑑蓚€(gè)變量之間具有線周?chē)?，兩個(gè)變量之間具有線性關(guān)系線性關(guān)系，（正正線性相關(guān)或線性相關(guān)或負(fù)負(fù)線性相關(guān)），才可線性相關(guān)），才可以用回歸直線來(lái)描述兩個(gè)變量之間的以用回歸直線來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系關(guān)系三、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？三、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年齡年齡脂肪含量脂肪含量5

3、10152025303540求回歸方程的關(guān)鍵是求回歸方程的關(guān)鍵是 “從整體上看，各從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小點(diǎn)與直線的偏差最小”。思考：思考：對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：本數(shù)據(jù)：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，設(shè)其回歸方程為，設(shè)其回歸方程為 可以用哪些數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)各樣本點(diǎn)可以用哪些數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？與回歸直線的接近程度？ abxy設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x x1 1，y y1 1），（）

4、，（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n）設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為 其中其中a a，b b是待定是待定的系數(shù)。當(dāng)變量的系數(shù)。當(dāng)變量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n時(shí)，可以得到時(shí)，可以得到 （i=1i=1，2 2，n n）它與實(shí)際收集得到的它與實(shí)際收集得到的 之間偏差是之間偏差是 （i=1i=1，2 2，n n）探索過(guò)程如下：探索過(guò)程如下：這樣，用這這樣，用這n n個(gè)偏差的和來(lái)個(gè)偏差的和來(lái)刻畫(huà)刻畫(huà)“各點(diǎn)與此直線的整體各點(diǎn)與此直線的整體偏差偏差”是比較合適的。是比較合適的。(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)

5、abxyabxyii)(abxyiyyiiiiy的最小值21)(iyynii當(dāng)當(dāng)a，b取什么值時(shí)，取什么值時(shí)，Q的值最小，即總體偏差最小的值最小，即總體偏差最小2222211)abxyabxyabxyQnn （的最小值)(1iyynii的最小值|1iyynii根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng)根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng) 時(shí)，總體偏差時(shí)，總體偏差 為最小，這樣為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .21()niiiQyy xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121（其中，（其中，

6、b是回歸方程的斜率，是回歸方程的斜率，a是截距）是截距）abxy估計(jì)值樣本數(shù)值yx0.57765-0.448= 37.1思考：思考：利用計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪利用計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 由此我們可以根據(jù)一個(gè)人的年齡預(yù)測(cè)其體由此我們可以根據(jù)一個(gè)人的年齡預(yù)測(cè)其體內(nèi)脂肪含量的百分比的內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值回歸值. .若某人若某人6565歲，歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約約為多少？為多少？448. 0577. 0 xy能不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是能不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1？若某人若某人6565歲，可預(yù)測(cè)他

7、體內(nèi)脂肪含量在歲，可預(yù)測(cè)他體內(nèi)脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448= 37.165-0.448= 37.1）附近的可能性比較大。但不能說(shuō)他體內(nèi)附近的可能性比較大。但不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是脂肪含量一定是37.137.1原因：線性回歸方程中的原因：線性回歸方程中的截距截距和和斜率斜率都都是通過(guò)樣本是通過(guò)樣本估計(jì)的估計(jì)的，存在隨機(jī)誤差，對(duì)，存在隨機(jī)誤差，對(duì)應(yīng)于應(yīng)于x x，預(yù)報(bào)值，預(yù)報(bào)值 不可能等于實(shí)際值不可能等于實(shí)際值y yy例例1、某廠降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄某廠降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量的產(chǎn)量(噸噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)

8、準(zhǔn)煤噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)數(shù)據(jù).X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5（1）畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；）畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于關(guān)于x的線性回歸方程的線性回歸方程（3）已知該廠技改前）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，根據(jù)（噸標(biāo)準(zhǔn)煤，根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)嵓桩a(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：（參考數(shù)值：32.5+43+54+64.566.5）4166

9、.5iiiX Y4222221345686iiX4.5X 3.5Y 266.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681b 3.50.7 4.50.35aYbX所求的回歸方程為所求的回歸方程為 0.70.35yx（2）解：）解：100 x （3）100 0.70.3570.35y 預(yù)測(cè)生產(chǎn)預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低低 (噸噸) 9070.3519.65例例2 2、一個(gè)小賣(mài)部，為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影一個(gè)小賣(mài)部，為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：

10、溫的對(duì)比表：1 1、畫(huà)出散點(diǎn)圖；、畫(huà)出散點(diǎn)圖；2 2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3 3、求回歸方程；、求回歸方程；4 4、如果某天的氣溫是、如果某天的氣溫是2 2攝氏度，攝氏度，預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù)。預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù)。圖3-1050100150200-2002040熱飲杯數(shù)1、散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖2 2、各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，氣溫與熱飲各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)銷(xiāo)售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少。越少。3 3、從

11、散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此利用公式近，因此利用公式1 1求出回歸方程的系數(shù)。求出回歸方程的系數(shù)。Y= -Y= -2.352x+147.7672.352x+147.7674 4、當(dāng)當(dāng)x=2x=2時(shí)，時(shí)，Y=143.063 Y=143.063 因此，某天的氣溫為因此，某天的氣溫為2 2攝氏度攝氏度時(shí)，這天大約可以賣(mài)出時(shí)，這天大約可以賣(mài)出143143杯熱飲。杯熱飲。本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)回顧本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)回顧1 1、相關(guān)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系 （1 1）概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性，兩

12、個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。定隨機(jī)性，兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。 （2 2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)。相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)。 相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系。相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系。 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，是伴隨關(guān)系。非確定的關(guān)系，是伴隨關(guān)系。 （3 3）相關(guān)關(guān)系的分析方向。相關(guān)關(guān)系的分析方向。 在在收集收集大量數(shù)據(jù)大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對(duì)它們的關(guān)系作出判斷。對(duì)它們的關(guān)系作出判斷。2、兩個(gè)變量的線性相關(guān)、兩個(gè)變量的線性相關(guān) （1

13、1）回歸分析）回歸分析回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。 （2 2）散點(diǎn)圖）散點(diǎn)圖 A A、定義；、定義；B B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。 3 3、回歸直線方程、回歸直線方程 注注: :如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)發(fā)散狀發(fā)散狀, ,則則這兩個(gè)變量之間這兩個(gè)變量之間不具有不具有相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系. .3 3、回歸直線方程、回歸直線方程 （1 1）回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，如果各點(diǎn)大致分）回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的布在

14、一條直線的附近，就稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。（2 2）最小二乘法）最小二乘法nn( x- x ) ( y- y )xy- n x yiiiii = 1i = 1b =,nn222( x- x )x- n xiii = 1i = 1a = y - b x .nn11x =x, y =y.iinni = 1i = 1其其中中 yb xa(3)(3)利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)練習(xí)練習(xí)1 1、 觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù)觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù): :101022110,0,110,330,110.iiiiiixyyyxx求兩

15、變量間的回歸方程求兩變量間的回歸方程. .解：列表：解：列表：計(jì)算得：計(jì)算得：1011022110110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb .yx所求回歸直線方程為所求回歸直線方程為練習(xí)練習(xí)2、:給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥施化肥量量x15202530354045水稻產(chǎn)水稻產(chǎn)量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖; ;(2)(2)求出回歸直線并且畫(huà)出圖形求出回歸直線并且畫(huà)出圖形. . 從而得回歸直線方程是從而得回歸直線方程是 3 .399,30y

16、x777221117000,1132725,87175iiiiiiixyx y2573075. 43 .399,75. 430770003 .399307871752ab4.75257yx解：解：(1)(1)散點(diǎn)圖（略）散點(diǎn)圖（略）(2)(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格20475180001557512150912569004950 xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i( (圖形略圖形略) )故可得到故可得到利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)練習(xí)：練習(xí)：煉鋼

17、是氧化降碳的過(guò)程，煉鋼是氧化降碳的過(guò)程，如果已測(cè)得爐料如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量X與冶煉時(shí)間與冶煉時(shí)間y的一列的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：數(shù)據(jù)，如下表所示：（1 1）作出散點(diǎn)圖，找規(guī)律。）作出散點(diǎn)圖，找規(guī)律。（2 2）求回歸直線方程。）求回歸直線方程。（3 3）預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為）預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160160時(shí)，應(yīng)冶時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？煉多少分鐘？ 解解: (1) : (1) 作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖從圖可以看出從圖可以看出, ,各點(diǎn)分布在一條直線附近各點(diǎn)分布在一條直線附近, ,即它們線形相關(guān)即它們線形相關(guān). .(2)(2)列出下表列出下表, ,并計(jì)算并計(jì)算10101

18、022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQybxa10110221101.26710iiiiixybyxxx30.51.aybx 設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為其中其中a,ba,b的值使的值使的值最小的值最小. .所以回歸直線的方程為所以回歸直線的方程為 =1.267x-30.51(3)(3)當(dāng)當(dāng)x=160 x=160時(shí)時(shí), , 1.267.160-30.51=1721.267.160-30.51=172 y y歸納：歸納：1.1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行第一步，計(jì)算平均數(shù)第一步，計(jì)算平均數(shù) , xy1