ch多維隨機變量PPT課件

1、3.1 二維隨機變量的聯(lián)合分布一、 多維隨機變量1.1.定義定義( (p41)p41)將將n n個隨機變量個隨機變量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n構(gòu)構(gòu)成一個成一個n n維向量維向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )稱為稱為n n維隨機變量。維隨機變量。一維隨機變量一維隨機變量XR1上的隨機點坐標上的隨機點坐標二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)R2上的隨機點坐標上的隨機點坐標n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機點坐上的隨機點坐標多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分標多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描

2、述其統(tǒng)計規(guī)律布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律第1頁/共54頁設(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 二二. . 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)00, yx00,yyxxyx幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：第2頁/共54頁對于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2,

3、 y1)(x1, y2)第3頁/共54頁分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：且0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)歸一性 對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,第4頁/共54頁 (2)單調(diào)不減 對任意y R, 當x1x2時， F(x1, y) F(x2 , y)； 對任意x R, 當y1y2時， F(x, y1) F(x , y2). );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 (3)右連續(xù) 對任

4、意xR, yR, 第5頁/共54頁(4)矩形不等式 對于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個二維隨機變量(X, Y)的分布函數(shù)。第6頁/共54頁例 已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為)3()2(),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0X2,0YY211010 xdydxYXP第13頁/共54頁求：求：(1)(1)常數(shù)常數(shù)A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)

5、；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。 其它, 00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例 設解(1)由歸一性6 A101032)32()1)(1 (6) 1 , 1 ()2(eedxdyeFyx(23 )0 0( , )1xyf x y dxdyAedxdy 第14頁/共54頁(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。解dxdyeD

6、YXPDyx)32(6),(303220)32(6dyedxxyx671e第15頁/共54頁3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布(p45) 若二維隨機變量若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱則稱(X, Y)在區(qū)域在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從均勻分布。服從均勻分布。 其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布，對D內(nèi)任意區(qū)域G，有第16頁/共54頁例例 設設(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上的均勻分布，上的均勻分布，(1)(1)求求(X,Y

7、)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、 20、| |1，則稱，則稱(X, Y) 服從參服從參數(shù)為數(shù)為 1, 2, 1, 2, 的的二維正態(tài)分布，可記為二維正態(tài)分布，可記為 ),(),(222121NYX(2)二維正態(tài)分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為(P101),e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 第18頁/共54頁分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x

8、2, , Xn xn)稱為的n維隨機變量(X1, X2, , Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1, X2, , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。nnnbxabxaxxD,.:,.111DnnndxdxxxfDXXP.),.,x(.1211定義定義 n n維隨機變量維隨機變量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非負的如果存在非負的n n元函數(shù)元函數(shù)f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使對任意的使對任意的n n元立方體元立方體第19頁/共54頁定義定義 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值為的全部可能取值為R Rn n上的上的有限或

9、可列無窮多個點，稱有限或可列無窮多個點，稱(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )為為n n維維離散型的，稱離散型的，稱PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )為為n n維隨機變量維隨機變量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。則稱則稱(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )為為n n維連續(xù)型隨機變量，稱維連續(xù)型隨機變量，稱f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )為為(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn

10、n) )的概率密度。的概率密度。第20頁/共54頁求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 othersyxeyxfy00),(例例 隨機變量（隨機變量（X X，Y Y）的概率密度為）的概率密度為xyD答答: PXPX 0=00=011011edyedxXPxy000000000yydyedxyYPyxyy第21頁/共54頁FY(y)F (+, y) PYy 稱為二維隨機變量(X, Y)關于Y的邊緣分布函數(shù). )y,x(Flimy )y,x(Flimx 3.2 3.2 邊緣分布與獨立性邊緣分布與獨立性一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù)F

11、X(x)F (x, +) PXx稱為二維隨機變量(X, Y)關于X的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個(某些)低維分量的分布。第22頁/共54頁例 已知(X,Y)的分布函數(shù)為 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)與FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第23頁/共54頁二、邊緣分布律二、邊緣分布律若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 則稱 PXxipi. ，i1, 2, 為(X, Y)關于X的邊緣分布律； 1jijp 1ii

12、jpPY yjp.j ，j1, 2, 為(X, Y)關于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。第24頁/共54頁例 已知(X,Y)的分布律為xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求X、Y的邊緣分布律。解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故關于X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5第25頁/共54頁三、邊緣密度函數(shù)三、邊緣密度函數(shù)為為(X, Y)關于關于Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(設(X, Y)f (x, y), (x, y

13、) R2, 則稱 (p48)(p48) 為(X, Y)關于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱易知N( 1, 2, 12, 22, )的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N( 1, 12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N( 2, 22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。第26頁/共54頁例例 設設(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常數(shù)）求常數(shù)c;(2)c;(2)求關于求關于X X的邊緣概率密度的邊緣概率密度解解:(1)由歸一性由歸一性1021xxcdydx6 cdyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622xxxdyxx第2

14、7頁/共54頁例例 設設(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上的均勻分布，上的均勻分布， 求關于求關于X X的和關于的和關于Y Y的邊緣的邊緣概率密度概率密度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(第28頁/共54頁四、隨機變量的相互獨立性四、隨機變量的相互獨立性定義定義 稱隨機變量稱隨機變量X X與與Y Y獨立獨立，如果對任意實數(shù)，如果對任意實數(shù)ab,cdab,cd，有，有 paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即事件即事件aXaX bb與事件與事件cYcY dd獨立，則稱

15、隨機獨立，則稱隨機變量變量X X與與Y Y獨立。獨立。定理定理 隨機變量隨機變量X X與與Y Y獨立的充分必要條件獨立的充分必要條件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 第29頁/共54頁定理定理 設設(X,Y)(X,Y)是二維是二維連續(xù)型連續(xù)型隨機變量，隨機變量，X X與與Y Y獨立獨立的充分必要條件的充分必要條件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定理定理 設設(X,Y)(X,Y)是二維是二維離散型離散型隨機變量，其分布律隨機變量，其分布律為為P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi, i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2

16、,.，則，則X X與與Y Y獨立的充分獨立的充分必要條件必要條件是對任意是對任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i . .P P j j 。由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X X與與Y Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對分布，再看是否對(X,Y)(X,Y)的每一對可能取值的每一對可能取值點點, ,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可第30頁/共54頁例 已知隨機變量(X,Y)的分布律為x1200.15 0.151ab且知X與Y獨立，求a、b的值。例例 甲乙約定甲乙約定

17、8:008:00 9:009:00在某地在某地會面。設兩人都隨機地在這期會面。設兩人都隨機地在這期間的任一時刻到達，先到者最間的任一時刻到達，先到者最多等待多等待1515分鐘過時不候。求兩分鐘過時不候。求兩人能見面的概率人能見面的概率。第31頁/共54頁定義. 設n維隨機變量(X1,X2,.Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1 k0, 則稱同理，對固定的i, pi. 0, 稱,.2 , 1,|.|jppxXyYPPiijiji j為X xi的條件下，Y的條件分布律;第37頁/共54頁例 設某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設一個蟲卵能孵化成蟲的

18、概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.第38頁/共54頁二 連續(xù)型隨機變量的條件概率密度定義. 給定y，設對任意固定的正數(shù)0，極限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數(shù).記作|)|(|yYxXPyxFYX可證當 時 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX第39頁/共54頁若記 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3.3)知,當 時， . )|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(|yfyxfxyxFyxfYYXYX類似定義，當 時0)(xfX)(),(

19、)|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY第40頁/共54頁例 已知(X,Y)的概率密度為其它01421),(22yxyxyxf(1)求條件概率密度)|(|xyfXY(2)求條件概率31|31XYPxy1解:dyyxfxfX),()(othersxydyxx011421122第41頁/共54頁多維隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量函數(shù)的分布一、一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律設二維離散型隨機變量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 則 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(

20、X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj)或第42頁/共54頁 例 設隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1 分布，其分布律均為 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。第43頁/共54頁(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)2qpqpq2p011201110001VW0 10 1 22q000pq22p第44頁/共54頁

21、二、多個隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)二、多個隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 則可先求Y的分布函數(shù): y)X,.,X( gPyYP)y(Fn1Y ;.),.,(.11),.,(1nnyxxgdxdxxxfn.dy)y(dF)y(F)y(fYYY 然后再求出Y的密度函數(shù):第45頁/共54頁2、幾個常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 或.),(),()(dxxzxdyyyzfzf

22、Zz x+y=z x+y z 若X與Y相互獨立，則ZXY的密度函數(shù) .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(fYXYXZ 或第46頁/共54頁例 設隨機變量X與Y獨立且均服從標準正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。一般地，設隨機變量X1, X2，., Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則),(21211iniiniiiniiiaaNXa第47頁/共54頁例 卡車裝運水泥,設每袋水泥的重量X(kg)服從2)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過0.05.解:設最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥的重量.則05. 020001niiXP由題意,令)5 . 2 ,50(21nnNXnii05. 0)5 . 2502000(120001nnXPnii95. 0)5 . 2502000(nn查表得645. 15 . 2502000nn39 n第48頁/共54頁YX (2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。.),(|)(dyyyzfyzfZy G1 0 x G2特別，當X，Y相互獨立時，上