微分方程式的建立與求解ppt課件

1、主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n n 階線性時不變系統(tǒng)的描畫階線性時不變系統(tǒng)的描畫求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法一物理系統(tǒng)的模型許多實踐系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實踐系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改動，那么該系統(tǒng)可假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改動，那么該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描畫。以用線性常系數(shù)微分方程來描畫。二微分方程的列寫根據(jù)實踐系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實踐系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵τ陔?/p>

2、路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。約束列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造決議的電壓電流約束關(guān)系網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造決議的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。三n 階線性時不變系統(tǒng)的描畫 一個線性系統(tǒng)，其鼓勵信號 與呼應(yīng)信號 之間的關(guān)系，可以用以下方式的微分方程式來描畫)(te)(tr)

3、(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 假設(shè)系統(tǒng)為時不變的，那么假設(shè)系統(tǒng)為時不變的，那么C，E均為常數(shù)，此方均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決議。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決議。四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。 變變換換域域法法利利用用卷卷積積積積分分法法求求解解零零狀狀態(tài)態(tài)可可利利用用經(jīng)經(jīng)典典法法求求解解零零輸輸入入

4、應(yīng)應(yīng)零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)和和零零狀狀態(tài)態(tài)響響經(jīng)經(jīng)典典法法解解方方程程網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)拓拓?fù)鋼浼s約束束根根據(jù)據(jù)元元件件約約束束列列寫寫方方程程: ,:求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。特解。 ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn01111011112-2 系統(tǒng)微分方程及其經(jīng)典解系統(tǒng)微分方程及其經(jīng)典解任何任何LTI延續(xù)時間系統(tǒng)，延續(xù)時間系統(tǒng)，n階一元常系數(shù)微分方程普通式為：階一元常系數(shù)微分方程普通式為：全解全解=齊次解齊次解 + 特解特解)()()(trtrtrfn001111radtdradtrdadtrdnnnnn通

5、解普通式為：通解普通式為：tce00111aaannn特征方程為：特征方程為：經(jīng)典法求解該方程：經(jīng)典法求解該方程：齊次解齊次解rn(t)是齊次方程的通解：是齊次方程的通解：該一元該一元n次方程的次方程的n個特征根為：個特征根為：)2, 1(,21nin自然頻率固有頻率討論通解的方式：討論通解的方式：1 i為互異實根：為互異實根：nitiniectr1)(2 1有有k重根：重根：nkjtjikkitinjectectr111)(其中其中1為為k重根，重根， j為單根為單根特解的方式：根據(jù)鼓勵查表特解的方式：根據(jù)鼓勵查表2-1得得rf(t)全解的方式：全解的方式：)()()(trtrtrfn求系數(shù)

6、Ci,cj例例1：求齊次解：求齊次解：)()(6)(5)(tetrtrtr解：解：該微分方程的特征方程為：該微分方程的特征方程為：0652解得特征根：解得特征根：3,221ttnecectr3221)(齊次解為：齊次解為：例例3：求齊次解：求齊次解：)()(4)(4)(tetrtrtr解：解：20442, 12二重根二重根ttnectectr2221)(例：方程為：例：方程為：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr假設(shè)鼓勵為：假設(shè)鼓勵為：2)(tte求其特解求其特解 rf(t).查表查表2-1得對應(yīng)的特征解為：得對應(yīng)的特征解為：0122)(AtAtAtrf)(),(),(trtrtrf

7、ff)(),(tete代入原微分方程得：代入原微分方程得：2012212222)( 2)2( 32ttAtAtAAtAA2012122222)232()26(2ttAtAAtAAtA等式兩邊同次冪系數(shù)相等：等式兩邊同次冪系數(shù)相等：122023222622210012122AAAAAAAAA22)(2tttrf0t例例5：方程為：方程為：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr求：求： 當(dāng)當(dāng)1)0(, 1)0(,)(2rrtte時的全解時的全解解：解： 特征方程為特征方程為2, 1023212所以齊次解為：所以齊次解為：ttnecectr221)(與例一樣：與例一樣：22)(2tttrf所

8、以全解所以全解22)(2221ttecectrtt其一階導(dǎo)為：其一階導(dǎo)為：222)(221tecectrttt=0時時 初值代入：初值代入：12)0(21ccr122) 0 (21ccr2, 121cc0222)(22ttteetrtt全解全解:1 齊次解：其方式與鼓勵齊次解：其方式與鼓勵e(t)無關(guān)，僅依賴于系統(tǒng)無關(guān)，僅依賴于系統(tǒng)本身特征本身特征自在呼應(yīng)或固有呼應(yīng)，系數(shù)自在呼應(yīng)或固有呼應(yīng)，系數(shù)ci，cj與鼓勵有關(guān)與鼓勵有關(guān)2 特解的方式：由鼓勵信號決議特解的方式：由鼓勵信號決議強迫呼應(yīng)強迫呼應(yīng)齊次解：由特征方程齊次解：由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解方式寫出齊次解方式 nktkkA1e 留意重根情況處置方法。留意重根情況處置方法。特特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式方式，設(shè)含待定系解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式方式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。經(jīng)典法的例題kA全全 解：齊次解解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。特解，由初始條件定出齊次解。 我們普通將鼓勵信號參