古典概型與幾何概型ppt課件

1、概率論與數(shù)概率論與數(shù) 理理 統(tǒng)統(tǒng) 計計1.3古典概型與幾何概型一、古典概型的概念及計算一、古典概型的概念及計算二、古典概型的計算二、古典概型的計算主要內(nèi)容主要內(nèi)容三、幾何概型三、幾何概型一、古典概型的概念定義：定義：有限性 樣本空間的元素即根身手件只需有限個， n,2, 1等可以性 每個根身手件出現(xiàn)的可以性是相等的，即 nPPP2那么稱此實(shí)驗(yàn)為古典型隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，簡稱為古典概型。 一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)假設(shè)有如下特征：定義：設(shè)古典概型的一切根身手件為：為： ，事件A含有其中的k個根身手件 ，那么定義事件A的概率為 n,21基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)AnkA)(P例：擲兩枚硬幣，A=“兩個都正面朝上，B=

2、“恰好一個正面朝上。 反反,正反,反正,正正,41P(A) 2142)B(P43 )(P至少一個正面朝上二、概率的古典定義二、概率的古典定義F, 2163GP例：投骰子A=“出現(xiàn)1點(diǎn)，B=“出現(xiàn)2點(diǎn), G=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) “出現(xiàn)6點(diǎn) 例從0至9這10個數(shù)中有放回的任取兩個數(shù)字，試求它們之和等于5的概率 很明顯這是一個古典概型問題，但假設(shè)讀者不假思索地把取出的兩個數(shù)之和作為根身手件，從而樣本空間為 ，那就錯了18,17, 3 , 2 , 1 , 0由于對于這19個結(jié)果來說，它們不是等可以的。例如“和等于1只需取到0，1與1，0這兩種情形；“和等于4卻有取到0，4，1，3，2，2，3，1，4，0五種

3、情形。 顯然后者比前者發(fā)生的可以性大。 正確的解法為：n=1010=100 取出的兩數(shù)之和等于5由 0，5，1，4，2，3，3，2，4，1，5，0這6個根身手件組成，k=6，那么 5031006AP陳列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)陳列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類方法中有 mi 種詳細(xì)的方法，那么完成這件事情共有 種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 個步驟，第 i 個步驟中有 mi 種詳細(xì)的方法，那么完成這件事情共有 種不同的方法nmmm21nmmm211.陳列陳列 從從 n 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 r 個個 (不放不放 回地按一定的次序排成一排不回地按一

4、定的次序排成一排不同的同的 排法共有排法共有全陳列全陳列可反復(fù)陳列可反復(fù)陳列 從從 n 個不同的元素中可反復(fù)地個不同的元素中可反復(fù)地 取出取出 r 個排成一排個排成一排, 不同的排法有不同的排法有121rnnnnArnrn種 種 ! nAnn2.組合組合 (1)從從 n 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 r 個個(不放不放 回地組成一組，回地組成一組， 不同的分法不同的分法共有共有(2)多組組合 把 n 個元素分成 k 個不同的組組編號，各組分別有krrr,21個元素， ,21nrrrk不同的分法共有!21211krrrrnrnrrrnCCCkk種 種 )!( !rnrnCrn3.一些常用

5、等式一些常用等式二、古典概率計算的一些例子1、摸球問題 例1.3.1 在盒子中有五個球三個白球、二個黑球從中 例1.3.2 在盒子中有十個一樣的球，分別標(biāo)為號碼1，2， 例1.3.3 一套五冊的選集，隨機(jī)地放到書架上，試求以下事件的概率：一白、一黑的概率？偶數(shù)的概率。任取兩個。問取出的兩個球都是白球的概率？3，9，10，從中任摸一球，求此球的號碼 1第一卷出如今旁邊 2第三卷恰好在中央 3各卷自左向右或自右向左恰成12345的順序 4某三卷放在一同 解1設(shè)A=“第一卷出如今旁邊， 522)(5544AAAP則2設(shè)B=“第三卷恰好在中央， 51)(5544AABP則3設(shè)C=“各卷自左向右或自右向

6、左恰成12345的順序， 6012)(55ACP則4設(shè)D=“某三卷放在一同， 103)(553333AAADP則例1.3.4設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有3件次品，現(xiàn)從中抽取3件，求以下的概率1 3件中恰有1件次品 2 3件中恰有2件次品 3 3件全是次品 4 3件全是正品 5 3件中至少1件次品 1設(shè)A=“3件中恰有1件次品， 2022. 0)(34023713CCCAP則解2設(shè)B=“3件中恰有2件次品， 0112. 0)(34013723CCCBP則3設(shè)C=“3件全是次品， 0001. 0)(34033CCCP則4設(shè)D=“3件全是正品， 7864. 0)(34033CCDP則5設(shè)E=“3件中至少1

7、件次品， 2136. 011)(DPEPEP則 2 2分房問題分房問題 例1.3.5 設(shè)有n個人，每個人都等可以地被分配到N個房間中的恣意一間去住nN，求以下事件的概率： A 指定的n個房間各有一人住 B 恰好有n個房間，其中各有一人 設(shè)有 k 個不同的球, 每個球等可以地落入 N 個盒子中 , 設(shè)每個盒子容球數(shù)無限, 求以下事件的概率:1某指定的 k 個盒子中各有一球；4恰有 k 個盒子中各有一球；3某指定的一個盒子沒有球；5至少有兩個球在同一盒子中；6每個盒子至多有一個球.例例1.3.5 (1.3.5 (分房模型分房模型) )Nk )(km2某指定的一個盒子恰有m個球；解解設(shè) (1) (6

8、)的各事件分別為那么kNn 61AA !1kkAkANknkAP!)(11mkmkANCk) 1(2kmkmkNNCAP) 1()(2kANk) 1(3kkNNAP) 1()(3!4kCkkNAkkNNkCAP!)(4!5kCNkkNkAkkNkNkCNAP!)(5!6kCkkNA)()(46APAP例例1.3.6 1.3.6 “分房模型的運(yùn)用分房模型的運(yùn)用生物系二年級有 n 個人，求至少有兩人生日一樣設(shè)為事件A ) 的概率.解解本問題中的人可被視為“球，365天為365只“盒子假設(shè) n = 64，每個盒子至多有一個球. 由例46.365!nC1)AP(1P(A)nn365nnnCAP365!

9、)(365為 n 個人的生日均不一樣,這相當(dāng)于A.997. 0)(AP“分房模型可運(yùn)用于很多類似場所分房模型可運(yùn)用于很多類似場所“球可視為人“盒子相應(yīng)視為房子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴 例1.3.7 在號碼簿中人取一個號碼號碼由7個數(shù)字組成，求取到的號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率？例1.3.8從1，2，3，10這10個數(shù)中任取一個，假定各個數(shù)都以同樣的概率被取中，取后復(fù)原，先后取7個數(shù)字，求以下事件的概率：17個數(shù)全不一樣； 2不含10與1；35恰好出現(xiàn)兩次； 45至少出現(xiàn)兩次；5取到的最大數(shù)恰好為6。解： 06048. 010177101PAP）（2097. 01082772AP）（

10、124. 0109375273CAP）（45至少出現(xiàn)兩次由5出現(xiàn)兩次，5出現(xiàn)三次，5出現(xiàn)七次構(gòu)成 3. 3. 隨機(jī)取數(shù)問題隨機(jī)取數(shù)問題1497. 01099117761744CAPAP或5取到的最大數(shù)恰好為6可分為6出現(xiàn)一次，兩次，七次 0202. 010555777675276175CCCCAP1497. 010999777674375274CCCCAP解解.5040410An例例1.3.91.3.9在在0,1,2,3, ,90,1,2,3, ,9中不反復(fù)地任取四個數(shù)，中不反復(fù)地任取四個數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率. .設(shè) A為“能排成首位非零

11、的四位偶數(shù) 四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 可以15C而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四39A 位數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的取1248C A229628143915ACACnA 法共有 種.904150402296)(AP三、幾何概型三、幾何概型例如：我們在一個面積為 的區(qū)域 中,等可以地恣意投點(diǎn)，這就是一個幾何概型。這里等可以確實(shí)切意義是這樣的：設(shè)在區(qū)域 中有恣意一個小區(qū)域A，假設(shè)它的面積為 ，那么點(diǎn)落入A中的可以性大小與 成正比，而與A的位置及外形無關(guān)，假設(shè)“點(diǎn)落入小區(qū)域A這個隨機(jī)事件依然記作A，那么由 可得 SASAS 1P SSAPA這一類概率通常稱作幾何概率 A定義：一個實(shí)驗(yàn)

12、具有以下兩個特征：定義：一個實(shí)驗(yàn)具有以下兩個特征： 1每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域來表示 2每次實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果是等可以的 這樣的實(shí)驗(yàn)稱為幾何概型 。定義：設(shè)幾何概型的樣本空間可表示成有度量的區(qū)域，仍記為 ，事件A所對應(yīng)的區(qū)域仍以A表示 ，那么定義事件A的概率為 A 的度量的度量AAP）（這個定義稱為概率的幾何定義，由 式確定的概率稱為幾何概率。 ）（例1.3.10 某公共汽車站每隔5分鐘來一輛汽車，設(shè)乘客在間隔的兩輛車之間的任一時辰都可以到達(dá)車站，試求乘客等車不超越3分鐘的概率。解：設(shè)A=“乘客等車不超越3分鐘550:Ltt，330:ALttA， 53LLAPA

13、則 例1.3.11甲乙兩人商定在6時到7時之間某處會面，并商定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。1、會面問題 例1.3.12甲乙兩人商定在6時到7時之間某處會面，并商定甲先到應(yīng)等候乙一刻鐘，乙先到應(yīng)等候甲非常鐘過時即可離去，求兩人能會面的概率。 例1.3.13在長度為T的時間段內(nèi)，有長短不等的信號隨機(jī)地進(jìn)入接納機(jī)。長信號繼續(xù)的時間為t1, 短信號繼續(xù)的時間為t2。試求這兩個信號互不干擾的概率。 例1.3.14蒲豐Buffon投針問題。平面上畫有等間隔的平行線，平行線間的間隔為a(a0)，向平面恣意投擲一枚長為l(la)的針，試求針與平行線相交的概率。 例1.3.15從

14、 中隨機(jī)地取兩個數(shù)，求其積不小于 ，其和不大于1的概率。 1 , 0163解： 設(shè)所取的兩個數(shù)為x、y，那么樣本空間為 110 , 10,Syxyx，設(shè)A=“兩數(shù)其積不小于 ，其和不大于1， 1631,163, 10 , 10,yxxyyxyxA則044. 03ln1634116314341dxxxSA 044. 01044. 0APxyo1xy31 6x y 例5甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時?？績伤逸喆拇a頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的時間是等可以的，假設(shè)甲船停靠的時間是一小時，乙船?？康臅r間是兩小時，求它們中任何一艘都不需求等候碼頭空出的概率。 解：設(shè)甲、乙兩艘輪船到達(dá)碼頭的時辰分別為x,y

15、240 ,240,yxyxS則240 ,240yxxy2424y = xy = x + 1y = x - 2由題意，假設(shè)甲先到，那么乙必需晚1小時到達(dá)，即 假設(shè)乙先到，那么甲必需晚2小時，即 xy12 yx如圖中藍(lán)色部分 210132321222122AS 879. 011521013AP576242S設(shè)A=“它們中任何一艘都不需求等候碼頭空出，那么 例6在三角形ABC中任取一點(diǎn)P，證明： 的面積之比大于 的概率為 。ABCABP與nn121n證：如圖 hxhABxABSSABCABP2121nnhxnnSSABCABP11即hnnx1即hn1CE 若當(dāng)點(diǎn)P落入 中時， CMNnnABCABP1的面積之比大于與 22211nhhnSSAPABCCMN則PACBPDENMF 例7在線段AB上任取三點(diǎn) ，求：321,xxx1 位于 與 之間的概率；2x1x3x2 能構(gòu)成一個三角形的概率。321,AxAxAx解： 1設(shè)A=“ 位于 與 之間， 2x1x3x線段AB的長為a的長度分別為 321,AxAxAxzyx,azayaxzyx0 ,0 ,0,則點(diǎn) 位于 與 之間，那么必需滿足 或， 2x1x3xzyxxyz它是以O(shè)、E、F、G或O、A、B、E為頂點(diǎn)的兩個四面體， 3121312