例子一塊長方形的金屬板

1、YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度例子：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐例子：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點？問題的答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方問題的答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度

2、方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向?qū)?shù)圖示方向?qū)?shù)圖示 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方沿某一方向的變化率問題向的變化率問題( , )zf x y YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 :, ,( )()()lim().PPP x y zf PPlPPlPlPf Pf PPPf PPlfPl 定定義義 設(shè)設(shè)為為一一給給定定點點，設(shè)設(shè)在在 點點的的附附近近有有定定義義，是是從從 點點出出發(fā)發(fā)的的射射線線，設(shè)設(shè)是是射射線線 上上的

3、的一一點點。令令沿沿 趨趨于于 時時，如如果果存存在在，就就稱稱此此極極限限為為在在 點點沿沿 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為怎樣計算方向?qū)?shù)呢？怎樣計算方向?qū)?shù)呢？YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度00000( , , )(,),( , , )f x y zP xyzf x y zPl定定理理： 如如果果在在點點可可微微 則則在在 點點沿沿任任何何方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且 000000000,cos,cos,cosxyzffxyzfxyzfxyzl cos,cos,cosl 其其中中是是 的的方方向向余余弦弦。 000,Pxx yy zzl

4、 證證明明：若若是是 上上的的點點，則則000cos,cos,cos,xyzP PP PP P 0fPP由由假假設(shè)設(shè)在在 點點可可微微, ,則則有有YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 0000000222000,xyzf Pf Pfxy zxfxy zyfxy zzoxyz 于于是是 00000000002220002220,xyzf Pf Pxyfxy zfxy zP PP PP Poxyzzfxy zP Pxyz 0PlP令令沿沿 趨趨于于 時時，有有YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 000000000,cos,cos,co

5、sxyzffxyzfxyzfxyzl 注注：對對二二元元函函數(shù)數(shù)，有有 00000000,cos,cos,cos,sinxyxyffxyfxylfxyfxy 二、梯度二、梯度( , , ).u x y zC 定定義義：由由所所確確定定的的曲曲面面稱稱為為等等量量面面( , ).u x yC 由由所所確確定定的的曲曲線線稱稱為為等等量量線線YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度:(,)(,)grad,grad,PPPuu x y zPuuuijkxyzu x y zPuuuuuxyz 定定 義義設(shè)設(shè)在在點點 附附 近近 有有 定定 義義 ，稱稱 向向 量量為為在在點點

6、 的的 梯梯 度度 ， 記記 為為即即222uuuuxyz 長長度度記記為為 g gr ra ad dYunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度1u意意義義：（）梯梯度度方方向向是是 增增長長最最快快的的方方向向。2u（ ）梯梯度度的的模模是是 沿沿這這一一方方向向的的變變化化率率。cos,cos,cos ,( , , )lu x y zl 證證：設(shè)設(shè) 的的方方向向余余弦弦為為這這時時沿沿 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為coscoscosuuuulxyz 00coscoscoslllijk 令令 是是 方方向向的的單單位位向向量量：于于是是YunnanUniversity6.

7、 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 ,cos,cos,cosuuuulxyz 0gradu l 0gradcos grad ,uu l 0,cos(grad ,)1,lu l 當(dāng)當(dāng) 與與梯梯度度的的方方向向一一致致時時.ul 從從而而有有最最大大值值grad.u變變化化率率等等于于梯梯度度的的模模YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度0,nun 用用 表表示示等等量量面面的的一一個個法法向向量量 它它指指向向 的的數(shù)數(shù)值值增增大大的的方方向向，用用 表表示示等等量量面面的的一一個個單單位位法法向向量量 則則0graduunn 1212121212(1) grad()gr

8、adgrad,(2)gradgradgrad,(3) gradgrad .uuuuu uuuu uF uFuu 梯梯度度運(yùn)運(yùn)算算法法則則：YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 1.1,1,12, 1,3uxyzMl 例例求求在在點點沿沿方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，梯梯度度，及及梯梯度度的的模模. .解解：,.xyzuyzuxzuxy 1,1,11,1,1,11,1,1,11xyzuuu 213cos, cos, cos,141414l 方方向向 的的方方向向余余弦弦為為故故YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 1,1,1 cos1,

9、1,1 cos1,1,1 cos4.14xyzfuuul grad1,1,11,1,11,1,1.xyzuuiujukijk 222grad3.xyzuuuu YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度222312,rrxyzrr 例例證證明明g gr ra ad d，其其中中.rxiy jzk 22211,urxyz 證證： 令令則則 33222222,xyxyuuxyzxyz 3222zzuxyz YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 3222332222221gradxirxyzyzkkxyzxyz 從從而而3rr YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity