畫法幾何_直線_直線的相對位置直角投影定理直角三角性法

1、同學們好！大家好! 第三章 直線第二節(jié) 各種位置直線第一節(jié) 直線的投影第三節(jié) 一般位置線段的實長及其 對投影的傾角第四節(jié) 兩直線的相對位置第五節(jié) 直角投影定理H 直線的投影仍為直線，兩點確定一條直線，直線上兩點的投影用直線連接，就得到直線的投影。b第一節(jié) 直線的投影直線垂直于投影面其投影積聚為一點(積聚性)作CB/abCB/ab, ,則ABCABC為直線ABAB對投影面H H的傾角.直線傾斜于投影面其投影比實長短: ab=ABab=ABcos(類似性）類似性）直線平行于投影面其投影反映線段實長: fg=FGfg=FG（真實性）（真實性）投影特性FABae(d)DEC( (c) )gfGC投影面

2、平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（只平行于面）側平線（只平行于面）水平線（只平行于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線垂直于某一投影面(平行于另兩投影面)返回第二節(jié) 各種位置直線特殊位置直線一、直線的分類：VHX0ZYW 一般位置直線的三個投影仍為直線；三個投影都傾斜于投影軸；投影長度小于線段的實長；投影與投影軸的夾角，不反映直線對投影面的傾角。babababababaAB一般位置直線ABXZYHYWObababaXZYWO 直線上點的投影，必在直線的同面投影上； （cab, ca b ,ca b) 線段上的

3、點分割線段之比，投影后保持不變。 AC/CB=ac/cb= a c / c b = a b/ c b)1.一般位置直線上點的投影VHX0ZYWXYWYHbababaABC是直線AB上的點ABccc0ZbababacccC例1 如圖中黑色的圖形所示，作出分 線段AB為3:2的點c的兩面投影。0作法： 1.過點a任作一條直線ae； 2.在ae上截取五等分； 3.連接be； 4.在離點a三等分點處作直線平行于be，交ab上一點c； 5.過點c作直線垂直于ox,交 ab于點c。 點C(c, c)即為所求。ababccexVHX0ZYW2.投影面平行線X0ZYWYHbababa1) 正平線（投影面V的平

4、行線AB）AB投影特性：1. ab1. ab / OZ / OZ ， a b/ OXa b/ OX；2. a2. a b b = A B = A B；3 3. .正面投影正面投影反映、角的真實大小。bababaABABABVHX0ZYW投影特性：1.a1.a b b / OX / OX，ab/ OYwab/ OYw；2.a b = A B2.a b = A B；即：水平投影即：水平投影反映線段實長及、角的真實大小。aababbXababba0zYHYW2) 水平線（投影面H的平行線AB）AB3)側平線（投影面W的平行線AB）XZabbbaOYHYWaVHX0ZYWaababbAB （小結）投影

5、面平行線的投影特性： 1.在直線所平行的投影面上的投影，反映線段實長；它與投影軸的夾角，分別反映直線與另兩投影面夾角的真實大小。 2.在另外兩個投影面上的投影，平行于相應的投影軸，長度縮短。3.投影面垂直線VHX0ZYW1)正垂線(投影面V的垂直線AB)(b)aABbabababa(b)a投影特性：1. a ( b )積聚成一點 2. a b Ox ； a b Oz 3. a b = a b = ABzxyHyHo(投影面H的垂直線AB)投影特性：1、 a b 積聚成一點 2、 a b ox,a b oyw 3、 a b = a b = ABzbxaba(b)oYHYWaVHX0ZYWabba

6、a(b)AB2) 鉛垂線(投影面 W 的垂直線AB)投影面垂直線的投影特性：1.在與直線垂直的投影面上的投影積聚成一點一點。2.在另外兩個投影面上的投影垂直于相應的投影軸且反映線段實長。VHX0ZYWbaaba(b)ABZxa(b)baoYHYWab3) 側垂線zz1z1zoxababkk12例2 側平線上的點已知AB的兩面投影及其上面的點K的正面投影，求點K的水平投影。利用點在線上分割線段成定比，投影后不變的性質作圖。第三節(jié) 一般位置線段的實長及其對投影面的傾角 方法是：以線段在某一投影面上的投影長為一直角邊，兩端點與這個投影面的距離差為另一直角邊形成的直角三角形。其斜邊是線段的實長，斜邊與

7、投影長的夾角就是該直線與這個投影面的傾角。VHX0ZYWbababaAB X0ZYWYHbababa在正面投影上求線段實長與傾角在水平投影上求線段實長與傾角在側面投影上求線段實長與傾角實長實長實長實長實實長長 直角三角形法Bo直角三角形求線段實長及其與投影面的傾角中的三個三角形 設所求線段為AB 在三個直角三角形中，斜邊為線段實長；一個直角邊為某投影長，該投影與斜邊的夾角為該直線與投影面的夾角；夾角所對的邊為線段兩端點相應的坐標差。AB線段實長ZABab的長AB線段實長XABa b 的長 AB線段實長YABa b 的長例1 已知線段的實長AB，求它的水平投影。aAB 根據(jù)已知條件，要求得ab，

8、其方法一是求得A、B兩點的Y坐標差(YAB ) ；方法二是求得ab的長。此題有兩解(多解時一般只畫一解）bxaobABbxaobABbxaoba bA B方法二 已知線段的實長AB，求它的水平投影。aAB此題有兩解bxaob解法二方法三：求出ab的長ABbxaobABxabABBaZAB12以AB兩點的Z坐標差為一直角邊的直角三角形中，另一直角邊為AB水平投影ab的長。即：12=abZAB例例2 2 已知直線已知直線ABAB的的=30=30 求作求作ABAB的正面投影。的正面投影。oxababZAB301.分析要求得ab，其實就是求b；要求得b也就是想辦法找到A、B兩點的Z坐標差或者求出ab的

9、長。B02.作圖1）作abB0,使= 30A的對邊為ZAB2）過a作直線平行于Ox軸，與過b而垂直于ox軸的直線交于一點b0 3）以b0為圓心以ZAB為半徑畫圓弧，交bb0的延長線于點b4）用直線連接ab即為所求。b0oxaabkbcd6820dc6820k例3 已知CDAB=K，CDH， 求CD的正面投影。求k同前。由于CDH所以cdox軸。 同學們好！第四節(jié)第四節(jié) 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 分析： 1.已知ABCD,根據(jù)正投影圖的作圖法可知： (AaP BbP CcP DcP) P面，則平面AB bPaP CDdPcP； 2.兩個平行平面（AB bPaP與CDdPcP）與第三平面（

10、P可被看作是H、V、W面）相交，交線平行； 3.綜上所述，我們可以得出：若空間兩直線平行那么他們的同面投影也對應平行（如：ab cd、ab cd、ab cd） 一.兩平行直線XZYWOYHXZYWOBDabababcddcdcPAaPbPCcPdPAXYHXZYWOabababcddcdc例1 判斷兩直線是否平行aabdcbcdox方法一： 看直線的方位：由投影圖可以看出ab、cd同向（均由后向前）；a b 與c d 反向（a b 由上向下，c d 由下向上）由此看出AB與CD不平行。方法二： 看比例：a b /c d 1,ab/cd1,由此可知，AB不平行于CD。例2 如圖所示，判斷兩側平線

11、的相對位置。bX0acddcba作輔助直線AD與BC的兩面投影,判斷：AD與BC是兩相交直線,則AB與CD共面. 只要證明AB與CD共面則有ABCD。X0abccbabcdc c cabcbcaabcbcdYWX0abccbabcdc c cabcbcaabcbcdYWX0abccabcdc c cabccaabccdYWX0abccacdcabcaabdcdYWYHaZ方法三：求第三投影(三個投影都互相平行，則ABCD)方法四：看已知的二 直線是否共面abcdc a b d 例3 判斷圖中兩條直線是否平行。 由此可知：對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。即即AB/

12、CD返回1 1 a b : c d = a b: c d a b c d , a b c d a b 1 1 c d ; a b 1 1 c d; a 1 : 1 d = a 1: 1 da a 1 1 d d AB與CD共面a b c d , a b c dox二、兩相交直線因此，三對同面投影都相交，且交點符合點的三面投影特規(guī)律ZYHabX0YWbbaaeeedcdcdcPABCDEapbpcpdpe兩直線相交有且僅有一個交點（E）交點是相交兩直線的公有點（P面可以看作H、V、W面）例1 已知AB與CD相交，又知AB的兩面投影及CD的正面投影c d ，且CD平行于V面。求CD的水平投影a b

13、 c d aboxk 分析：ABCD=KKAB，KCDk ab，k cda k /k b =ak/kb又因為AB平行于W面，所以cd/ox軸。用定比分點法求k。解：1.過a任作一條直線ae；2.在ae上截取a1=a b ； a2= a k 的長度3.連接1b4.作2k1b,與ab交于點k5.過k作直線平行于ox軸6.過c 、 d 作直線垂直于ox,交上述直線于點c、de12a k 的的長長cd三、交錯直線 交錯兩直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。X X X XYHX X XXbaaeeccfbaaeeccfbaaeeccfbaaeccfbaaeccfbaae

14、ccfbaaeccfbaaeccfbaaeccfbaacc AB與CD交錯，為什么他們在P面上的投影相交呢？因為直線AB上的點F和直線CD上的點E位于指向P面的同一條投射線上，所以點F、E在P 面上的投影重合，點F的投影可見而點E的投影不可見。ZYH0YWbabeddcdf0YWabeddcdfbabeddcdf0YWabeddcdf0YWabeddcdf0YWbabeddcdf0YWabeddcdfbabeddcdf0YWabeddcdf0YWeddcdfd ddpbp(f )ABDapFEfp（ep）PScpfaZYH0YWbbabeddcdf0YWbabeddcdfbbabeddcdf0

15、YWbabeddcdf0YWbabeddcdf0YWbbabeddcdf0YWbabeddcdfbbabeddcdf0YWbabeddcdf0YWbeddcdfd daaeefaaeefaaeefaaefaaefaaefaaefaaefaaefaac AB與CD交錯，為什么他們在P面上的投影相交呢？因為直線AB上的點F和直線CD上的點E位于指向P面的同一條投射線上，所以點F、E在P 面上的投影重合，點F的投影可見，本題中點E、F是對V面的一對重影點；點E在前，所以點F的正面投影f 不可見。(f )C例1 判斷兩直線的相對位置xaacddcbbodacbyzy 解法1:作出側面投影,由三面投影可

16、知,兩直線交錯xaacddcbbo例2 判斷兩直線的相對位置(解法2)11 用點分割直線段之比，投影后保持不變的性質判斷。 由水平投影可判斷，點不屬于直線AB，故兩直線交錯。第五節(jié) 直角投影定理 直角投影定理： 互相垂直的兩直線，當一邊為某投影面的平行線時，他們在該投影面上的投影是直角。 逆定理也是成立的。 AB BC，直角邊 AB平行于投影面P(P面 可以被看作是H、V、W面） AB P，Bbp P ABBbp又 ABBC， ABQ，即AB bpcp ab AB, ab Q, 即a pb pb pcpabcX0acbPABCQapbpcpQapbpcp直角投影定理：交錯二直線互相垂直的兩直線，當一邊為某投影面的平行線時，他們在該投影面上的投影是直角。bb例1 作直線AB垂直于直線EF。11 f 例2 作直線EF，使其垂直于直線AB和直線CD。eefboxabk1akYK1YK例3 求點K到直線AB的距離（投影和實長）。分析1.abox,ABV則有k1ab2.用直角三角形法求出K1的實長便得解。例4 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。mxmnaonabbccMN平行于投影面V