矩形運(yùn)算方法

1、. .一敗涂地、解線性方程組線性矩陣方程解線性方程組是科學(xué)計算中最常見的問題。所說的“最常見有兩方面的含義：） 問題的本身是求解線性方程組；） 許多問題的求解需要或歸結(jié)為線性方程組的求解。關(guān)于線性方程組其求解方法有兩類：） 直接法：高斯消去法Gaussian Elimination；） 間接法：各種迭代法Iteration。、高斯消去法） 引例考慮如下梯形線性方程組：高斯消去法的求解思路：把一般的線性方程組化成上或下梯形的形式。高斯消去法例如考慮如下線性方程組：） 第一個方程的兩端乘加到第二個方程的兩端，第一個方程的兩端乘加到第三個方程的兩端，得第二個方程的兩端乘加到第三個方程的兩端，得） 從

2、上述方程組的第三個方程依此求解，得高斯消去法的缺乏及其改進(jìn)高斯全、列主元素消去法在上例中，由于建模、計算等原因，系數(shù)2.001而產(chǎn)生0.0005的誤差，實際求解的方程組為注：數(shù)值穩(wěn)定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步選取列主元素一列中絕對值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是數(shù)值穩(wěn)定的方法。列主元素消去法的根本思想：在每輪消元之前，選列主元素絕對值最大的元素,使乘數(shù).列主元素消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步的按列選主元、交換兩行、消元計算，得到矩陣.第步計算如下：對于，1 選列主元素，即確定使；2 如果，那么方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停頓運(yùn)算；3 如果，那么交換第行與第

3、行元素；4 消元計算：5 回代計算：完全主元素消去法即是每次選主元時，依次按行、列選取絕對值最大的元素作為主元素，然后交換兩行、兩列，再進(jìn)展消元計算.完全主元素消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步的選主元、交換行和列、消元計算，得到矩陣.第步計算選主元素的范圍為，即確定使.第步計算如下：對于，1 選主元素，即確定使；2 如果，那么方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停頓運(yùn)算；3 如果，那么交換第行與第行元素；如果，那么交換第列與第列元素；4 消元計算：5 回代求解.【注】完全主元消去法是解低階稠密矩陣方程組的有效方法，但完全主元消去法解方程組，在選主元素時要化費(fèi)較多的計算機(jī)時間，行主元消去法與列

4、主元消去法運(yùn)算量大體一樣，實際計算時，用列主元消去法即可滿足一定的精度要求.對同一數(shù)值問題，用不同的計算方法，所得結(jié)果的精度大不一樣.對于一個算法來說，如果計算過程中舍入誤差能得到控制，對計算結(jié)果影響較小，那么稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否那么，如果計算過程中舍入誤差增長迅速，計算結(jié)果受舍入誤差影響較大，那么稱此算法為數(shù)值不穩(wěn)定的.因此，我們解數(shù)值問題時，應(yīng)選擇和使用數(shù)值穩(wěn)定的算法，否那么如果使用數(shù)值不穩(wěn)定的算法，就可能導(dǎo)致計算失敗.高斯列主元素消去法的MATLAB實現(xiàn)：，意為例LinearEquiation02.mopen LinearEquiation02 LinearEquiation02 一

5、個典型的例子:Hilbert矩陣:注:非奇異矩陣的條件數(shù): 分解Factorization高斯消去法、Doolittle分解高斯消去法的消元過程，從代數(shù)運(yùn)算的角度看就是用一個下三角矩陣左乘方程組的系數(shù)矩陣，且乘積的結(jié)果為上三角矩陣，即()可通過直接用A元素計算矩陣A的三角分解矩陣L和U.這種直接計算A的三角分解的方法有實用上的好處.下面利用矩陣乘法規(guī)那么來確定三角矩陣L和U.第一步：利用A的第一行、第一列元素確定U的第一行、L的第一列元素.由矩陣乘法，得到,. 3.7設(shè)已經(jīng)計算出U的第1至r-1行元素，L的第1至r-1列元素，現(xiàn)在要計算U的第r行元素及L的第r列元素.第r步：利用A的第r行、第

6、r列剩下的元素確定U的第r行、L的第r列元素.由矩陣乘法，有，得U的第r行元素為. 3.8由，得. 3.9例5用LU分解法求解方程組.解對系數(shù)矩陣A進(jìn)展LU分解，.由，有.，.因此.解方程組，得.解方程組，得.6 LU 分解的MATLAB實現(xiàn)：或例A=rand(5);L,U，P=lu(A)A=rand(5);L,U,P=lu(A)L=PL 當(dāng)是主對角占優(yōu)的三對角矩陣時，基于Doolittle分解可得到解這類方程組的追趕法。、Cholesky分解(Cholesky Factorization)對稱正定矩陣的Cholesky分解和以為系數(shù)矩陣地的線性方程組的改進(jìn)的平方根法：設(shè)階方程組，是對稱正定矩

7、陣(Positive Definite Matrix)，那么有三角分解.再將分解為,那么.1 對稱正定矩陣有唯一的分解這是由于，且對稱陣，那么有再利用三角分解的唯一性，得.因此，對稱正定矩陣有唯一的分解.2 是正定對角陣即由于對稱正定的充要條件是對稱正定，其中是階可逆方陣.取，就推知是正定對角陣.因此的對角元素，記，其中,那么.3 喬萊斯基Cholesky分解將記為，那么稱為Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式，推導(dǎo)出的解方程組方法，稱為Cholesky方法或平方根法.4 解方程組的平方根法Cholesky方法由Cholesky分解，有. 3.10利用矩陣乘法，逐步確定的第行

8、元素.由當(dāng)時，有分解公式：對于 3.11將對稱正定矩陣作Cholesky分解后，那么解方程組就轉(zhuǎn)化為解兩個三角方程組.例7用Cholesky方法解方程組.解對系數(shù)矩陣作Cholesky分解得到.解，得.解，得.cholesky分解的MATLAB的實現(xiàn)：L=chol(A)。3、追趕法在許多實際問題中，如，常微分方程兩點邊值問題、三次樣條插值方法等，往往遇到線性方程組的求解，其中. 3.13稱具有公式3.13形式的系數(shù)矩陣為三對角陣,稱相應(yīng)的線性方程組為三對角方程組Tridiagonal Linear Systems).具有這種形式的方程組在實際問題中是經(jīng)常遇到的，而且往往是對角占優(yōu)Diagona

9、lly Dominant的.滿足條件： ，.這類方程組的解存在唯一非奇異，可以直接利用高斯消去法或直接分解法，而其解答可以用極其簡單的遞推公式表示出來，即下面介紹的追趕法.追趕法通常是數(shù)值穩(wěn)定的.對作LU分解Doolitle分解，可以發(fā)現(xiàn)L、U具有非常簡單的形式.由矩陣乘積，得.比較等式兩端，得到 3.14因為上述分解，那么方程組的求解轉(zhuǎn)化為解兩個簡單的三角方程組和，從而得到求解方程組的算法公式.先解，即. 3.15再解，即. 3.16這種把三對角方程組的解用遞推公式3.14、3.15、3.16表示出來的方法形象化地叫做追趕法，其中3.14、3.15是關(guān)于下標(biāo)由小到大的遞推公式稱為追的過程，而

10、16卻是下標(biāo)由大到小的遞推公式稱為趕的過程，一追一趕構(gòu)成了求解的追趕法.例9用追趕法解三對角方程組.解 系數(shù)矩陣分解得到.解，得.解，得.調(diào)用函數(shù)LU_Factorization.m解例9.輸入A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=1;3;2;x,L,U,index=LU_Factorization(A,b)得到方程組的解及相應(yīng)的LU分解矩陣：x = 0.5179 L= 1.0000 0 0 U= 4.0000 -1.0000 0 1.0714-0.2500 1.0000 0 0 3.7500 -1.0000 0.7679 0 -0.2667 1.00000 0 3.7333為了

11、對線性方程組的直接法作出誤差分析，為了討論方程組迭代法的收斂性，需要對向量和矩陣的大小進(jìn)展度量，進(jìn)而引入了范數(shù)用于度量“量的大小的概念、 引言實數(shù)的絕對值：是數(shù)軸上的點到原點的距離；復(fù)數(shù)的模：是平面上的點到原點的距離；還有其他刻畫復(fù)數(shù)大小的方法準(zhǔn)那么：如；向量的內(nèi)積、范數(shù)及維空間距離的度量令是一數(shù)域，是上的向量空間，如果函數(shù)有如下性質(zhì)：、共軛對稱性：，；、非負(fù)性：，；、線性性：，；那么稱是上的一個向量內(nèi)積inner product，向量空間上的向量內(nèi)積通常用符號表示，定義了內(nèi)積的向量空間稱為內(nèi)積空間inner product space。記做表示。例，容易驗證函數(shù)定義了上的一個內(nèi)積。令是一數(shù)域

12、，是上的向量空間，如果函數(shù)有如下性質(zhì)：、非負(fù)性：，；、齊次性：，；、三角不等式：，；那么稱是上的一個向量范數(shù)norm，向量空間上的范數(shù)通常用符號表示。定義了范數(shù)的向量空間稱為賦范空間normed space。記做表示。例，容易驗證函數(shù)定義了上的一個范數(shù)，這樣定義的范數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。例上常用的向量范數(shù)：，、范數(shù)：；、范數(shù)：；、范數(shù)：；令是一數(shù)域，是上的向量空間，如果實值函數(shù)有如下性質(zhì)：、對稱性：，；、非負(fù)性：，、三角不等式：，；那么稱是上的一個距離函數(shù)distance function或度量metric，定義了度量的向量空間稱為度量空間metric space，記做表示。例4上常用的由范數(shù)誘導(dǎo)的度量：，、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；、范數(shù)誘導(dǎo)的度量：；矩陣的范數(shù)矩陣是線性映射當(dāng)時為線性變換的一種表現(xiàn)形式。因此，除了可以把矩陣看做向量而定義其范數(shù)外，更為根本