2.2d.r.v.及其分布律ppt課件

1、概率論概率論 第二節(jié)第二節(jié) d.r.v.及其分布律及其分布律d.r.v.分布律的定義分布律的定義d.r.v.的表示方法的表示方法三種常見分布三種常見分布小結(jié)小結(jié)概率論概率論 其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：kp, 0kp k=1,2, （1）kkp1（2） 定義定義2 ：設(shè)：設(shè) xk (k=1,2, ) 是是d.r.v. X 所取的一切可所取的一切可能值，稱能值，稱為為d.r.v. X 的分布律的分布律.用這兩條性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)判斷一個函數(shù)是否是分布律是否是分布律1 2, ,kkP Xxpk 一、一、d.r.v.分布律的定義分布律的定義概率論概率論 解解: 依據(jù)分布律的性

2、質(zhì)依據(jù)分布律的性質(zhì)kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0 ,從中解得從中解得即即 ea例例2設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .00kkke! 概率論概率論 二、離散型隨機(jī)變量表示方法二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1公式法公式法（2列表法列表法1 2, ,kkP Xxpk Xkp12kxxx12kppp概率論概率論 例例3 某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解： X可取值為可取值為0,1,2 ;

3、PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81概率論概率論 常常表示為：常常表示為： 81. 018. 001. 0210X這就是這就是X的分布律的分布律.概率論概率論 例例4:某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的分布的分布律律.解解: 顯然，顯然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， PX=1=P(A1)=p, 為計算為計算 PX =k ， k = 1,2, ，Ak = 第第k

4、發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (概率論概率論 , 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可見可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律的分布律.概率論概率論 例例5 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等. 以以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，

5、表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求求X的分布律的分布律.解解: 依題意依題意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. PX=0=P(A1)=1/2, Ai=第第i個路口遇紅燈個路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)設(shè)路口路口3路口路口2路口路口1概率論概率論 PX=1=P( )21AA2121= 1/4321AAA PX=2=P( )212121=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1概率論概率論 321AAA=1/8P(X=3)= P( )212121路口路口3路口路口2路口

6、路口1818141213210X即即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)概率論概率論 三、三種常見分布三、三種常見分布1、（、（0-1分布：（也稱兩點(diǎn)分布）分布：（也稱兩點(diǎn)分布）隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只可能取只可能取0與與1兩個值，其分布律為：兩個值，其分布律為： 101 , 0,11 pkppkXPkk ppX110或或概率論概率論 2.伯努利試驗和二項分布伯努利試驗和二項分布 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點(diǎn)點(diǎn)”，“未擲出未擲出4 4點(diǎn)點(diǎn)” 抽驗產(chǎn)品：抽驗產(chǎn)品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 一般地，設(shè)在一次試驗一般地，設(shè)在一次試驗E中我

7、們只考慮兩個互逆中我們只考慮兩個互逆的的結(jié)果：結(jié)果：A 或或 .A 這樣的試驗這樣的試驗E稱為伯努利試驗稱為伯努利試驗 .概率論概率論 “反復(fù)反復(fù)是指這是指這n n次試驗中次試驗中P(A)= p P(A)= p 保持不變保持不變. . 將伯努利試驗將伯努利試驗E E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n n次次 , ,則稱這則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為n n重伯努利試驗重伯努利試驗 . .“獨(dú)立獨(dú)立是指各次試驗的結(jié)果互不影響是指各次試驗的結(jié)果互不影響 . . 實際模型 設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為),10( , pp現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)試驗現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)試驗n n次，次，kkn knC

8、 p q, 從而從而A A事件恰好發(fā)生事件恰好發(fā)生k k次的概率即為次的概率即為若令若令X X為為n n次試驗中次試驗中A A事件發(fā)生的次數(shù)，事件發(fā)生的次數(shù)，,10，n，X 則則kkn knP XkC p qkn(),0,1, , 且且概率論概率論 用用X X表示表示n n重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件A A發(fā)生的次數(shù)，那發(fā)生的次數(shù)，那么么1)(0nkkXP易證：易證：0)( kXP（1）稱稱 r.v X r.v X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n n和和p p的二項分布，記作的二項分布，記作 Xb(n,p)kXP 10 1 , ,nn kkkppkn （2）概率論概率論 007125. 0)9

9、5. 0()05. 0() 2(223CXP例例6 6 已知已知100100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有5 5個次品，現(xiàn)從中有放回個次品，現(xiàn)從中有放回地取地取3 3次，每次任取次，每次任取1 1個，求在所取的個，求在所取的3 3個中恰有個中恰有2 2個次品的概率個次品的概率. . 解解: 因為這是有放回地取因為這是有放回地取3次，因此這次，因此這3 次試驗次試驗的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設(shè)設(shè)X為所取的為所取的3個中的次品數(shù)，個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：于是，所求概率為：那那么么

10、X b(3,0.05)，概率論概率論 若將本例中的若將本例中的“有放回改為無放回有放回改為無放回”, , 那么各那么各次試驗條件就不同了次試驗條件就不同了, , 此試驗就不是伯努利試驗此試驗就不是伯努利試驗 . . 此時此時, , 只能用古典概型求解只能用古典概型求解. .00618. 0) 2(310025195CCCXP請注意：請注意：概率論概率論 伯努利試驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，伯努利試驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1 1每次試驗條件相同；每次試驗條件相同； 二項分布描述的是二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次

11、數(shù) X 的分布律的分布律 .（2 2每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果 A A 或或 ， A（3 3各次試驗相互獨(dú)立各次試驗相互獨(dú)立. . 且且 P(A)=p ， ； 1( )P Ap 概率論概率論 例例7 7 某類燈泡使用時數(shù)在某類燈泡使用時數(shù)在10001000小時以上小時以上的概率是的概率是0.20.2，求三個燈泡在使用，求三個燈泡在使用10001000小時以后最多只有一個壞了的概率小時以后最多只有一個壞了的概率. .解解: : 設(shè)設(shè)X X為三個燈泡在使用為三個燈泡在使用10001000小時已壞的燈泡數(shù)小時已壞的燈泡數(shù) . . X b (3, 0.8)，把觀察一個燈泡的使

12、用把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗時數(shù)看作一次試驗,“使用到使用到1000小時已壞小時已壞”視為事件視為事件A .每次試驗每次試驗,A 出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為0.8 PX 1 =PX=0+PX=1=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2 . 0()8 . 0()(33kkkCkXP3 , 2 , 1 , 0k概率論概率論 ，每臺監(jiān)視一個重要路口每臺監(jiān)視一個重要路口各臺監(jiān)控器獨(dú)立運(yùn)行各臺監(jiān)控器獨(dú)立運(yùn)行例例 :2。，p概率概率有路口不能及時監(jiān)控的有路口不能及時監(jiān)控的試求試求個路口個路口個人共同監(jiān)控個人共同監(jiān)控個路口個路口人員分別監(jiān)控人員分別監(jiān)控每個監(jiān)控每個監(jiān)控如果如果概率都

13、是概率都是每一路口需重點(diǎn)監(jiān)控的每一路口需重點(diǎn)監(jiān)控的803)2( ;20)1(:,01. 0 ，X表示需重點(diǎn)監(jiān)控的路口表示需重點(diǎn)監(jiān)控的路口設(shè)設(shè)解解:),01. 0 ,20()1(BX)1( XP)1(1 XP0169. 09831. 01 ),01. 0 ,80()2(BX)3( XP)3(1 XP0087. 09913. 01 。個個實實例例理理以以提提高高工工作作效效率率的的一一這這是是將將概概率率論論應(yīng)應(yīng)用用于于管管概率論概率論 例例 3：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗，檢驗員檢驗員檢驗4次，每次隨機(jī)抽取次，每次隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，如果

14、發(fā)現(xiàn)多件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)多于于1件次品，就要調(diào)整機(jī)器，求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概件次品，就要調(diào)整機(jī)器，求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布及其數(shù)學(xué)期望。率分布及其數(shù)學(xué)期望。為為：，即即需需調(diào)調(diào)整整機(jī)機(jī)器器的的概概率率次次品品數(shù)數(shù)大大于于 1)1(1)1( XPXPp082. 09 . 01 . 09 . 014155 C，也也就就是是機(jī)機(jī)器器需需要要調(diào)調(diào)于于次次檢檢驗驗中中發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)次次品品數(shù)數(shù)大大設(shè)設(shè)在在14328. 0082. 04 npEY因因此此解：以解：以X表示取出表示取出5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，件產(chǎn)品中的次品數(shù)，(5,0.1)XB整的次數(shù)為整的次數(shù)為Y，(4,0.082)YB概率論概率論

15、3. 泊松分布泊松分布, 2 , 1 , 0,!)( kekkXPk 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：且概率分布為：其中其中 0 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布,記作記作X( ).概率論概率論 5 (2)0.084224(3)0.140374P XP X (5)0.175467(20)0P XP X 泊松分布的方便之處在于，其概率的計算可以泊松分布的方便之處在于，其概率的計算可以利用編制好的泊松分布表來進(jìn)行。利用編制好的泊松分布表來進(jìn)行。如當(dāng)如當(dāng) 時時概率論概率論 lim()lim(1),!

16、kkkn knnnnnP XkC ppek lim()lim(1)kkn knnnnnP XkC pp 1lim(1)(1)() (1)!kn knnnnpn nnkpkn ()121lim(1)(1)(1)(1)!kn knnnnpkpknnn !kek 泊松定理：設(shè)泊松定理：設(shè)XB(n,p ), 如果當(dāng)如果當(dāng),n (0),nnp 則有則有0,1,2,k 證明：證明：概率論概率論 在實際計算中在實際計算中, ,當(dāng)當(dāng) n n 20, p 20, p 0.050.05時時, , 可用上述公可用上述公式近似計算式近似計算; ; 而當(dāng)而當(dāng) n n 100, np 100, np 10 10 時時,

17、,精度更好精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 4

18、0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二項分布按二項分布 按泊松分布按泊松分布 k k n=10 n=10 p=0.1 p=0.1n=20 n=20 p=0.05p=0.05 n=40 n=40 p=0.025 p=0.025 n=100 n=100 p=0.01 p=0.01 =np=1 =np=1 概率論概率論 例例 ：已知一大批產(chǎn)品的廢品率為：已知一大批產(chǎn)品的廢品率為0.0050.005，從中任取，從中任取10001000件，試求：（件，試求：（1 1其中至少其中至少2 2件廢品的概率；（件廢品的概率；（2 2其中廢品其中廢品數(shù)不超過數(shù)不超過5 5的概率；（的概率

19、；（3 3以不小于以不小于90%90%的保證，其中廢品的保證，其中廢品數(shù)至多不超過多少？數(shù)至多不超過多少？解：抽出解：抽出10001000件中，廢品個數(shù)件中，廢品個數(shù)X X是一個隨機(jī)變量，是一個隨機(jī)變量，的的泊泊松松分分布布。因因此此，得得服服從從5 np )1()0(1)2()1( XPXPXP9596. 05155 ee5505(2)(5)0.6160!kkP Xek 由于產(chǎn)品數(shù)量很大，由于產(chǎn)品數(shù)量很大， 因此每次抽取出廢品的概率因此每次抽取出廢品的概率p p可看作相等可看作相等, ,故有故有XB(n,p),1000,0.005,np 根據(jù)泊松定理，根據(jù)泊松定理，X近似近似概率論概率論 ，

20、而而，使使求求最最小小的的9 . 0)()3( nXPn90. 0!5!5)(5050 emnemnXPnmmnmm，使使，即即求求8 n查泊松分布表得查泊松分布表得概率論概率論 例例8 8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5=5的泊松分布來描述，為了以的泊松分布來描述，為了以95%95%以上的把握保證不以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解解: :設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,X,已

21、知已知X服從參數(shù)服從參數(shù)=5的泊松分布的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件件,求滿足求滿足P X m 0.95 的最小的的最小的m .m .進(jìn)貨數(shù)進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)銷售數(shù)概率論概率論 求滿足求滿足P X m 0.95 的最小的的最小的m.m.查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件件或或概率論概率論 對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律也就知道了該隨機(jī)變量取值

22、的概率規(guī)律. 在這個意在這個意義上，我們說義上，我們說 這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布律，并給出兩點(diǎn)分布、二項分布、泊松分布三種重律，并給出兩點(diǎn)分布、二項分布、泊松分布三種重要離散型隨機(jī)變量要離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定.四、小結(jié)四、小結(jié)概率論概率論 練習(xí)題練習(xí)題二二. 設(shè)設(shè)在在 15 只只同同類類型型零零件件中中有有 2 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽樣樣，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只數(shù)數(shù)， （1）求求 X 的的分

23、分布布律律， （2）畫畫出出分分布布律律的的圖圖形形。一一. 一一袋袋中中有有 4 只只乒乒乓乓球球，編編號號為為 1、2、3、4、在在其其中中同同時時取取三三只只，以以 X 表表示示取取出出的的三三只只球球中中的的最最大大號號碼碼，寫寫出出隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X 的的分分布布律律概率論概率論 三三、一一籃籃球球運(yùn)運(yùn)動動員員的的投投籃籃命命中中率率為為 45%，以以 X 表表示示他他首首次次投投中中時時累累計計已已投投籃籃的的次次數(shù)數(shù)，寫寫出出 X 的的分分布布律律，并并計計算算 X 取取偶偶數(shù)數(shù)的的概概率率。四、一大樓裝有四、一大樓裝有 5 個同類型的供水設(shè)備，個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任

24、一時刻調(diào)查表明在任一時刻 t 每個設(shè)備使用的概率每個設(shè)備使用的概率為為 0.1，問在同一時刻，問在同一時刻（1）恰有）恰有 2 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少有） 至少有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有） 至多有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少） 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？概率論概率論 解解：4 , 3 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 一一. 一一袋袋中中有有 4 只只乒乒乓乓球球，編編號號為為 1、2、3、4、在在其其中中同同時時取取三三只只，以以 X 表表示示取取出出的的三三只只球球中中的的最最大大號號碼碼，寫寫出出隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X 的的分分布布律律概率論概率論 二二. 設(shè)設(shè)在在 15 只只同同類類型型零零件件中中有有 2 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽樣樣，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只數(shù)數(shù)， （1）求求 X 的的分分布布律律， （2）畫畫出出分分布布律律的的圖圖形形。解解：2 , 1 , 0 XX的所有可能取值為：的所有可能取值為：0 XP315313CC 352