示范教案(131單調(diào)性與最大(小)值第2課時(shí))

1、示范教案（1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第2課時(shí)）導(dǎo)入新課思路1.某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m2的矩形新廠址,新廠址的長為x m，則寬為m，所建圍墻ym，假如你是這個(gè)工廠的廠長,你會(huì)選擇一個(gè)長和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短?學(xué)生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y=2(x+),x0的最小值.引出本節(jié)課題：在生產(chǎn)和生活中，我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問題，這些最值對(duì)我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的.那么什么是函數(shù)的最值呢?這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題.用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)

2、解決問題.思路2.畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？f(x)=-x+3；f(x)=-x+3,x-1,2；f(x)=x2+2x+1;f(x)=x2+2x+1,x-2,2.學(xué)生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值.推進(jìn)新課新知探究提出問題如圖1-3-1-11所示，是函數(shù)y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的圖象.觀察這三個(gè)圖象的共同特征.圖1-3-1-11函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的?問題1中，在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x,y)，如圖1-3-1-12所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x

3、0,y0)，誰能用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋：函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C？圖1-3-1-12在數(shù)學(xué)中，形如問題1中函數(shù)y=f(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)y=f(x)的最大值.誰能給出函數(shù)最大值的定義？函數(shù)最大值的定義中f(x)M即f(x)f(x0)，這個(gè)不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)？其圖象又具有什么特征？函數(shù)最大值的幾何意義是什么？函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)有最大值嗎？為什么？點(diǎn)(-1,3)是不是函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)的最高點(diǎn)？由這個(gè)問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？討論結(jié)果:函數(shù)y=-x2-2x圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y=-2x+1,x-1,+)圖象有最

4、高點(diǎn)B，函數(shù)y=f(x)圖象有最高點(diǎn)C.也就是說,這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn).函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小.圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.由于點(diǎn)C是函數(shù)y=f(x)圖象的最高點(diǎn)，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方，即對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是對(duì)函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意x，均有f(x)f(x0)成立.一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(

5、x)的最大值.f(x)M反映了函數(shù)y=f(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M；這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn)，并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M.函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).函數(shù)y=-2x+1,x(-1,+)沒有最大值，因?yàn)楹瘮?shù)y=-2x+1,x(-1,+)的圖象沒有最高點(diǎn).不是，因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒有1.討論函數(shù)的最大值，要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最高點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最大值，最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).提出問題類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.類比問題9，你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么？活動(dòng)：讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來類比定義.最高點(diǎn)類比最低點(diǎn)，符號(hào)不等號(hào)“”類比

6、不等號(hào)“”.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.討論結(jié)果：函數(shù)最小值的定義是:一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).討論函數(shù)的最小值，也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最低點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最小值，最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).應(yīng)用示例思路1例1求函數(shù)y=在區(qū)間2，6上的最大值和最小值.活動(dòng)：先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，才提示：圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是

7、函數(shù)的最小值.根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值.利用變換法畫出函數(shù)y=的圖象，只取在區(qū)間2，6上的部分.觀察可得函數(shù)的圖象是上升的.解：設(shè)2x1x26,則有f(x1)-f(x2)=2x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函數(shù)y=在區(qū)間2，6上是減函數(shù).所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=在區(qū)間2，6上取得最大值f(2)=2；當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)y=在區(qū)間2，6上取得最小值f(6)= .變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=x2-2x(x-3,2)的最大值和最小值_.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函數(shù)f(x)=x

8、4+2x2-1的最小值是.分析：（換元法）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.設(shè)x2=t，y=t2+2t-1(t0)，又當(dāng)t0時(shí)，函數(shù)y=t2+2t-1是增函數(shù)，則當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)y=t2+2t-1(t0)取最小值1.所以函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是1.答案：-13.畫出函數(shù)y=x22|x|3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值.分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，先畫出y軸右側(cè)的圖象，再對(duì)稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)圖象如圖1-3-1-13所示.圖1-3-1-13由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降

9、的，最高點(diǎn)是(1,4)，故函數(shù)在（，1），0，1上是增函數(shù)；函數(shù)在1，0，（1，）上是減函數(shù)，最大值是4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及最值的求法.求函數(shù)的最值時(shí)，先畫函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調(diào)性寫出最值，這種方法適用于做解答題.單調(diào)法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).例2“菊花

10、”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？活動(dòng)：可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò).并對(duì)學(xué)生的板書及時(shí)評(píng)價(jià).將實(shí)際問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值.“煙花沖出去后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1 m）”就是函數(shù)h(t)=-4.9t

11、2+14.7t+18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此時(shí)自變量t的值.解：畫出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象，如圖1-3-1-14所示，顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆炸的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距離地面的高度.圖1-3-1-14由二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我們有：當(dāng)t=1.5時(shí)，函數(shù)有最大值,即煙花沖出去后1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約是29m.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.解應(yīng)用題步驟是審清題意讀懂題

12、；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；歸納結(jié)論.注意：要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練1.2006山東菏澤二模，文10把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是( )A.cm2 B.4cm2C.3cm2 D.2cm2解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4-x) cm，兩個(gè)三角形的面積和為S，則S=x2+(4-x)2=(x-2)2+22.當(dāng)x=2時(shí)，S取最小值2m2.故選D.答案：D2.某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗(yàn)，若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí)，每天可銷售60件，

13、現(xiàn)在采用提高銷售價(jià)格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取利潤最大，并求出最大利潤.分析：設(shè)未知數(shù)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答.利潤（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷售量.解：設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí)，利潤為y元，則y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)，y有最大值160元，即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤160元.思路2例1已知函數(shù)f(x)=x+,x0，（1）證明當(dāng)0x0的最小值.活動(dòng)：學(xué)生思考判斷函數(shù)單調(diào)性

14、的方法，以及函數(shù)最小值的含義.（1）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的最小值.（1）解：任取x1、x2（0，+）且x1x2，則f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x20.當(dāng)0x1x21時(shí)，x1x2-10，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即當(dāng)0x0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù).（2）解法一：由（1）得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x+,x0取最小值.又f(1)=2，則函數(shù)f(x)=x+,x0取最小值是2.解法二：借助于計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)f(x)=x+,x0的圖象，如圖1-3

15、-1-15所示，圖1-3-1-15由圖象知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x+,x0取最小值f(1)=2.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值.定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是“去比賽”；三個(gè)步驟缺一不可.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值的步驟：先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).這種求函數(shù)最值的方法稱為單調(diào)法.圖象法求函數(shù)的最值的步驟：畫出函數(shù)的

16、圖象，依據(jù)函數(shù)最值的幾何意義，借助圖象寫出最值.變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=（x0）的最大值.解析:可證明函數(shù)y=（x0）是減函數(shù)，函數(shù)y=（x0）的最大值是f(0)=3.2.求函數(shù)y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（圖象法）y|x+1|+|x-1|=其圖象如圖1-3-1-16所示.圖1-3-1-16由圖象得，函數(shù)的最小值是2，無最大值.解法二：（數(shù)形結(jié)合）函數(shù)的解析式y(tǒng)=|x+1|+|x-1|的幾何意義是：y是數(shù)軸上任意一點(diǎn)P到1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B的距離的和，即y=|PA|+|PB|,如圖1-3-1-17所示，圖1-3-1-17觀察數(shù)軸,可得|PA|+|PB|AB|=2，即函數(shù)有最小

17、值2，無最大值.3.2007天利高考第一次全國大聯(lián)考（江蘇卷），11設(shè)0x1,則函數(shù)y=+的最小值是.分析：y=,當(dāng)0x400時(shí)，f(x)=60000-100x是減函數(shù);又f(x)60000-1004003時(shí)，函數(shù)y=28-m是減函數(shù)，所以當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)y=28-m取最大值21（萬元）.拓展提升問題：求函數(shù)y=的最大值.探究：(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象，如圖1-3-1-18所示，圖1-3-1-18故圖象最高點(diǎn)是(,).則函數(shù)y=的最大值是.(方法二)函數(shù)的定義域是R，可以證明當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y=是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y=是減函數(shù).則當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=取最大值,即函數(shù)y=的最大值是.(

18、方法三)函數(shù)的定義域是R，由y=,得yx2+yx+y-1=0.xR，關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0必有實(shí)數(shù)根，當(dāng)y=0時(shí)，關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0無實(shí)數(shù)根，即y=0不屬于函數(shù)的值域.當(dāng)y0時(shí)，則關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，則有=(-y)2-4y(y-1)0.0y.函數(shù)y=的最大值是.點(diǎn)評(píng)：方法三稱為判別式法，形如函數(shù)y=(d0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R（此時(shí)e2-4df0時(shí)，函數(shù)y=kx的最大值為f(b)kb，最小值為f(a)ka；當(dāng)k0）上存在最值，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=的最大值為f(a)，最小值為f(b)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的最大值為f(n)=kn+b，最小值為f(m)km+b；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最小值f()=，無最大值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c在定義域R上有最大值f()=，無最小值.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況：(1)若p，則f(x)在區(qū)間p，q上是增函數(shù)，則f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).(2)若pq，則