本章復(fù)習(xí)與小結(jié)

1、2.1.1 矩陣的概念矩陣的概念1.矩陣的概念，零矩陣，行矩陣，列矩陣矩陣的概念，零矩陣，行矩陣，列矩陣;2.矩陣的表示；矩陣的表示；3.相等的矩陣相等的矩陣;2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法二階矩陣與平面列向量的乘法1.二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則;2.理解矩陣對(duì)應(yīng)著向量集合到向量集合的映射理解矩陣對(duì)應(yīng)著向量集合到向量集合的映射;3.待定系數(shù)法是由原象和象確定矩陣的常用方法待定系數(shù)法是由原象和象確定矩陣的常用方法.2.1 2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量1,3形形如如 80 90,60 8523324m的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為的矩形數(shù)字（或字

2、母）陣列稱為矩陣矩陣.通常用通常用大寫黑大寫黑體體的拉丁字母的拉丁字母A、B、C表示，或者用表示，或者用(aij)表示，其表示，其中中i,j 分別表示元素分別表示元素aij 所在的行與列所在的行與列. 同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的做矩陣的行行，同一豎排中按原來次序排列的一行數(shù)，同一豎排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的（或字母）叫做矩陣的列列. 組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣的組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣的元素。元素。13 80 9060 8523324m2 1矩矩陣陣2 2 矩矩陣陣2 3矩矩陣陣0所

3、所有有元元素素均均為為 的的矩矩陣陣叫叫做做0 0矩矩陣陣. .,. 對(duì)對(duì)于于兩兩個(gè)個(gè)矩矩陣陣 、 的的行行數(shù)數(shù)與與列列數(shù)數(shù)分分別別相相等等，且且對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)位位置置上上的的元元素素也也分分別別相相和和時(shí)時(shí)，記記等等才才相相等等作作ABBAAB111112211111121111122121,規(guī)規(guī)定定：行行矩矩陣陣與與列列矩矩陣陣的的乘乘法法法法則則為為baabbaaababb01112212200110120111221220210220.xaabbyxaxayaabbybxby 二二階階矩矩陣陣與與列列向向量量的的乘乘法法規(guī)規(guī)則則為為( , ),(,),( , ),).一一般般地地，對(duì)對(duì)于于平

4、平面面上上的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)（向向量量）若若按按照照對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)法法則則 ，總總能能對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)唯唯一一的的一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)向向量量）（則則稱稱 為為一一個(gè)個(gè)變變換換，簡簡記記為為：（，或或：x yTx yTT x yx yxxTyy , , ,).一一般般地地，對(duì)對(duì)于于平平面面向向量量的的變變換換 ，如如果果變變換換規(guī)規(guī)則則為為：那那么么，根根據(jù)據(jù)二二階階矩矩陣陣與與向向量量的的乘乘法法規(guī)規(guī)則則可可以以改改寫寫為為 ：的的矩矩陣陣形形式式，反反之之亦亦然然（TxxaxbyTyycxdyxxa bxTyycdya b c dR 坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換的的形形式式矩矩陣陣乘乘法法的的形形式式兩兩種種形形

5、式式形形異異而而質(zhì)質(zhì)同同.由由矩矩陣陣確確定定的的變變換換 ，通通常常記記為為根根據(jù)據(jù)變變換換的的定定義義，它它是是平平面面內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)集集到到其其自自身身的的一一個(gè)個(gè)映映射射. .MMTT .當(dāng)當(dāng)表表示示某某個(gè)個(gè)平平面面圖圖形形 上上的的任任意意點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，這這些些點(diǎn)點(diǎn)就就組組成成了了圖圖形形 ，它它在在的的作作用用下下，將將得得到到一一個(gè)個(gè)新新的的圖圖形形原原象象集集 的的象象集集MxFyFTFF 2.2.1 恒等變換恒等變換2.2.2 伸壓變換伸壓變換2.2.3 反射變換反射變換2.2.4 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換2.2.5 投影變換投影變換2.2.6 切變變換切變變換2.2 2.2 幾種常見的平

6、面變換幾種常見的平面變換恒等變換矩陣恒等變換矩陣( (單位矩陣單位矩陣):): 恒等變換恒等變換: : 對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣 對(duì)應(yīng)的變換,都把自己變成自己。這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣恒等變換矩陣( (單位矩單位矩陣陣).).1001 恒等變換矩陣實(shí)施的對(duì)應(yīng)變換稱為恒等變換矩陣實(shí)施的對(duì)應(yīng)變換稱為恒等變換恒等變換。二階單位矩陣一般記為二階單位矩陣一般記為E垂直伸壓變換矩陣：垂直伸壓變換矩陣： 伸壓變換：伸壓變換： 將平面圖形作沿將平面圖形作沿y y軸方向伸長或壓縮軸方向伸長或壓縮, ,或或作沿作沿x x軸方向伸長或壓縮的變換矩陣軸方向伸長或壓縮的變換矩陣, ,通常稱通常稱做沿

7、做沿y y軸或軸或x x軸的軸的垂直伸壓變換矩陣垂直伸壓變換矩陣. . 伸壓變換矩陣對(duì)應(yīng)的變換稱為伸壓變換矩陣對(duì)應(yīng)的變換稱為垂直伸壓垂直伸壓變換變換, ,簡稱簡稱伸壓變換伸壓變換. . 10102M2001N 一般地，稱形如一般地，稱形如M1,M2,M3,M4,M5這這樣的矩陣為樣的矩陣為反射變換矩陣反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換，對(duì)應(yīng)的變換叫做叫做反射變換反射變換，其中（，其中（2）叫做）叫做中心反中心反射射，其余叫，其余叫軸反射軸反射.其中定直線叫做其中定直線叫做反射反射軸軸，定點(diǎn)稱為，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn)反射點(diǎn).MM(l1 l2b b) l1MM l2MMb b 上式表明，在矩陣上式表明，在矩陣MM

8、的作用下，直線的作用下，直線l l1 1 ll2 2b b 變成直線變成直線 l l1 1MM ll2 2MMb. b. 這種把直線變成直線的變換，通常叫做這種把直線變成直線的變換，通常叫做線性變換線性變換。 反之，平面上的線性變換可以用矩陣來反之，平面上的線性變換可以用矩陣來表示，但二階矩陣不能刻畫所有平面圖形的表示，但二階矩陣不能刻畫所有平面圖形的性變換。性變換。xaxbyycxdy(即形如即形如 的幾何變換叫的幾何變換叫做線性變換做線性變換)旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換矩陣矩陣 通常叫做通常叫做旋轉(zhuǎn)變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換矩陣.cossinsincos對(duì)應(yīng)的變換稱做對(duì)應(yīng)的變換稱做旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換.其中的角其

9、中的角 做做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角.點(diǎn)點(diǎn)O叫做叫做旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心. 旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的位置，不會(huì)旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的位置，不會(huì)改變幾何圖形的形狀改變幾何圖形的形狀.圖形的旋轉(zhuǎn)由圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心和和旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)角度決定決定. (1)投影變換的幾何要素投影變換的幾何要素: 投影方向投影方向, 投影到的某條直線投影到的某條直線L. (2)投影變換矩陣能反映投影變換的幾何要素投影變換矩陣能反映投影變換的幾何要素 (3)與投影方向平行的直線投影于與投影方向平行的直線投影于L的情況是某個(gè)點(diǎn)的情況是某個(gè)點(diǎn) (4)投影變換是映射投影變換是映射,但不是一一映射但不是一一映射像像 這類將平面內(nèi)圖形投

10、影到某條直線這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線相應(yīng)的變換稱做相應(yīng)的變換稱做投影變換投影變換.(或某個(gè)點(diǎn)或某個(gè)點(diǎn))10001010上的矩陣上的矩陣,我們稱之為我們稱之為投影變換矩陣投影變換矩陣,投影變換投影變換平移平移|ky|個(gè)單位個(gè)單位:當(dāng)當(dāng)ky0時(shí)，沿時(shí)，沿x軸正方向移動(dòng)；軸正方向移動(dòng)；當(dāng)當(dāng)ky0)， 或者或者方向相反方向相反(l l0).特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)l l=0時(shí)，特征向量被變換成了時(shí)，特征向量被變換成了0向量向量.2.5 2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)a bc d設(shè)矩陣設(shè)矩陣A ，l lR，我們把行列式我們把行列式稱為稱為A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式。2( )()abfadadbccdlllll分析表明，如果分析表明，如果l l是矩陣是矩陣A A的特征值，則的特征值，則f (l)0 (l)0此時(shí)，將此時(shí)，將l l代入方程組代入方程組( (* *) )，得到一組非零解，得到一組非零解00 xy即即 為矩陣為矩陣A的屬于的屬于l l的一個(gè)特征向量的一個(gè)特征向量. .00 xy 如果如果 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值l l的一個(gè)特征向的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)量，則對(duì)任意的非零常數(shù)t，