二次型在二次曲面研究中的應(yīng)用ppt課件

1、 前面所講的二次曲面，它們的方程都是特殊前面所講的二次曲面，它們的方程都是特殊 形式，稱為二次曲面的規(guī)范方程，而二次曲面的形式，稱為二次曲面的規(guī)范方程，而二次曲面的 一般方程為：一般方程為：0222321231312233222211 czbybxbyzaxzaxyazayaxa1其中其中 )3 , 2 , 1,(, jicbaiij都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù).我們記我們記,),(,),(321TTbbbbzyxx 333231232221131211aaaaaaaaaA其中其中jiijaa 利用二次型的表示方法，方程利用二次型的表示方法，方程1可表示成以下形式：可表示成以下形式：0 cxbAxxTT2

2、 為研究一般二次曲面的性態(tài)，我們需將二次為研究一般二次曲面的性態(tài)，我們需將二次曲面的一般方程轉(zhuǎn)化為規(guī)范方程，為此分兩步進(jìn)曲面的一般方程轉(zhuǎn)化為規(guī)范方程，為此分兩步進(jìn)行行.第一步，第一步，利用正交變換利用正交變換x = Py 將方程將方程2左左邊的二次型邊的二次型xTAx的部分化成規(guī)范形：的部分化成規(guī)范形：213212211zyxAxxT 其中其中P為正交矩陣，為正交矩陣，y =(x1, y1, z1)T,相應(yīng)地有相應(yīng)地有 131211zkykxkyPbPybxbTTT 于是方程于是方程(2)可化為可化為0131211213212211 czkykxkzyx(3)第二步第二步, 作平移變換作平移變

3、換,0yyy 將方程將方程(3)化為規(guī)范方程化為規(guī)范方程, 其中其中, ),(zyxy 這里只要用這里只要用配方法就能找到所用的平移變換配方法就能找到所用的平移變換.以下對(duì)以下對(duì)(1)當(dāng)當(dāng)是否為零進(jìn)展討論是否為零進(jìn)展討論:321,時(shí)時(shí)0321 用配方法將方程用配方法將方程(3)化為化為規(guī)范方程規(guī)范方程:dzyx 232221(6-1)根據(jù)根據(jù)321,與與d 的正負(fù)號(hào)，可詳細(xì)確定方程的正負(fù)號(hào)，可詳細(xì)確定方程6-1表示什么曲面表示什么曲面.例如例如321,與與d 同號(hào)，同號(hào)，那么方程那么方程6-1表示橢球面表示橢球面.2當(dāng)當(dāng)321,中有一個(gè)為中有一個(gè)為0，設(shè)，設(shè)03 方程方程3可化為：可化為：)(

4、032221 zzkyx)(032221 kdyx(6-2)(6-3)根據(jù)根據(jù)21,與與d 的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào), 可詳細(xì)確定方程可詳細(xì)確定方程(6-2)(6-3)表示什么曲面表示什么曲面. 例如當(dāng)例如當(dāng)21,同號(hào)時(shí)同號(hào)時(shí), 方程方程(6-2)表示橢圓拋物面表示橢圓拋物面. 當(dāng)當(dāng)21,異號(hào)時(shí)異號(hào)時(shí), 方程方程(6-2)表示雙曲拋物面表示雙曲拋物面, (6-3) 表示柱面表示柱面.(3) 當(dāng)當(dāng)321,中有兩個(gè)為中有兩個(gè)為0 , 無妨設(shè)無妨設(shè),032 方程方程(3) 可化為以下情況之一可化為以下情況之一:),()(0021 qpzqypxa此時(shí)此時(shí), 再作新的坐標(biāo)變換再作新的坐標(biāo)變換:2222qpzp

5、yqzqpzqypyxx (實(shí)際上是繞實(shí)際上是繞x軸的旋轉(zhuǎn)變換軸的旋轉(zhuǎn)變換),方程可化為方程可化為:02221 yqpx表示拋物柱面表示拋物柱面;)()(0021 pypxb表示拋物柱面表示拋物柱面;)()(0021 qzqxc表示拋物柱面表示拋物柱面;.)(坐坐標(biāo)標(biāo)面面表表示示，同同號(hào)號(hào)，圖圖形形無無實(shí)實(shí)點(diǎn)點(diǎn)，若若與與平平行行平平面面；若若異異號(hào)號(hào)，表表示示兩兩個(gè)個(gè)與與若若yozddddxd001121 例例13 二次曲面由以下方程給出二次曲面由以下方程給出, 通過坐標(biāo)通過坐標(biāo)變換變換, 將其化為規(guī)范型，并說明它是什么曲面將其化為規(guī)范型，并說明它是什么曲面.010122444432222 z

6、yxyzxyzyx解解 將二次曲面的一般方程寫成矩陣形式：將二次曲面的一般方程寫成矩陣形式：010 xbAxxTT， zyxx， 1224b 420232022A)(6318923 EAA 的特征值為的特征值為,036321 分別求出分別求出它們所對(duì)應(yīng)的特征向量，并將它們規(guī)范正交化：它們所對(duì)應(yīng)的特征向量，并將它們規(guī)范正交化：, 3232311p, 3231322p 3132323p取取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 那么那么 P 為正交矩陣為正交矩陣. 作正交變換作正交變換x = Py , 其中其中 ,Tzyxy111 那么有那么有:212136yxxAxT 111868zyxy

7、PbbTT )(因而因而, 原方程可化為原方程可化為:010868361112121 zyxyx配方得配方得:0721781338612121 )()()(zyx令令7217138111 zzyyxx,那么原方程化為規(guī)范方程那么原方程化為規(guī)范方程:083622 zyx該曲面為橢圓拋物面該曲面為橢圓拋物面. 例例14 將二次曲面將二次曲面 z = x y 的方程化為規(guī)范的方程化為規(guī)范方程方程, 并說明它是什么曲面并說明它是什么曲面. 解解z = x y 可寫成可寫成 xy z = 0 , 令令, zyxx該曲面方程用矩陣形式表示為該曲面方程用矩陣形式表示為: 00000210210A, 100b

8、0 xbxAxTT)(2121 EAA的特征值為的特征值為,02121321 分別分別求出它們所對(duì)應(yīng)的特征向量求出它們所對(duì)應(yīng)的特征向量, 并單位化得并單位化得:, 021211p, 021211p 1003p取取P= ( p1 , p2 , p3 ) ，那么，那么P為正交矩陣為正交矩陣. 作正交變換作正交變換x = Py , ,Tzyxy111 那么有：那么有：21212121yxxAxT 11110100212102121100zzyxxbT ,因而，所給二次曲面化成規(guī)范方程為：因而，所給二次曲面化成規(guī)范方程為：0212112121 zyx即即212112121yxz 表示雙曲拋物面馬鞍面表

9、示雙曲拋物面馬鞍面. x1y1z( z )oxy圖圖6.18注：注： 所作的正交變換實(shí)際上是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，所作的正交變換實(shí)際上是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，z軸不動(dòng)，逆軸不動(dòng)，逆z 軸方向看去，軸方向看去，x 軸，軸，y 軸順時(shí)針方向軸順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)45 0角角.例例15求求 xoy 面上的橢圓面上的橢圓1222 cybxyax的面積的面積. 其中其中a 0 ,2bac 0 . 解解設(shè)二次型設(shè)二次型222ycbxyxayxf ),(其系數(shù)矩陣其系數(shù)矩陣 , cbbaT由于由于a 0 , cbba2bac 0 , 知知T 正定正定,故特征值全大于故特征值全大于0,其特征多項(xiàng)式為其特征多項(xiàng)式為:22baccacbbaTE )(特征方程有兩個(gè)正