新人教版2020年中考數(shù)學二輪復習專題練習下幾何最值問題

1、幾何最值問題1 .如圖，點A的正方體左側面的中心，點 B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2,只螞蟻從點A沿其表面爬到點 B的最短路程是（）11a. 3b-2 2c. ,10D. 4答案：C解析：將正方體展開，連接 AB,根據(jù)兩點之間，線段最短，可知AB就是最短路徑；過點A做AM垂直于正方形的邊長，垂足是點 M ,根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理知：AB - AM 2 BM2 12 32.102.如圖，正方體盒子的棱長為2,BC的中點為M ,一只螞蟻從M點沿正方體的表面爬到D1點，螞蟻爬行的最短距離是 （）a17b. 3c. .13D. 2 5答案：C解析：將正方體展,開如圖所示，連接 DiM ,根

2、據(jù)兩點之間，線段最短，知DiM就是最短路徑；在 Rt DiDM 中，DM3,DDi 2 ,故：DiM JdM_DD? Vl353.如圖，A是高為10 cm的圓柱底面圓上一點，一只蝸牛從A點出發(fā)，沿30角繞圓柱側面爬行，當他爬到頂上時，他沿圓柱側面爬行的最短距離是（）a. 10cmb. 20cmc. 30cmd. 40cm答案：BAB是要求的最短路徑，根據(jù)30角直角三角形的性質(zhì)得：AB 20cm解析：將圓柱延點 A處展開如下圖，根據(jù)兩點之間，線段最短，可知4.已知如圖，直角梯形 ABCD 中，AD PBC , AB BC , AD 2, BC DC 5,點P在BC上移動，則當PA PD取最小值時

3、，APD中邊AP上的高為CPA. 8B. 10c 2.17D.8,行17答案：D一. . .一 _解析：過點D作DM BC于點M ,作點A關于點B的對稱點A ,連接A D交BC于點P；. AD PBC , AB BC ，四邊形ABMD是矩形. AD BM 2,AB DM在 Rt CDM 中，CM 3,CD 5由勾股定理知： AB DMcd2 CM 2 4在 Rt AAD 中，AD 2,AA 8,由勾股定理得： AD . AD2 AA'22.17. AB DMABP 二 DMPAP DP.'_ 一AP AP故 AP 、171 _ _1 _ _在 APD 中，-APgDN - AD

4、gDMAP5.如圖，在ABC中，AB 15, AC 12, BC 9,經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點 E、F ,則線段EF長度的最小值是（C FAA.12B.365C.15D. 8答案：B解析：取EF的中點O,取圓與直線AB的切點為M ,連接OC、OM. AB 15, AC 12, BC 9._ 2_ 22BC AC AB由勾股定理知，ABC是直角三角形在EFC中，。是EF的中點，1 OC EF2又 OC OMEF OC OM當點C、O、M三點共線且CM垂直于AB時，EF最小ACgBC 36EF CM -AB 56.如圖所示，正方形ABCD的面積為12, ABE是等邊三角

5、形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD PE的和最小，則這個最小值為（）A. 2,3B. 2,6c. 3D. 6答案：A解析：四邊形ABCD是正方形點D關于直線AC的對稱點是點BPD PE PB PE根據(jù)兩點之間，線段最短，當 B、P、E三點共線時PD PE最小，等于BE ABE是等邊三角形BE AB 2.37.如圖，.在銳角 ABC中，AB 4J2, BAC 45°, BAC的平分線交BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，則BM MN的最小值是.a一w月4答案：4解析：過點B作BG AC于點G AD是 BAC的角平分線，點N關于AD的對稱點N正好落在AC

6、上，連接MNBM MN BM MN根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，知 BM MN的最小值就是BGBG -2 AB -2 4,2 4 228.已知邊長為a的正三角形 ABC ,兩頂點A B分別在平面直角坐標系的 x軸、y軸的正半軸上滑動，點 C在第一象PM,連結 OC ,則OC的長的最大值是A.2)aB.1 -aC.、3 1 a2D.2a答案：C解析:B取AB的中點P,連接OP、PC11% 3、,3在 Rt AOB 中，OP -AB a, PC AC a 2222根據(jù)三角形三邊性質(zhì)，OC OP PC當OC OP PC （此時點O、P、C三點共線）時，OC最大OC AJa 29.如圖，在平面直角坐

7、標系中，Rt OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點 B的坐標為（3 ,5,點C的坐標為（1 , 0）,點P為斜邊OB上的一動.點，則PA+ PC的2最小值為（）.,31B. 23 J9C. 2D）, 2.7答案：B解析：如圖，作A關于OB的對稱點D ,連接CD交OB于P ,連接AP,過D作 DN OA于N ,則此時PA+ PC的值最小.#. DP PA ,PA+ PC PD+PC CD . . AB V3, OA 3 , B 60由勾股定理得：OB 2J3.一11由三角形面積公式得：一OA ABOB AM,221 1即3 3 2、,3 AM2233AM . AD 2 3.22AMB 90 ,

8、B 60BAM 30BAO 90OAM 6013DN OA , NDA 30 , AN AD 22由勾股定理得：DN32 (|)23.3_ 1-1 3C( ,0), . CN 3 1.22 2在RtVDNC中，由勾股定理得:DC1331即PA+ PC的最小值是-一.2所以應選B.10.已知菱形 ABCD的兩條對角線分別為 6和8, M、N分別是邊BC、CD的中點, P是對角線BD上一點，則PM PN的最小值=.答案：5解析:作M關于BD的對稱點Q ,連接NQ ,交BD于P,連接MP ,此時MP NP的值最小，連接AC ,四邊形ABCD是菱形,.AC BD, QBP MBP,即Q在AB上,. M

9、Q BD ,AC / MQ , M為BC中點，. Q為AB中點， N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，BQ/ CD , BQ CN ,，四邊形BQNC是平行四邊形，NQ BC ,四邊形ABCD是菱形， CO AC 3 , BO BD 4 ,在RtVBOC中，由勾股定理得： BC 5,即 NQ 5,. MP NP QP NP QN 5,故答案為：5.11. (1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P,使AP BP的值最 小，做法如下：作點 B關于直線 m的對稱點B ,連接AB ,與直線 m的交點就是所求的 點P,線段AB的長度即為AP BP的最小值.如圖（2）：在等邊三

10、角形.ABC中，AB 2,點E是AB的中點，AD是高，在AD上 找一點巳使BP PE的值最小，做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求 的點P,故BP PE的最小值是多少？（2）實踐運用如圖（3）：已知e O的直徑CD為2 , Ac的度數(shù)為60，點B是Ac的中點，在直徑CD上作出點P,使BP AP的值最小，則BP AP的值最小，則BP AP的最 小值是多少？（3）拓展延伸如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點， ABC 60 , BP 2,分別在邊AB、BC 上作出點M ,點N ,求PMN周長的最小值.如圖（2）, CE的長為BPPE的最小值,.在

11、等邊三角形ABC中,AB 2 ,點E是AB的中點CE AB , BCEBCA 30 , BE 1 ,.CE 擲BE 褥； 故答案為3；（2）實踐運用如圖（3）,過B點作弦BECD ,連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB,BE CD ,. CD平分BE ,即點E與點B關于CD對稱, Ac的度數(shù)為60，點B是AC的中點,BOC30AOC 60EOC30AOE60309017. OA OE 1 AE的長就是BP AP的最小值.故答案為J2；(3)拓展延伸，如圖(4).12 .如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且 AE 3,對角線AC上的動點，則 4BEQ周長的最小值

12、為 .答案：6解析：連接BD , DE ,四邊形ABCD是正方形, 點B與點D關于直線AC對稱,DE的長即為BQ QE的最小值,DE BQ QE , AD2 AE2 、42 32 5, BEQ周長的最小值 DE BE 5 1 6 .故答案為：6.13 .去冬今春，濟寧市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建 一座水泵站，分別向河的同一側張村 A和李村B送水.經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖紙時， 以河道上的大橋 O為坐標原點，以河道所在的直線為2J3軸建立直角坐標系(如圖).兩村的坐標分別為A(2,3), B(12,7).(1)若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋。多遠的

13、地方可使所用輸水管道最 短?答案:(1)作點B關于x軸的對成點E,連接AE,則點E為(12,-7).19設直線AE的函數(shù)關系式為y kx b ,則2k b=3k=1,解得12k b=7b=5. .當BC 0時，2辨5.所以，水泵站建在距離大橋 5千米的地方，可使所用輸水管道最短.（2）作線段AB的垂直平分線GF ,交AB于點F ,交2J3軸于點G ,設點G的坐標 為（2、3,0）.在 RtVAGD中，AG2 AD2 DG2 32 （2向 2）2在 RtVBCG 中，BG2 BC2+ GC2 72+（12 2拘2 . AG BG ,.32 + （26 2）2 72+（12 273）2,解得 x

14、9.所以，水泵站建在距離大橋 9千米的地方，可使它到張村、李村的距離相等14 .如圖，已知直線a / b ,且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2 ,點B到直線b的距離為3, AB 2底.試在直線a上找一點M ,在直線b上找一點N ,滿足MN a且AM MNNB的長度和最短，則此時AM NB ()a. 6B. 8C. 10D. 12答案：B解析：作點A關于直線a的對稱點A ，連接AB交直線b與點N ,過點N作NM 直線a ,連接AM , A到直線a的距離為2 , a與b之間的距離為4AA MN 4 ,四邊形AANM 是平行四邊形,AM NB AN NB AB ,過點B作BE AA ,交

15、AA于點E ,易得 AE 2 4 3 9 , AB 2730, AE 2 3 5在 RtVAEB 中，BE JAB_AE7 J39 ,在 RtAA EB 中，AB Ja E2BE2 8 .故選B.15.下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片（圖 1）的全過程：首先對折，如圖2,折痕CD交AB于點D ；打開后，過點D任意折疊，使折痕DE交BC于 點E,如圖3；打開后，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開后，折痕如圖6.則折痕DE 和AE長度的和的最小值是（）答案：10 解析:31. A_ J_作點A關于點C的對稱點A ,連接AE , ADAE AE. AE DE AE DE .根據(jù)

16、兩點之間線段最短，可知 AE DE的最小值就是AD過點D作DF AC于點F._ _ _ ' '在 RtVADF 中，DF 1, AF 3AD AF2 DF2、1016.如圖，正方形ABCD中，AB8, M是DC上的一點，且DM 2 , N 是 AC上的一動點，求 DN MN的最小值與最大值是（）.解析:找點D關于AC的對稱點，由正方形的性質(zhì)可知， B就是點D關于AC的對稱點，連接 BN、BM ,由 DN MN BN MN BM 可知，當且僅當B、N、M三點共線時，DN MN的值最小，該最小彳1為46 82 10.當點N在AC上移動時，有三個特殊的位置我們要考察：BM與AC的交點

17、，即DN MN取最小值時；當點N位于點A時，DN MN AD AM 8 2歷,當點N位于點C時，DN MN CD CM 8 6 14 .故DN MN的最大值為8 2.17.17.如圖，在等腰RtABC 中，CA CB 3,E的BC上一點，滿足BE 2 ,在斜邊AB上求作一點P使得PCPE長度之和最小是解析:連接BE，易知BE BE 2RtBCE中,CE 、, BC2 BE'2 .1318.如圖,AOB 45 ,角內(nèi)有點P, OP J2,在角的兩邊找兩點 Q、R（均不同于O點），使得 PQR的周長最小，則最小值是答案：2解析:分別做點P關于直線OA,OB的對稱點P,P ,連接PP交OA,

18、OB于點Q,R,連接PQ,PR,此時 PQR的周長最小' " OP OP , AOB 45OP P是等腰直角三角形OP J2. . PP 2PQR的周長最小為219.如圖，菱形 ABCD的兩條對角線分別長6和8,點M、N分別是變AB、BC的中點，在對角線AC求作一點P使得PM PN的值最小，最小值是答案：5解析:作點N關于AC的對稱點N，連接MN交AC于點P,根據(jù)兩點之間線段最短，點P即為所求的點. M ,N分別形邊的中點點N是CD的中點MN AD 520.如圖，設正 ABC的邊長為2, M是AB邊上的中點，P是BC邊上的任意一點,2. 2PA PM的最大值和最小值分別記為

19、s和t.求s t的值.A. 4B. 43c. 5右d. 7 4,3答案：B解析：作點M關于BC的對稱點M ',連接AM '、PM由點M、M '關于BC對稱可知，PM PM '.故 PA PM PA PM ' AM'當且僅當A、P、M '共線時，等號成立，故t2 (AM ')2另外兩個臨界位置在點 B和點C處.當點P位于點C處時，PA PM AC CM 2 J3；當點P位于點B處時，PA PM AB BM 3.故 s2 (2 畫 7 4后,s2 t2 4g.本題也可作點A關于BC的對稱點A',連接A'M、PA'.21 .如圖