北京四中2012017學(xué)年高一下期中數(shù)學(xué)試卷解析版

1、2016-2017學(xué)年北京四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1 .不等式x2+x2>0的解集為（）A.x|x<2或x>1B.x|-2<x<1C.x|x<1或x>2D.x|-1<x<22 .在ABC中，a2=b2+c2bcWJA等于（）A.450B.120.600D.30°3 .&是等差數(shù)列an的前n項和，如果S0=120,那么a1+a10的值是（）A.12B.36C.24D.484 .對于任意實數(shù)a、b、c、d,下列命題中，真命題為（）若a>b,cw0,貝Uac>b

2、c；若a>b,則ac?>bc2；若ac?>bc2,則a>b；若a>b,則工abA.B.C.D.5 .在ABC中，若a=2,b=2%后，A=30°,貝U8為（）A.600B.60°或120°C.30°D.30°或150°6 .已知等差數(shù)列an的公差為2,若a1，a3和a4成等比數(shù)列，則a1可以等于（）A.-4B.-6C.-8D.-10>27 .已知實數(shù)x、y滿足約束條件，y>2,則z=2x+4y的最大值為（）肝y<6A.24B.20C.16D.128 .在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）x2

3、x+2A-y=2+7B.y=聲（x>0）-1,冗、-XrxC.y=sinx+-r-,x（0,）D.y=7+73J.£11塞.u9 .如圖所示，CD、A三點在同一水平線上，AB是塔的中軸線，在C、D兩處測得塔頂部B處的仰角分別是a和B,如果C、D間的距離是a,測角儀高為b,則塔圖為(3A"丁吁廣.BA.,.1Bac口與Qpcos(8a)D"Fsin(B-。)10 .設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是(A.若ai+a2>0,則az+a3>0B.若ai+a3<0,則ai+a2<0C.若0<ai<a2,則a2氣D.若ai<

4、0,則(氏ai)(a2a3)>0二、填空題：(本大題共6小題，每小題4分，共24分)11 .在4ABC中，a=3,b=&，/A=W=,則/B=.12 .數(shù)歹1an的刖n項和Sn=2an-3(nCN),貝Ua5=.13 .如果c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中：ab>ac；c(b-a)>0；cb2<ab2；ac(a-c)<0,不一定成立的是(填序號).14 .設(shè)x,yCR+,且?i足4x+y=40,則lgx+lgy的最大值是.在in7A15 .在ABC中，a=4,b=5,c=6,貝U-7-=.sinCSn7n+9Qo+arjri16,

5、兩等差數(shù)列an和bn,前n項和分別為Tn,且/£仔，則k訃Ln計JD1&三、解答題(本大題共3小題，共26分)17 .ABC中，BC=7,AB=3,且=|,'''sinB5(1)求AC的長;(2)求/A的大小.18 .若不等式ax2+5x-2>0的解集是&忤<區(qū)<2,(1)求實數(shù)a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.19 .設(shè)an是一個公差為d(dw0)的等差數(shù)列，它的前10項和Sio=110且ai,a2,a4成等比數(shù)列.(1)證明a1二d；(2)求公差d的值和數(shù)列an的通項公式.一、卷(II)選填題：

6、(本大題共6小題，每小題5分，共30分)20 .在R上定義運算。：aOb=ab+2a+b,則滿足x。(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍為.21 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若a二1,松=4S,則a4=.22 .若銳角ABC的面積為1帖，且AB=5,AC=8,則BC等于.23 .在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2R貝cosC=()77794A.B.,C二云D-(4乂+3廠254024 .已知O為直角坐標(biāo)系原點，P,Q的坐標(biāo)滿足不等式組r-2y+2<0,則cos,kl>0/POQ的最小值為()A"B.：C.D.0上上士25 .

7、已知數(shù)列A：a1，a2,，an(0<a1<a2<-<an,n>3)具有性質(zhì)P:對任意i,j(1<i<j<n),aj+ai與aj-a兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項、現(xiàn)給出以下四個命題：數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P；數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P；若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0；若數(shù)列a1,a2,a3(0<a1<a2<a3)具有性質(zhì)P,則a+a3=2a2,其中真命題有()A.4個B.3個C.2個D.1個二、解答題：(本大題共2小題，共20分)26 .已知數(shù)列an滿足ai=1,ami?®d&,設(shè)bn=,nN*.n口n(1

8、)證明bn是等比數(shù)列(指出首項和公比)；(2)求數(shù)列Jlog2bn的前n項和五.27 .已知向量/(sinA,1)與？=(3,sinA+仃cqsA)共線，其中A是4ABC的內(nèi)角.(1)求角A的大?。?2)若BC=Z求ABC面積S的最大值，并判斷S取得最大值時ABC的形狀.2016-2017學(xué)年北京四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1 .不等式x2+x-2>0的解集為（）A.x|x<2或x>1B.x|2<x<1C.x|x<1或x>2D.x|-1<x<2【考點】74：一元二次不等式

9、的解法.【分析】把不等式x2+x-2>0化為（x-1）（x+2）>0,求出解集即可.【解答】解：二.不等式x2+x-2>0化為（x-1）（x+2）>0,解得x<-2或x>1；不等式x2+x-2>0的解集是x|x<-2或x>1.故選：A.2 .在ABC中，a2=b2+c2bcWJA等于(A.450B.120.600D.30°【考點】HR余弦定理.【分析】利用余弦定理即可得出.【解答】解：a2=b2+c2-bc,bc-b2+c2-a2,cosA=2bcbe_1-2bc廣AC(0,180),故選：C.3 .$是等差數(shù)列an的前n項和，如

10、果Si0-12O,那么a1+a10的值是（A.12B.36C.24D.48【考點】85:等差數(shù)列的前n項和.【分析】等差數(shù)列an中，由Si0=12O,知差"(ai+a0)=120,由此能求出ai+ai0.【解答】解：等差數(shù)列an中，.,0=120,(ai+ai0)=120,ai+ai0=24.故選C.4 .對于任意實數(shù)a、b、c、d,下列命題中，真命題為()若a>b,cw0,ac>bc；若a>b,則ac2>bc2；若ac2>bc2,則a>b；若a>b,則-<y-.A.B.C.D.【考點】R3:不等式的基本性質(zhì).【分析】通過舉反例可以得出

11、、不正確，從而排除，由不等式的性質(zhì)可得只有正確.【解答】解：當(dāng)c<0時，不成立；當(dāng)c=0時，不成立；由不等式的性質(zhì)知成立，當(dāng)b=0時，不成立.綜上，只有成立，故選C.5 .在ABC中，若a=2,b=2"R,A=30°,MB為()A.600B.60°或120°C.30°D.30°或150°【考點】HP：正弦定理.【分析】利用正弦定理和題設(shè)中兩邊和一個角的值求得B.sinB=一=一BC(0,180)./B=60°或120°故選B.6 .已知等差數(shù)列an的公差為2,若ai,a3和a4成等比數(shù)列，則a1可以

12、等于()A.-4B,-6C.-8D.-10【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】依題意，(a1+2d)2=a1?(a1+3d),可求得a1.【解答】解：二.等差數(shù)列an的公差d=2,a1，a3和前成等比數(shù)列，(a+2d)2=a1?(a1+3d),2a1d+4d=0,a1=-8,故選：C.>27 .已知實數(shù)x、y滿足約束條件y2,則z=2x+4y的最大值為()肝A.24B.20C.16D.12【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.【分析】畫可行域z為目標(biāo)函數(shù)縱截距四倍畫直線0=2x+4y,平移直線過(0,2)時z有最大值【解答】解：畫可行域如圖，z為目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y,可看成是直線z=2x+4y

13、的縱截距四倍，畫直線0=2x+4y,平移直線過A(2,4)點時z有最大值20故選B.8 .在下列函數(shù)中，最小值是2的是（x2x+2A.y吟孑B.丫=聲*。）D.y=7x+7x八1LCnC.y=sinx+-T-,x(0,sinx2【考點】7F：基本不等式.【分析】由基本不等式成立的條件，逐個選項驗證可得.解：選項A,x正負(fù)不定，不能滿足最小值是2,故錯誤;選項B,k+2對1+1i:.1、6y=K=k“+iw2，一,11一，一，一當(dāng)且僅當(dāng)五直二不工）即x=0時取等號，但x>0,故錯誤;一一一H一選項CxC（0,于），.sinxe（0,1）,y=sin>+-4>2,當(dāng)且僅當(dāng)sinx

14、=-,即sinx=1時取等號，smxsinx但sinxC（0,1）,取不到1,故錯誤；選項D,丫二府一工人今”當(dāng)且僅當(dāng)7'寸即x=0時取等號，故正確.故選：D9.如圖所示，C、D、A三點在同一水平線上，AB是塔的中軸線，在C、D兩處測得塔頂部B處的仰角分別是a和B,如果C、D間的距離是a,測角儀高為b,則塔圖為（）ABsin(6-Q)cos(P-Q.)CbD'cost-Q)'Kn(B-U)【考點】HP：正弦定理；HR余弦定理.【分析】分別在BCD4ABD這兩個三角形中運用正弦定理，即可求解.【解答】解：在BCD中,CD二win/CBDsin/CF二二；sin(口一式.)

15、sin。即BD=.【；在ABD中,AB二BDsin.ZADB-sinZAABBDsin-sin90fl即AB=BD?sinB二一sinkP-Q；則塔高為里喂唔-bsin（卜一,iJ故選：A10 .設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若ai+a2>0,則az+a3>0B.若ai+a3<0,則ai+a2<0C.若0<ai<a2,則a2七D,若ai<0,則(%a"(a?a3)>0【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】對選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論.【解答】解：若ai+a2>0,貝2ai+d>0,a2+a3=2ai+3d&

16、gt;2d,d>0時，結(jié)論成立，即A不正確；若ai+as<0,貝Uai+a2=2ai+d<0,az+a3=2ai+3d<2d,d<0時，結(jié)論成立，即B不正確；an是等差數(shù)列，0<ai<a2,2a2=ai+a3>2-Ja；y,a2>,即C正確;若ai<0,貝(a2ai)(a2a3)=-d2<0,即D不正確.故選：C.二、填空題：(本大題共6小題，每小題4分，共24分)QTTJT11 .在4ABC中，a=3,b=Ve,/A=,則/B_-_.【考點】HP:正弦定理.【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的邊角關(guān)系，即可得到角B.【

17、解答】解：由正弦定理可得，3=3,sinAsinB即有sinB與a2由b<a,則B<A,TT可得B=-.4TT故答案為：.12.數(shù)歹1an的刖n項和Sn=2an-3(nCN),貝Ua5=48.【考點】8E:數(shù)列的求和；8H:數(shù)列遞推式.【分析】把an=Sn-Sn-1代入Sn=2ch-3化簡整理得2(Sni+3)=Sn+3進而可知數(shù)列Sn+3是等比數(shù)列，求得S1+3,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列Sn+3的通項公式，進而根據(jù)a5卓求得答案.【解答】解：弟=與-斗-1,.Sn=2an-3=2(Sn-Sn1)-3整理得2(Sn1+3)=Sn+3.&=2s3,二S1=3.數(shù)列Sn+

18、3是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列Sn+3=6?2n1,Sn=6?2n1-3,.S5=6?24-3一a5=482故答案為4813 .如果c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中：ab>ac；c(b-a)>0；cb2<ab2；ac(ac)<0,不一定成立的是(填序號).【考點】71：不等關(guān)系與不等式.【分析】由題意可得a>0,c<0,應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)判斷即可.【解答】解：由c<b<a,且ac<0,可得a>0,c<0,故、一定成立，但不一定成立，如當(dāng)b=0時，不等式不成立，故答案為：.14 .設(shè)x,yCR+,且

19、?i足4x+y=40,貝Ulgx+lgy的最大值是2.【考點】7F：基本不等式.【分析】利用對數(shù)的運算法則轉(zhuǎn)化成真數(shù)為乘積形式，然后利用基本不等式求最值即可.【解答】解：4x?y<(當(dāng)三)2=400當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=20時取“二”/.xy<100,.lgx+lgy=lgx產(chǎn)lg100=2.故答案為：215.在ABC中，a=4,b=5,c=6,貝7=_1，'''sinC【考點】HR余弦定理；GS二倍角白正弦；HP:正弦定理.【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出結(jié)論.【解答】解：,ABC中，a=4,b=5,c=6,cosC也近爸二1,cosaAM

20、M5,二sinC='',sinA=亞，84”近乂W.sin2A_544-丁=二=18故答案為：1.S7n+?3o+anr16.兩等差數(shù)列和bn,前n項和分別為&,Tn,且=而，叱砧二24【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì);85：等差數(shù)列的前n項和.【分析】在an為等差數(shù)列中,當(dāng)m+n=p+q(m,n,p,qN+)時，am+an=ap+aq.所以結(jié)合此性質(zhì)可得：J加b7+b1521x+編吟5再根據(jù)題意得到答案.21X（L）吟21【解答】解：在an為等差數(shù)列中，當(dāng)m+n=p+q（m,n,p,qCN+）時,am+an=*+aq.a2+a2021X+)”彳所以,"+如52i

21、X(b1+b21)x1pr*'_7n+2又因為-,Q，Tn口+3'a2+a2Q149所以：1d故答案為：嘿.三、解答題（本大題共3小題，共26分）17.ABC中，BC=7；AB=3,且4=1.sine5(1)求AC的長；(2)求/A的大小.【考點】HP:正弦定理；HR余弦定理.【分析】(1)由已知利用正弦定理即可得解AC的值.(2)由已知利用余弦定理可求cosA的值，結(jié)合A的范圍，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【解答】解：(1)由正弦定理名可得：黑旦吧，可得：ACg二sinBsinCACsinB3=5.由余弦定理可得：cosA吟第d篝*弓由于AC(0°,180),可

22、得：A=120°.18.若不等式ax2+5x-2>0的解集是&停(1)求實數(shù)a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.【考點】77:一元二次不等式與一元二次方程；74:一元二次不等式的解法.【分析】(1)由二次不等式的解集形式，判斷出2是相應(yīng)方程的兩個根，利用韋達(dá)定理求出a的值.(2)由(1)我們易得a的值，代入不等式ax2-5x+a2-1>0易解出其解集.【解答】解：(1)二班乂2+5乂2>0的解集是；a<0,2，2是ax2+5x-2=0的兩根解得a=-2；(2)則不等式ax2-5x+a2-1>0可化為-2x2-5x+3&g

23、t;0解得.故不等式ax2-5x+a2-1>0的解集&|-3<x<.a-J19 .設(shè)an是一個公差為d(dw0)的等差數(shù)列，它的前10項和Sio=110且ai,a2,出成等比數(shù)列.(1)證明a1二d；(2)求公差d的值和數(shù)列an的通項公式.【考點】8M:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；85:等差數(shù)列的前n項和.【分析】(1)由已知可得a22=a1?a4,代入等差數(shù)列的通項可轉(zhuǎn)化為(a+d)2=a1?(a1+3d),整理可得(2)結(jié)合(1)且有£1口二工0%+10jd,聯(lián)立方程可求a1，d及弟【解答】(1)證明：因a1，a2,應(yīng)成等比數(shù)列，故a22=aia4而an是

24、等差數(shù)列，有a2=ai+d,a4=ai+3d于是(a1+d)2=a1(a1+3d)即a12+2a1d+d2=a12+3a1d化簡得a1=d(2)解：由條件S10=110ftSIO=lOa14d,得到10a+45d=110由(1),a二d,代入上式得55d=110故d=2,an=a+(n1)d=2n因此，數(shù)列an的通項公式為an=2n一、卷(II)選填題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分)20 .在R上定義運算。：aOb=ab+2a+b,則滿足x。(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(-2,1).【考點】74：一元二次不等式的解法.【分析】根據(jù)題中已知得新定義，列出關(guān)于x的不等式，求出

25、不等式的解集即可得到x的取值范圍.【解答】解：由aOb=ab+2a+b,得至ijx。(x2)=x(x2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0，,(y+2>0,(s+2<0-,分解因式得(x+2)(x-1)<0,可化為二或，解得-2<x<1Ix-l<0|x-l>0所以實數(shù)x的取值范圍為(-2,1).故答案為：(-2,1)21 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為&.若a1=1,松=4S,則a4=3.【考點】89：等比數(shù)列的前n項和；8G：等比數(shù)列的性質(zhì).【分析】根據(jù)&=48可求得q3,進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，得到答案.【解答】解

26、：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則由0=4靜知qw1,0=1"=4。-0.1-qlq-q3=3.aq3=3.故答案為：322 .若銳角ABC的面積為1M,且AB=5,AC=8,則BC等于7.【考點】HS余弦定理的應(yīng)用.【分析】利用三角形的面積公式求出A,再利用余弓g定理求出BC.【解答】解：因為銳角ABC的面積為10/，且AB=5,AC=8,所以5Xgx所以sinA=,La所以A=60°,所以cosA=,所以BC='十二yF：,?=7.故答案為：7.23 .在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2R則cosC=()A7c7cc24A.B.C

27、yD-【考點】HQ:正弦定理的應(yīng)用；GL三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB,cosB然后利用平方關(guān)系式求出cosC的值即可.【解答】解：因為在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分另I是a,b,c,已知8b=5c,C=2B所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBc0slB所以cosB=,B為三角形內(nèi)角，所以B(0,0.C<g.JL乙所以sinB'i-os2b=-|-所以sinC=sin2B=2<U乂?=粵，5525cosCqL為磋.故選：A.4，+3y-254024 .已知O為直角坐標(biāo)系原點，P,Q的坐標(biāo)滿足不等式組,x

28、-2y+2<0,則cos/POQ的最小值為()A.B.:C.D.0【考點】7C:簡單線性規(guī)劃.4*+3y-25Vo【分析】先畫出不等式組r-2V+240,對應(yīng)的平面區(qū)域，利用余弦函數(shù)在0,9上是減函數(shù)，再找到/POQ最大時對應(yīng)的點的坐標(biāo)，就可求出cos/POQ的最小值.4乂+3廠2540【解答】解：滿足不等式組,k2y+2<0，的平面區(qū)域如下圖示：TT因為余弦函數(shù)在0,虧上是減函數(shù)，所以角最大時對應(yīng)的余弦值最小，由圖得，當(dāng)P與A(1,7)重合，Q與B(4,3)重合時，/POQ最大.由tan/POQ=1+喝=1?/POQ二？cos/POQ亞42故選：A.25 .已知數(shù)列A：ai,a2

29、,，an(0<ai<a2<-<an,n>3)具有性質(zhì)P:對任意i,j(1<i<j<n),aj+ai與aj-a兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項、現(xiàn)給出以下四個命題：數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P;數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P;若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0；若數(shù)列a1，a2,a3(0wa1<a2<a3)具有性質(zhì)P,則a+a3=2a2,其中真命題有()A.4個B.3個C.2個D.1個【考點】8B:數(shù)列的應(yīng)用.【分析】根據(jù)數(shù)列A：a1,az,，an(00a1<*<<an,n>3)具有性質(zhì)P：對任意i,j(1<i<

30、;j<n),a+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，逐一驗證，可知錯誤，其余都正確.【解答】解：:對任意i,j(1<i<j<n),aj+ai與可-4兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的項，數(shù)列0,1,3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是該數(shù)列中的數(shù)，故不正確；數(shù)列0,2,4,6,a+ai與aj-ai（1<i<j<3）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項，并且a4-a3=2是該數(shù)列中的項，故正確；若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則an+an=2an與an-an=0兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，/0<ai<a2<-<an,n>3,而2an不是該數(shù)列中的項，一.0是該數(shù)列中的項，：ai=0；故正確；二,數(shù)列ai,a2,出具有性質(zhì)P,0wai<a2<a3ai+a3與a3-ai至少有一個是該數(shù)列中的一項，且ai=0,1°若ai+央是該數(shù)列中的一項，則ai+a3=a3,.ai=0,易知a2+a3不是該數(shù)