第六章不等式、推理與證明

1、第六章不等式、推理與證明備考基礎(chǔ)-童清不等關(guān)系與不等式憶知識(shí)I明誤國(guó)I悟方法對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P87必記3知識(shí)點(diǎn)憶-憶填填1. 不等關(guān)系與不等式在數(shù)學(xué)意義上，不等關(guān)系體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：(1) 常量與常量之間的不等關(guān)系.(2) 變量與常量之間的不等關(guān)系.(3) 函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系.(4) 一組變量之間的不等關(guān)系.2. 實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系ab0?ab:ab=0?a=b:ab0?ab,bc，貝Uac.a+ma(3) 一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則3. 不等式的主要性質(zhì)(1) 如果ab,cd，則a+cb+d:(2) 如果ab0,cd0，則acbd：(3) 如果ab0,則anbn(nN

2、+);(4) 如果ab0,則nanb(nN+,n2).自必明易誤點(diǎn)類三想試二試1. 在應(yīng)用傳遞性時(shí)，注意等號(hào)是否傳遞下去，如ab,bc?ab?ac2bc2；若無(wú)cm0這個(gè)條件，ab?ac2bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c=0時(shí)，取.試一試A. acbc22C.a2b212.2-1V3+1(填“或解析：一=迄+1寸3+1.,2-1答案：b3目必會(huì)方法捂一悟練一練1.不等式的倒數(shù)性質(zhì)1 1(1) ab,ab0?孑；1 1aob?ab0,0cd;(4)0axb或axb0?111bxa.2. 不等式的分?jǐn)?shù)性質(zhì)（1）真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):bb+mbbm_(bm0);aa+maam假分?jǐn)?shù)的性質(zhì):aa+mbb+maambb

3、m(bm0).答案：b+ca+ca+cb+c若0a0,則黑與求的大小關(guān)系為考什么|怎么考怎么辦也熱點(diǎn)命題-悟通對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P88考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小自主絳透型解析：選D由性質(zhì)知選D.1.已知ai,a2(0,1)，記M=aia2,N=ai+a21，貝VM與N的大小關(guān)系是()A.MNC.M=ND.不確定解析：選BMN=aia2(ai+a21)=aa2a1a2+1=a1(a21)(a21)=(a一1)(a21),又匸1(0,1),a2(0,1),-*a110,a210，即MN0.32.若實(shí)數(shù)1,比較a+2與的大小.I a解:a+2a2a11a當(dāng)a1時(shí),a+2當(dāng)a1時(shí),a+2b+d”是ab且c

4、d”的()A充分不必要條件B既不充分也不必要條件C.充分必要條件D.必要不充分條件ab(2) 若a0ba,cvdv0,則下列結(jié)論：adbe;$+Cb-d;adc)b(dc)中成立的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析由a+cb+d”不能得知ab且cd”，反過(guò)來(lái)，由“ab且cd”可得知a+cb+d”，因此a+cb+d”是ab且cd”的必要不充分條件，選D.法一：Ta0b,cvdv0,.adv0,bc0,advbe,故錯(cuò)誤.a0ba,ab0,*cvdv0,cd0,a(c)(b)(d),ac+bdv0,Aa+b=dcac+bdcdv0,故正確.-cvd,.cd,-ab,.a+(c)b+(d),ac

5、bd,故正確./ab,dc0,.a(dc)b(dc),故正確，故選C.法二：取特殊值.答案(1)D(2)C類題通法判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)，常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：(1)不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0;(2) 不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變;典例(3) 不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等.針對(duì)訓(xùn)練若ab0,則下列不等式不成立的是()11A.|b|C.a+b2abD輕沖D.2b0，-|b|,a+b2ab，又2a2b

6、,.ab,選c.考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用卜師生共研型已知函數(shù)f(x)=ax2+bx，且1f(1)2,2f(1)4求f(-2)的取值范圍.解f(1)=ab,f(1)=a+b.f(2)=4a2b.設(shè)m(a+b)+n(ab)=4a2b.m+n=4,m=1,則解得mn=2,n=3.f(2)=(a+b)+3(ab)=f(1)+3f(1).Iwf(1)w2,2wf(1)w4,5wf(2)w10.即f(2)的取值范圍為5,10.匕題多變?nèi)舯纠袟l件變?yōu)椋阂阎瘮?shù)f(x)=ax2+bx，且1f(1)w2,2wf(1)4，求f(2)的取值范圍解：由本例知f(2)=f(1)+3f(1).又1f(1)w2,2wf(1

7、)4,53f(1)+f(1)10,故5f(2)10.故f(2)的取值范圍為(5,10).類題通法利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.針對(duì)訓(xùn)練一1Wa+BW1,若a,B滿足芒試求a+3B的取值范圍.1Wa+23,解：設(shè)a+3B=x(a+B+y(a+2B)=(x+y)a+(x+2y)Bx+y=1,X=-1,則解得X+2y=3,y=2.T1W(a+B)W1,2W2(a+2B)W6,兩式相加，得1W

8、a+3W7.a+3B的取值范圍為1,7.遷移應(yīng)用練透對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P89課堂練通考點(diǎn)1.“1wXW4”是“1Wx2W16”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A由1wxW4可得1wx?w16，但由1wx2W16可得1wxw4或4wxW1,所以“1wxW4”是“1Wx2W16”的充分不必要條件.2.（2013昆明質(zhì)檢）若abhabb2B.ab解析：選C取a=2,b=1，逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng)可知，僅C選項(xiàng)成立.3.在所給的四個(gè)條件：11、bOa:0ab:aOb:ab0中，能推出一二成立的ab有（）11b一a解析：選cab成立，即石成立，逐個(gè)驗(yàn)證可得，滿足題意

9、.4設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，若ab,則下列不等式成立的是（）2222A.abB.abab解析：選C當(dāng)a0時(shí)，a20,ab符號(hào)不確定，所以ab2與a2b的大小不能確定，故B錯(cuò).因?yàn)? iab11看一航=苕，所以看b，則ac2bc2;若ac2bc2，則ab;若ab，則a2cb2c.其中正確的是（請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上）.解析：若c=0則命題不成立.正確.中由2c0知成立.答案：ab116.已知卄b0，則孑+孑與a+b的大小關(guān)系是解析:1=_b.尸babba+訂=(ab)2a+b0,(ab)0,a+babab答案：a+a1+1課下提升考能第i組：全員必做題1. 若mv0,n0且m+nv0,則下列不等式

10、中成立的是（）A.nvmvnvmB.nvmvmvnC.mvnvmvnD.mvnvnvm解析：選D法一：（取特殊值法）令m=3,n=2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可.法二：m+nv0?mvn?nvm,又由于mv0vn,故mvnvnvm成立.2. （2014黃岡質(zhì)檢）已知xyz,x+y+z=0,則下列不等式中成立的是（）A.xyyzB.xzyzC.xyxzD.x|y|z|y|解析：選C因?yàn)閤yz,x+y+z=0，所以3xx+y+z=0,3z0,可得xyxz.x0,zz,c.（0,n3.（2013西安模擬）設(shè)a,那么2a3的取值范圍是（B.5n6D.解析：選D由題設(shè)得WE,g3n1 14.若ab0,則下列結(jié)

11、論不正確的是（）222A.abB.abbC.a+b|a+b|1 1解析：選Dtab.aba+b0,-11一解析：選C由-0可得ba0,從而|a|b，不正確；ab33ab0，貝Ua+bb，正確故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.6.(2014揚(yáng)州期末)若aia2，Sb2，貝Va?b2與aQ2+a?bi的大小關(guān)系是解析：作差可得(aibi+a2b2)一(aib2+a2bi)=(aia2)(bib2),aa2,bi0,即aibi+a2b2aib2+a2bi.答案：aibi+a2b2aib2+a2bi7.若iVaV3,432,貝Ua|日的取值范圍是.解析：/432,.0|34.A4|3|0.二一3a|3aab

12、，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.解析：-/ab2aab,a豐0,當(dāng)a0,b2ib,b2i,即解得bi;bi,2當(dāng)a0時(shí)，bib,f2bi綜上可得b(bdf答案：（a,i）9 .若ab0,cd0,e0.求證:證明：cdd0.又ab0,acbd0.22(ac)(bd)0.11/.0ac22(ac)(bd)10.某企業(yè)去年年底給全部的800名員工共發(fā)放)000萬(wàn)元年終獎(jiǎng)，該企業(yè)計(jì)劃從今年起，10年內(nèi)每年發(fā)放的年終獎(jiǎng)都比上一年增加60萬(wàn)元，企業(yè)員工每年凈增a人.(1) 若a=10,在計(jì)劃時(shí)間內(nèi)，該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)是否會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元？(2) 為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)多少人？解：(1

13、)設(shè)從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均發(fā)放年終獎(jiǎng)為y萬(wàn)元.2 000+60x則y=(aN+,Kx10.所以，10年內(nèi)該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)不會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元.60X8002000aX2X1800+ax2800+ax1設(shè)10，得av24.所以，為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)23人.第n組：重點(diǎn)選做題21. (2014濟(jì)南調(diào)研)設(shè)a1，且m=loga(a+1),n=loga(a1),p=loga(2a),則m,n,p的大小關(guān)系為()A.nmpB.mpnC.mnpD.pmn解析：選B因?yàn)閍1，所以a2+12a=(a1)20,即a2+12a，又2aa1,所以由2對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)

14、性可知loga(a+1)loga(2a)loga(a1)，即mpn.2. (2014北京西城區(qū)期末)已知ab0,給出下列四個(gè)不等式：a2b2:2a2b1:,ab.a.b:a3+b3a2b.其中一定成立的不等式為()A.B.C.D.解析：選A由ab0可得a2b2,正確；由ab0可得ab1,而函數(shù)f(x)=2在R上是增函數(shù)，22，正確；Tab0，二a-jb,.(i!ab)(：.;ab)=2、：ab2b=2b(,ab)0,.aba,b,正確；若a=3,b=2,貝Ua3+b3=35,2a2b=36,a3+b30A=0AV0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像IjLHl申嚴(yán);:/ka一兀二次方程a

15、x2+bx+c=0(a0)的根有兩相異實(shí)根X1,X2(X10(a0)的解集XlXx?bx|x殖R2ax+bx+cv0(a0)的解集x|x1vXVX2?自必明2s誤點(diǎn)？怨二輒試三遢,1. 二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式.2 .當(dāng)A0(a0)的解集為R還是?.試一試1 .(2013浙江高考)設(shè)集合S=x|x2,T=x|x2+3x40，則(?rS)UT=()A.(2,1B.(汽一4C.(g,1D.1,+s)解析：選CT=x|40的解集是.一2,3，則a+b的值是()A.10B.10C.14D.141 1o解析：選D由題意知一2

16、、是axa=b=0,a0,(2) 不等式ax2+bx+c0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立？$或*|c0,A0的解集為R，則m的取值范圍是.解析：當(dāng)m=0時(shí)，10顯然成立. 當(dāng)mz0時(shí)，由條件知m0,A=4m24m0.+bx+2=0的兩根.則a=12,b=2.a+b=14.故選D.3. 不等式x2+ax+40的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析：不等式x2+ax+40,即卩a16.a4或a0,(1) 不等式ax2+bx+c0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立？或*p0,A0.得0m1,由知owm0(a豐0).解(1)原不等式等價(jià)于x2X20,2xx2W4x2x20,2xx6w0x2x+10,x3x+2w0x2或xv1,

17、2wxw3.借助于數(shù)軸，如圖所示,原不等式的解集為x|2wxv1或2vxw3.22由x4ax5a0知(x5a)(x+a)0.由于0故分a0與av0討論.當(dāng)av0時(shí)，xv5a或xa;當(dāng)a0時(shí)，xva或x5a.綜上,av0時(shí)，解集為x|xv5a或xa；a0時(shí)，解集為x|x5a或xva.類題通法1.解一元二次不等式的一般步驟：(1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0,即ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+cv0(a0);(2) 計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3) 當(dāng)A0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根;(4) 根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像，寫出不等式的解集.2 解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論

18、的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即的符號(hào)進(jìn)行分類，最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.針對(duì)訓(xùn)練解下列不等式：(1) 3x22x+80;(2) ax2(a+1)x+1v0(a0).解：原不等式可化為3x2+2x80,即(3x4)(x+2)w0.”f4解得2wx0,所以ax*(x1)v0.1所以當(dāng)a1時(shí)，解為avxv1；當(dāng)a=1時(shí)，解集為?;1當(dāng)0vav1時(shí)，解為1vxvJ綜上，當(dāng)0vav1時(shí)，不等式的解集為Ix1vxv1a當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為?;當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為寸vxv1考點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題卜多堆探究型一元二次不等式

19、與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍歸納起來(lái)常見的命題角度有：1形如fx0xR確定參數(shù)的范圍；2形如fx0xa,b確定參數(shù)范圍；3形如fx0參數(shù)ma,b確定x的范圍.角度一形如f(x)0(xR)確定參數(shù)的范圍21. (2013重慶高考)設(shè)00對(duì)xR恒成立，則a的取值范圍為.解析：根據(jù)題意可得(8sina4X8cos2aW0，即2sin2acos2aW0,2sin2a(12sin211n5na)0(xa,b)確定參數(shù)范

20、圍2.對(duì)任意x1,1，函數(shù)f(x)=x2+(a4)x+42a的值恒大于零，求a的取值范圍.解:函數(shù)f(x)=x2+(a4)x+42a的對(duì)稱軸為a44a當(dāng)1,即卩a6時(shí)，f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(1)=1+(a4)X(1)+42a0,解得a0,I2丿I2丿22即a1，即a0,即a1，故有a1.2綜上可知，當(dāng)a0(參數(shù)ma,b)確定x的范圍3. 對(duì)任意a1,1，函數(shù)f(x)=x2+(a4)x+42a的值恒大于零，求x的取值范圍.解：由f(x)=x+(a4)x+42a=(x2)a+x4x+4,2令g(a)=(x2)a+x4x+4.由題意知在1,1上，g(a)的值恒大于零，g1=x2X1+x24x

21、+40,g1=x2+x24x+40,解得x3.故當(dāng)x3時(shí)，對(duì)任意的a1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零.類題通法恒成立問(wèn)題及二次不等式恒成立的條件(1) 解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).(2) 對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.考點(diǎn)三一元二次不等式的應(yīng)用卜師生共研型典例某小商品2013年的價(jià)格為8元/件，年銷量是a件現(xiàn)經(jīng)銷商計(jì)劃在2014年將該商品的價(jià)格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)調(diào)查，顧客的期望價(jià)

22、格是4元/件.經(jīng)測(cè)算，該商品價(jià)格下降后新增的年銷量與實(shí)際價(jià)格和顧客期望價(jià)格的差成反比，比例系數(shù)為k.該商品的成本價(jià)為3元/件.(1) 寫出該商品價(jià)格下降后，經(jīng)銷商的年收益y與實(shí)際價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)k=2a，當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為多少時(shí)，仍然可以保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長(zhǎng)20%?解(1)設(shè)該商品價(jià)格下降后為x元/件，(k、則由題意可知年銷量增加到lx4+a件，丄、故經(jīng)銷商的年收益y=込_4+a(x3),5.5Wxw7.5.(2)當(dāng)k=2a時(shí)，依題意有if4+a(x3)(83)aX(1+20%),x-11x+30化簡(jiǎn)得0,x4解得x6或410260,2化簡(jiǎn)得8x30x+

23、13W0.113解得寸xw所以x的取值范圍是j2，2遷移應(yīng)用練透對(duì)應(yīng)學(xué)生用書對(duì)點(diǎn)練綜合絳創(chuàng)新練主峑演堀K沖關(guān)P91課堂練通考點(diǎn)1. (2013東高考)不等式X22222258a，故(X2X1)=(X1+X2)4x1x2=(2a)4x(8a)=36a=15，得a=4. (2014皖南八校聯(lián)考)不等式x22x+5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.1,4B.(汽一2U5,+s)C.(s,1U4,+)D.2,5解析：選Ax22x+5=(x1)2+4的最小值為4，所以x22x+5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)2x恒成立，只需a3a4，解得Ka4.2|2的解集是()A.(1,1)B.(2,2)C

24、.(1,0)U(0,1)D.(2,0)U(0,2)解析：選D由|x22|2得一2x222，即20x4,所以一2x0或0x0,不等式一cax+bc的解集是x|2x1，貝Ua:b:c=()A.1:2:3B.2：1：3C.3:1:2D.3:2:1解析：選BTcax+b0,b+ccbxaab+c=2,不等式的解集為x|2x1,ab=2，3c=2a，a:b:c=a:2:羅=2:1:3.3.（2013重慶高考）關(guān)于x的不等式x22ax8a20）的解集為（X1,X2）,且x2冷=15,則a=(5a.2)7B.21515D乙解析：選A由條件知x1,X2為方程x2ax8a?=0的兩根，則x1+x2=2a,X1x

25、2=X+1，x0,、5. (2013溫州調(diào)研)若函數(shù)f(x)=則不等式f(x)0,0,解析：不等式f(x)4等價(jià)于2或|x+14，x4,即0x,3或一4xW0因此，不等式f(x)4的解集是(一4,3).答案：(一4,.3)6. (2012天津高考)已知集合A=xR|x+2|3，集合B=xR|(xm)(x2)0，且AAB=(1,n),貝Hm=,n=.解析：因?yàn)閨x+2|3，即5x1，所以A=(5,1)，又AABm?，所以m1,B=(m,2),由AAB=(1,n)得m=1,n=1.答案：11課下提升考能第I組：全員必做題41.(2014濰坊質(zhì)檢)不等式0,即x2時(shí)，不等式可化為(x2)解析：選D因

26、為一元二次不等式f(x)0的解集為*|x2:所以可設(shè)f(x)=a(x+1)(-ja0可得(10x+1)(10x2丿0,即10x2,xlg2.3. (2014湖北八校聯(lián)考)“0a0的解集是實(shí)數(shù)集R”的()A.充分而不必要條件B必要而不充分條件4,所以x4;當(dāng)x20,即x2時(shí)，不等式可化為(x2)24，所以0Wx2.f11x2. (2013安徽高考)已知一元二次不等式f(x)0的解集為ix|x2，貝Vf(10)0的解集為()A.x|xlg2B.x|1xlg2D.x|x0，顯然成立；當(dāng)a豐0時(shí)，？故ax+2ax|=4a24a0的解集是實(shí)數(shù)集R等價(jià)于Owa1.因此，0a0的解集是實(shí)數(shù)集R”的充分而不必

27、要條件.4. 關(guān)于x的不等式x2(a+1)x+av0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()A.(4,5)B.(3,2)U(4,5)C.(4,5D.3,2)U(4,5解析：選D原不等式可能為(x1)(xa)v0，當(dāng)a1時(shí)得1vxva，此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4，貝U4vaw5，當(dāng)av1時(shí)得avxv1,則一3wav2，故a3,2)U(4,55. (2013洛陽(yáng)診斷)若不等式x2+ax20在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是()A.-pmD.C.(1,+m)解析：選B由=a2+80,知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù),所以方程必有一正根、一負(fù)根.于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是

28、f(5)0,f(1)w0,解得a弩，且aw1,5故a的取值范圍為一乍3,1.6 .不等式x(x2)|x(x2)的解集是.解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27 .在R上定義運(yùn)算：x*y=x(1y).若不等式(xy)*(x+y)1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是.解析：由題意，知(xy)*(x+y)=(xy)1(x+y)1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以x22222+x+yy10對(duì)于xR恒成立.故=14X(1)X(yy1)0,所以4y4y30,13解得尹2答案：,I&不等式X22X+3Wa22a1在R上的解集是？，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析：

29、原不等式即x22xa2+2a+4W0，在R上解集為？，44(a2+2a+4)v0,2即a2a3v0,解得1vav3.答案：(1,3)29.設(shè)函數(shù)f(x)=mxmx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,f(x)0恒成立，求m的取值范圍；若對(duì)于x1,3,f(x)m+5恒成立，求m的取值范圍.解：要使mx2mx10恒成立，若m=0,顯然10;m0,若mz0,貝U2?4m0.A=m2+4m0所以一4mW0.要使f(x)m+5在1,3上恒成立，即m|x夕j+3m60時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)max=g(3)?7m60,66所以m7，則0m7；當(dāng)m=0時(shí)，一60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上

30、是減函數(shù)，所以g(x)max=g(1)?m60，所以m6，所以m0.綜上所述：m的取值范圍是Imm0,因?yàn)楹瘮?shù)y=6x2*x+1一3在1,3上的最小值為號(hào)，所以只需x-22+4mV6即可.2/xx+1又因?yàn)閙(xx+1)60，所以m所以，m的取值范圍是mm0的解集；1、若a0,且0vxvmvnv,比較f(x)與m的大小.a解：由題意知，F(xiàn)(x)=f(x)x=a(xm)(xn),當(dāng)m=1,n=2時(shí)，不等式F(x)0,即a(x+1)(x2)0.那么當(dāng)a0時(shí)，不等式F(x)0的解集為x|xv1，或x2;當(dāng)av0時(shí)，不等式F(x)0的解集為x|1vxv2.(2)f(x)m=a(xm)(xn)+xm=(

31、xm)(axan+1),廠1/a0,且0vxvmvnv,.xmv0,1an+ax0.a/f(x)mv0,即卩f(x)vm.第n組：重點(diǎn)選做題1. 若函數(shù)f(x)=(a2+4a5)x24(a1)x+3的圖像恒在x軸上方，則a的取值范圍是()A.1,19B.(1,19)C.1,19)D.(1,19解析：選C函數(shù)圖像恒在x軸上方，即不等式22(a+4a5)x4(a1)x+30對(duì)于一切xR恒成立.a2+4a50,1 2216(a1212(a+4a50.解得1a19.綜上可知，a的取值范圍是Ka0時(shí)，f(x)=x24x,則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為.解析：由于f(x)為R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0

32、時(shí)，f(0)=0;當(dāng)x0,所以f(2x)=x+4x=f(x),x24x,x0,即f(x)=x24x,所以f(x)=0,x=0,2x24xx,或x0,.x4x,xx,由f(x)x,可得挾0解得x5或5x0,b0.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0,b0，則a,b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為,ab,基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3. 利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0,y0,則：如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，x+y有最小值是2p.(簡(jiǎn)記：積定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是”(

33、簡(jiǎn)記：和定積最大)已必明澎易誤點(diǎn)1 求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件.2 多次使用基本不等式時(shí)，易忽視取等號(hào)的條件的一致性.試一試a+b1“a0且b0”是“丁ab”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A2.已知0x1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為()11代3B.23 2C.4D.31193解析：選B由0x0,貝Ux(33x)=X3x(33x)2ab(a,bR)；b+a2(a,b同號(hào)).abia+bia+ba2+b2abw(a,bR);冬廠(a,bR).2. 巧用“拆”“拼”“湊”在運(yùn)用基本不等式時(shí)，

34、要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.練一練4若x1，則x+的最小值為x1解析：x+-=x1+14+1=5.X1x14當(dāng)且僅當(dāng)x1=-，即x=3時(shí)等號(hào)成立.X1答案：5|熱點(diǎn)命題-悟通考什么怎么普怎么沙茴邈角度全掃描對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P92考點(diǎn)一利用基本不等式證明不等式師生共研型典例求證:已知a0,b0,a+b=1,證明法一：va0,b0,a+b=1,1a+bb口也1a+a=仃=ab，+孑同理，仔1=2+b二1+11+1=2+a2+a=5+2b+a5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=a，1即a=b=時(shí)取“=”.1+a1+19,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=*時(shí)等號(hào)成立.、止一111

35、1法二：1+11+b=1+a+b+ab類題通法利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng),并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1的代換法等.針對(duì)訓(xùn)練11設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù)，求證：1+孑+ab22.證明：由于a、b均為正實(shí)數(shù)，所以*+2!i=ab，ii當(dāng)且僅當(dāng)1=古，即a=b時(shí)等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)又因?yàn)镺b+ab2時(shí)等號(hào)成立,112所以孑+abab+ab22,11a2=b2,當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=42時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)二利用基本不等式求最值卜師生共研型畚ab，典

36、例(1)(2013四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+f(x0,a0)在x=3時(shí)取得最小值，則a=.212(2) (2014長(zhǎng)春調(diào)研)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足；+=1，并且x+2ym+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(3) (2013山東高考改編)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x23xy+4y2z=0,則xy的最小值為解析(1)f(x)=4x+y4xa=4百(x0,a0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x=:，即卩a=4x2時(shí)取等2號(hào)，則由題意知a=4X3=36.(2) x+2y=(x+2y)2+-=2+4y+X+28,當(dāng)且僅當(dāng)4y=X,xyxyxy2即x=2y=4時(shí)等號(hào)成立.由x+2ym+2m恒成立，22可知m+2m8,

37、m+2m80，解得4m0)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解.針對(duì)訓(xùn)練2x(1) 當(dāng)x0時(shí)，貝yf(x)=2T7的最大值為.x*(2) 已知log2a+log2b1，貝U3a+9b的最小值為.(3) 已知x0,y0,xy=x+2y,若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是解析：(1)vx0,16f（x）=9=j2=1，x+1x+-2x1當(dāng)且僅當(dāng)x=1即卩x=1時(shí)取等號(hào).x（2）由log2a+log2b1得Iog2（ab）1,即ab2,.3a+9b=3a+32b2X當(dāng)且僅當(dāng)3a=32b,即即a=2b時(shí)取等號(hào)）.又Ta+2b2.2ab4（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等

38、號(hào)），.3a+9b2X32=18.即當(dāng)a=2b時(shí)，3a+9b有最小值18.由x0,y0,xy=x+2y22xy,得xy8,于是由m2xy恒成立，得m20)滿足x=3后亍(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件.已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元.每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).(1) 將2013年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2) 該廠家2013年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？解(1)由題意知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1(萬(wàn)件),.1=3k?k=2,.x=32m+18+16x每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5X(元),入8+16x2013年的利潤(rùn)y=1.5xX-816xm入=m1+m+1+29（m0）.m+1+(m+1)2麗8,yw8+29=21,16一一當(dāng)且僅當(dāng)=m+1?m=3(萬(wàn)兀)時(shí)，ymax=21(萬(wàn)兀).m+1故該廠家2013年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的