第二節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集2

1、2. 2. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域平面曲線平面曲線: : 在數(shù)學(xué)上在數(shù)學(xué)上, ,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線曲線. .如果如果x x( (t t) )和和y y( (t t) )是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), ,則則方程組方程組x x= =x x( (t t), ), y y= =y y( (t t), (), (a a t t b b) )代表一條平面曲線代表一條平面曲線, ,稱為稱為連續(xù)曲線連續(xù)曲線. . 如果令如果令z z( (t t)=)=x x( (t t)+)+iyiy( (t t) )則此曲線可用一個(gè)方程則此曲線可用一個(gè)方

2、程z z= =z z( (t t) () (a a t t b b) )來代表來代表. . 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式. . 設(shè)設(shè)C C: :z z= =z z( (t t)()(a a t t b b) )為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線, ,z z( (a a) )與與z z( (b b) )分分別為別為C C的的起點(diǎn)起點(diǎn)與與終點(diǎn)終點(diǎn). .對(duì)于滿足對(duì)于滿足 a a t t1 1 b b, ,a a t t2 2 b b 的的t t1 1與與t t2 2, ,當(dāng)當(dāng)t t1 1 t t2 2而有而有 z z( (t t1 1)=)=z z( (t t2 2) ) 時(shí)時(shí),

3、, 點(diǎn)點(diǎn)z z( (t t1 1) )稱為曲線稱為曲線C C的的重點(diǎn)重點(diǎn). .沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C C, , 稱為稱為簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線或或若爾當(dāng)若爾當(dāng)(Jardan(Jardan) )曲線曲線. . 如果簡(jiǎn)單曲線如果簡(jiǎn)單曲線C C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, , 即即 z z( (a a)=)=z z( (b b), ), 則曲線則曲線 C C 稱為稱為簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線. .z(a)=z(b)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單, ,閉閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單, ,不閉不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單不簡(jiǎn)單, ,閉閉不簡(jiǎn)單不簡(jiǎn)單, ,不閉不閉z(a)z(b) 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

4、 C C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集, ,其中除去其中除去C C 外外, , 一個(gè)是一個(gè)是有界區(qū)域有界區(qū)域, , 稱為稱為C C 的的內(nèi)部?jī)?nèi)部, ,另一個(gè)是無界區(qū)域另一個(gè)是無界區(qū)域, , 稱稱為為C C 的的外部外部, ,C C 為它們的公共邊界為它們的公共邊界. . 簡(jiǎn)單閉曲線的簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì)這一性質(zhì), , 其幾何直觀意義是很清楚的其幾何直觀意義是很清楚的. .內(nèi)部?jī)?nèi)部外部外部C定義定義: : 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B B, ,如果在其中任作如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線一條簡(jiǎn)單閉曲線, ,而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部

5、總屬于B B, ,就稱為就稱為單連通域單連通域, ,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, ,就稱為就稱為多多連通域連通域. .單連通域單連通域多連通域多連通域三、典型例題三、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, , 是有界的是有界的還是無界的還是無界的, ,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. . 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域( (如圖如圖).).3arg

6、)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, ,無界的單連通域無界的單連通域( (如圖如圖).).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心無界的多連通域無界的多連通域. 411)4( zz表示到表示到1, 1, 1 1的距離的距離之和為定值之和為定值4 4的點(diǎn)的軌的點(diǎn)的軌跡跡, , 是橢圓是橢圓, ,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域. .111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz邊界邊界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1

7、cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也稱雙紐線也稱雙紐線是雙葉玫瑰線是雙葉玫瑰線 r ,111是其內(nèi)部是其內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域. .例例2 2解解 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, , 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, , 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域? ?, 3Im)1( z是一條平行于實(shí)軸的直線是一條平行于實(shí)軸的直線, , -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域. ., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域. ., 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域. .,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點(diǎn)不包括端點(diǎn)的半射線的半射線斜率為斜率為為端點(diǎn)為端點(diǎn)以以不是區(qū)域不是區(qū)域. .,4arg0)5( iziz , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx,