高數函數極限

1、歡迎大家來到歡迎大家來到第三軍醫(yī)大學學習、生活！第三軍醫(yī)大學學習、生活！1醫(yī)學高等數學醫(yī)學高等數學（ Medical Advanced Mathematics ）數學教研室 羅萬春辦公室：基礎部1061Tel: 771260-801 2本學期的主要內容Ch1 函數 、極限和連續(xù) Ch2 一元函數微分學Ch3 一元函數積分學Ch4 多元函數微積分Ch5 微分方程基礎3 醫(yī)學高等數學醫(yī)學高等數學的特點的特點多、快、聯(lián)、難多、快、聯(lián)、難u多：知識點多、內容多多：知識點多、內容多u快：教學進度快于中學快：教學進度快于中學u聯(lián)：知識前后聯(lián)系聯(lián)：知識前后聯(lián)系u難：課后習題難難：課后習題難4 學習態(tài)度學習態(tài)

2、度u積極面對積極面對u勇于克難勇于克難5 學習方法學習方法深入預習、認真聽課、及時復習、適當練習深入預習、認真聽課、及時復習、適當練習 u深入預習：以深入預習：以“做做”代代“看看”u認真聽課：以認真聽課：以“說說”促促“聽聽”u及時復習：以及時復習：以“講講”鞏鞏“知知”u適當練習適當練習 ：以：以“精精”替替“多多”6課終成績課終成績=作業(yè)、半期、討論（作業(yè)、半期、討論（30%30%） + + 期末考試（期末考試（70%70%）計算。）計算。 考試要求考試要求期末考試期末考試( (教考分離！教考分離！) )7 第一節(jié) 函數（Functions）醫(yī)學高等數學第一章 第一、二節(jié)第二節(jié) 極限(1

3、)（Limits）8一、函數的概念 二、復合函數三、函數的幾種簡單性質四、極限的概念六、極限的四則 運算 91. 掌握復合函數、極限等概念及性質；2. 會分解復合函數；3. 熟練掌握極限的四則運算。復合函數的分解，極限概念的應用。 復合函數，極限概念的理解與應用。 10背景背景引例引例世界人口變化規(guī)律分析世界人口變化規(guī)律分析 u世界人口數據：世界人口數據：見右表。問題問題世界人口和時間有何關系？11年份人口（百萬）1900191019201930194019501960197019801990200016501750186020702300256030403710445052806080人口數

4、據隨時間變化的散點圖問題的分析問題的分析19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)Scatterplot12符號表示時間：t人口：p則人口與時間存在關系：p=p(t) 進一步分析：是否存在更明確的關系？19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)regression曲線擬合0.008079266 1.013731tp 13一、函數的概念定義定義1. 設設 x 和和 y 是同一

5、過程中的兩個變量，如果是同一過程中的兩個變量，如果對于變量對于變量 x 的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量變量 y 總有一個確定的值與之對應，則稱變量總有一個確定的值與之對應，則稱變量 y 是是變量變量 x 的的函數函數(function)。變量。變量 x 稱為稱為自變量自變量(independent variable)，變量，變量 y 稱為稱為因變量因變量(dependent variable) ，記為，記為 問題1：什么是函數？Dxxfy, )(14DxfDxxfyyDfy),()(對應規(guī)則)(值域)(定義域) 定義域 函數的表達方法:公式法、圖象法

6、、表格法、使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.例如：書上例1-3一段文字15基本初等函數（六類）（ 見書P4頁） 特別地，一些函數對其定義域內的不同值，不能用一個統(tǒng)一的解析式表示，而是需要兩個或多個不同的解析表達式，這類函數稱為分段函數(piecewise function). 問題2：如何將電話費表示為時間的函數？16二、復合函數二、復合函數 設在定義域U上變量 y 是變量 u 的函數：y=f(u) , 在定義域D上變量u 是變量x的函數： 。如果對變量 x 的某些值，變量 u 的對應值恰在U中，因而能夠確定變量 y 的值，則稱 y 是 x的復合函數(compound function)

7、，記為)(xu).(xfy 問題3：函數y=sin2x的含義是什么？17;),(Uuufy;),(DxxuUD )(且構成復合函數 ( ) ,yfxxD1. 由函數鏈注意: )(ufyux)(x ( )yfx18例如, 函數鏈 :,arcsinuy ,122xuDx,1231,23但函數鏈22,arcsinxuuy不能構成復合函數 .,12arcsin2xy可定義復合函數2. 構成復合函數的條件 不可少. UD )( 為什么？193. 兩個以上函數也可構成復合函數.例如, 0,uuy),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv20 技巧：重點抓住對應基本初等函數自變量位置上的形式。4

8、. 能夠正確分解復合函數.解：例1 分析函數的復合結構： ) 1, 0( ,2aaayx分解為： ,uay 2xu 21例2 分解復合函數： ) 1lg(arctanxy解： 分解得： ,uy ,arctanvu ,lgwv 1 xw22初 等 函 數 1、基本初等函數(六類)2、初等函數 由基本初等函數經過有限次四則運算與有限次復合運算步驟構成的，可用一個解析式表示的函數，叫。 問題4：分段函數是否是初等函數？為什么分段函數是否是初等函數？為什么？23課堂練習課堂練習11(1)cos;yx分解下列復合函數分解下列復合函數1(2)lg(cos);yx1(3)(cos).yfx24三、 函數的幾

9、種特性1. 有界性2. 單調性3. 奇偶性4. 周期性（自學，書P5頁）25公元前5世紀，古希臘詭辯學派哲學家芝諾（Zeno）提出“追龜說”：讓阿基里斯（Achilles，古希臘奧運會中的一名長跑冠軍 ）與烏龜賽跑。假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍，但讓烏龜在阿基里斯前100米處起跑26結結 論論11100 10 110100S 1111917世紀，微積分產生，用世紀，微積分產生，用極限極限才解決這一問題。才解決這一問題。假設假設阿基里斯追上烏龜之前，烏龜所爬的路程為阿基里斯追上烏龜之前，烏龜所爬的路程為無限、無限、 運動、無窮小、運動、無窮小、連續(xù)連續(xù)阿基里斯雖然越來越逼近烏龜，但阿基里斯雖

10、然越來越逼近烏龜，但永遠追不上永遠追不上烏龜烏龜27 1 1、 時函數的極限時函數的極限x四、函數的極限四、函數的極限Axfx)(limx的絕對值無限增大時的絕對值無限增大時則則f(x)無限接近無限接近A描述性定義描述性定義則稱則稱當當x趨于趨于無窮大無窮大時時函數函數f(x)的極限為的極限為A)()(xAxf當或如：如：01limxx28數學語言定義（分析定義）數學語言定義（分析定義）（任意?。ㄈ我庑。?0N當當|xN時時總有總有|)(|Axf稱稱Axfx)(lim思考：思考：如何證明如何證明01limxx29oxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋30當當x的絕對值無限增大時的絕對值無限增大

11、時 則則f(x)不趨于任何常數不趨于任何常數（1）如：如：xysin2xy （2）x趨于正無窮大和趨于負無窮大時，趨于正無窮大和趨于負無窮大時， f(x) 趨于趨于不同常數不同常數2/arctanlimxx2/arctanlimxx3lim xx3limxx 問題5：極限不存在有哪些情形極限不存在有哪些情形？31 2 2、 時函數的極限時函數的極限0 xx （1）函數）函數 在點在點 附近有定義附近有定義0 x)(xfAxfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當（2）x以任意方式無限接近以任意方式無限接近x0則則f(x)無限接近無限接近A描述性定義描述性定義則稱則稱當當x趨于趨于x0時時函

12、數函數f(x)的極限為的極限為A如：如：4lim22xx32數學語言定義（分析定義）數學語言定義（分析定義） （1）函數）函數 在點在點 附近有定義附近有定義0 x)(xf（2）（任意小）（任意?。?0當當|00 xx時時總有總有|)(|Axf稱稱Axfxx)(lim0課后思考：課后思考：如何證明如何證明 ？4lim22xx33幾何解釋幾何解釋0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 34左極限左極限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0右極限右極限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Ax0 xy)(xfy 極限存在的充要

13、條件極限存在的充要條件左右極限定義左右極限定義極限存在的充要條件極限存在的充要條件3. 3. 數列的極限數列的極限（自學，書p9)354.極限存在性判別準則極限存在性判別準則準則準則1（夾逼定理）（夾逼定理）Axfxx)(lim0)(x之間有之間有 若在同一極限過程中，函數若在同一極限過程中，函數)()()(21xfxfxf、),()(21xfxfxf）且且),(lim)(lim2100 xfAxfxxxx)(x)(x36準則準則2（單調有界準則）（單調有界準則）單調有界數列一定有極限。單調有界數列一定有極限。課堂練習課堂練習2222111lim ()12nnnnnn利用極限準則證明利用極限準則證明37（2 2）約分型）約分型求下列極限：求下列極限：211(1)limxxx211(2)lim1xxx2112(3)lim()11xxx2211(4)lim()12xxx 222(5)lim2xxx（1 1）代入型）代入型（3 3）通分型）通