線性代數(shù)甲(復(fù)習(xí))(1)

1、線性代數(shù)(甲)總復(fù)習(xí) 一、一、行行列列式式 1 1、（主）對角行列式、上（下）三角行列式、（主）對角行列式、上（下）三角行列式2 2、（次）對角行列式、上（下）三角行列式、（次）對角行列式、上（下）三角行列式3 3、分塊三角行列式、分塊三角行列式4 4、爪型行列式、爪型行列式方法：將D D的第i i+1列乘以都加到第1列，得 有些行列式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓梢曰癁樾辛惺?，再采用上述方法計算? 5、范德蒙德行列式、范德蒙德行列式6 6、其他方法、其他方法加邊法、遞歸方法加邊法、遞歸方法二、線性方程組二、線性方程組二、線性方程組二、線性方程組定理定理2.3.1（Page 57）線性方程組AX=b有解在

2、有解條件下,(1)有唯一解 （未知量個數(shù)）(2)有無窮多個解 （未知量個數(shù)），此時解中有n-r個自由未知量)()(ArrArnArAr)()(nArAr)()(定理定理2.3.2（Page 58）線性方程組AX=O解的情況如下：(1)只有零解 （未知量個數(shù)）(2)有非零解 （未知量個數(shù)），此時解中有n-r個自由未知量nrAr)(nrAr)(行化簡算法：行化簡算法：1. 由矩陣最左的非零列開始這是一個主元列，階梯頭在該列頂端；2. 在主元列中選取一個非零元作為主元如有必要的話，對換兩行使這個元素移到階梯頭(該列頂端)位置上.3. 用倍加變換將階梯頭所在列下面元素變成0；4. 暫時不管包含階梯頭位

3、置的行以及它上面的各行，對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止；5. 由最右邊的階梯頭開始，把每個階梯頭上方的個元素變成0. 若某個階梯頭不是1，用倍乘變換變成1.三、矩陣三、矩陣關(guān)于方陣的可逆關(guān)于方陣的可逆 & & 不可逆不可逆n n階方陣階方陣A A可逆可逆（即A A是非奇異方陣）（即A A是滿秩方陣）A A可以表達(dá)成若干個初等矩陣的乘積齊次線性方程組只有零解非齊次線性方程組只有唯一解A A的n個特征值全不為0n n階方陣階方陣A A不可逆不可逆（即A A是奇異方陣）（即A A是降滿秩方陣）A A不可以表達(dá)成若干個初等矩陣的乘積齊次線性方程組有非零解非齊

4、次線性方程組沒有解或者有無窮多解A A的n個特征值中至少有一個為0例例1 行列式 _7000100050020030040000006例例2 (1) A2=A且E-A可逆，k為正整數(shù)，求行列式|E+A+.+Ak|(2) 設(shè) ，計算行列式|2E-A|TTTA, 1, 3 , 1, 2,4 , 2 , 0 , 1 例例3 計算行列式 444444333333222222223342233422334例例4 設(shè) (1)求（I）的導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，并寫出通解；(2)求m,n,t使（I）與（II）同解。txxnxxxxmxxxIIxxxxxxxxxxI434324321321432142121145

5、2: )( ,331462: )(例例5 設(shè)線性方程組 與 有公共解，求a的值及所有公共解。 040203221321321xaxxaxxxxxx12321axxx例例6 已知A為4階非零方陣， 且AB=0 (1)求A與B的秩；(2)求齊次線性方程組AX=0的通解. 40114-1-201010201-1B例例7 設(shè)A,B,C為三階可逆矩陣，(1)化簡等式 ；(2)當(dāng) 時，求出上式結(jié)果。111)()()(TTTTBAABEBC120210001,201010101CA例例8 (1)設(shè)A,B,C為n階矩陣，且AB=BC=CA=E,則A2+B2+C2=_;(2)設(shè)A為n階方陣，且A2+2A-4E=

6、O,則(A-E)-1=_; (3)設(shè)A,B分別是m階，n階可逆矩陣，且|A|=a,|B|=b,若 ,則C*=_。OBAOC例例9 設(shè)三階矩陣 且 ，求矩陣B。0| ,101010001*AAAEABBA22*例例10 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣 且滿足 ， ，求B。,101010101AEBAABA311例例11 設(shè)A是n階矩陣，滿足|A|0, 求證：(1) ; (2) .,2111121111211112A1*|nAA例例12 設(shè)4階矩陣 則 _.AAAn 2*|*A四、線性空間四、線性空間判斷向量組線性相關(guān)的方法1. 線性相關(guān)2 的對應(yīng)分量成比例 線性相關(guān)3含有零向量的向量組是線性相關(guān)的4. 向量

7、組 線性相關(guān) 該組中至少有一個向量可由其余的向量線性表出5. 部分相關(guān)則整體相關(guān)6. 設(shè)向量組 可由向量組 線性表出 (1) 如果rs,則 線性相關(guān)； (2) 如果 線性無關(guān)，則7n+1個n維向量必線性相關(guān)(個數(shù)大于維數(shù))8向量組的秩小于它所含向量的個數(shù) 該向量組是線性相關(guān)的9n個n維的向量構(gòu)成的行列式=0 該向量組是線性相關(guān)的10線性相關(guān)向量組中每個向量截短之后還相關(guān)判斷向量組線性無關(guān)的方法1. 線性相關(guān)2 的對應(yīng)分量不成比例 線性無關(guān)3向量組 線性無關(guān) 該組中任何一個向量都不能由其余向量線性表出4 整體無關(guān)則部分無關(guān)5該向量組的秩等于它所含向量的個數(shù) 該向量組是線性無關(guān)的6n個n維的向量構(gòu)

8、成的行列式0 該向量組是線性無關(guān)的7線性無關(guān)向量組中每個向量加長之后還無關(guān) 0m,.,21施密特正交化施密特正交化11122k0,21顯然顯然1k2112二維幾何空間二維幾何空間111122221111,rrrrrrrrr五、特征值與特征向量五、特征值與特征向量 1.,2.TTTiiiCC ACBx Axx BxABABr Ar BABAnAknrEAnAAnA 可逆矩陣 ，使得與有相同的正負(fù)慣性指數(shù)矩陣 與 合同與 的特征值中，正特征值個數(shù)相等，負(fù)特征值個數(shù)相等有 個線性無關(guān)的特征向量對于 的每個特征值其重數(shù)階矩陣 可對角化有 個不同的特征值為實對稱矩陣 111*5.,( )( )( )6.

9、iiiiTABPBP APr Ar BABEAEBABABABtr Atr BabABABABf Af Bf xxABABABABAB矩陣 與 相似：即 可逆矩陣 ，使得、 具有相同的特征多項式，即、 具有相同的特征值矩陣 、 具有許多相同的性質(zhì)即：、，其中為關(guān)于 的多項式對于實對稱矩陣 、 ，與 合同，反之不成立和 具有相同的特征值A(chǔ)B與 合同矩陣可對角化的性質(zhì)與判定矩陣相似的性質(zhì)與判定六、二次型六、二次型用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征向量

10、征向量求出對應(yīng)于特征值的特求出對應(yīng)于特征值的特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 Page 24 1.,2.TTTiiiCC ACBx Axx BxABABr Ar BABAnAknrEAnAAnA 可逆矩陣 ，使得與有相同的正負(fù)慣性指數(shù)矩陣 與 合同與 的特征值中，正特征值個數(shù)相等，負(fù)特征值個數(shù)相等有 個線性無關(guān)的特征向量對于 的每個特征值其重數(shù)階矩陣 可對角化有 個不同的特征值為實對稱矩陣n階是實稱矩陣正定的性質(zhì)與判定矩陣合同的性質(zhì)與判定11223.4.0

11、00,1,2,TnniiAkkCAC CAnAnAAAa aaai必可以與對角矩陣相似必可以用正交變換對角化實對稱矩陣 的性質(zhì) 不同特征值的特征向量必線性無關(guān)且正交特征值全為實數(shù) 對應(yīng)的特征向量全為實向量重特征值必有 個線性無關(guān)的特征向量合同于單位矩陣，即 可逆矩陣 ，使得的正慣性指數(shù)等于的特征值全為正數(shù)階實對稱矩陣 為正定矩陣的順序主子式全大于. n矩陣的等價、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別1、矩陣等價： a.同型矩陣而言 b.一般與初等變換關(guān) c.秩是矩陣等價的不變量，其次，兩同型矩陣等價的本質(zhì) 是秩相等2、矩陣相似： a.針對方陣而言 b.秩相等是必要條件 c.本質(zhì)是二者有相等的不變因子(即

12、特征值和不變子空間)3、矩陣合同： a.針對方陣而言，一般是對稱矩陣 b.秩相等是必需條件 c.本質(zhì)是秩相等且正慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型相同例例13 設(shè)歐式空間R3的一組向量(1)求證： 是R3的一組基；(2)把 改造成R3的一組正交基 ；(3)求由基 到基 的過渡矩陣; (4)向量在基 下的坐標(biāo)是1,2,0T,求向量在基 下的坐標(biāo)。例例14 設(shè)Rn中有兩組向量證明：若(I)中的每一個向量與(II)中的每一組向量皆正交，則(I)(II)兩組向量必有一組為線性相關(guān)。 )1(,.,)(,.,)(12121nkIIIknk.512-11-2021321，321，321，321，321，321，321，

13、321，例例15 設(shè)3.已知向量組 與向量組 具有相同的秩，且3可由線性表示，求a,b的值，并寫出可由線性表示的表示式（只需寫出一種表示式）.例例16 設(shè) 求A的特征值和特征向量。,31,21, 1 ,3 , 2 , 1 ATT01b1-2a1-10321，7-691033-21321，321，例例17 設(shè),為n維單位正交列向量，矩陣 求證：+和-都是A的特征向量，并分別求出它們對應(yīng)的特征值。TTA例例18 設(shè)A是3階實對稱矩陣，特征值為1，-1，-1,屬于特征值1的特征向量為=1,0,-1T,求(1)屬于特征值-1的特征向量;(2)矩陣A;(3) A10。例例19 設(shè)A與對角矩陣diag(1

14、,2,4)相似， 求證：B=0。),4)(2)(EAEAEAB例例20 設(shè)A是3階實對稱矩陣，特征值為 ,屬于 的特征向量為 ,求：(1)屬于特征值-1的特征向量;(2)矩陣A。62321，221TTT-1, 1 , 0,-1, 0 , 1 ,0 ,-1, 1 321例例22 設(shè)二次型 ,經(jīng)正交變換 化成 其中P是3階正交矩陣，試求常數(shù)a,b。例例21 已知二次型 ,(1)寫出二次型的矩陣A;(2)用正交線性替換X=QY化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求實對稱矩陣B,使得A=B3.323121232132148433),(xxxxxxxxxxxf),(321xxxf32312123222132122

15、2),(xbxxxxaxxxxxxxfPYX 23213212),(yyxxxf例例24 求二次型 的秩與符號差。例例23 設(shè)二次型 ,(1)求二次型f的矩陣的所有特征值；(2)若二次型的規(guī)范形為 ，求a的值。323123222132122) 1(),(xxxxxaaxaxxxxf2221yyjnjiiniinxxxxxxf112214),.,(例例26 設(shè)二次型 的矩陣為B,其中 且 。問f正定？負(fù)定？還是不定？例例25 設(shè)二次型 ,的正慣性指數(shù)為p，秩為r，證明：p=rn。22122221.nxxxnxxxfnnnjnjiiniiinxxxbxxxf112212)1 (),.,(nibi,.2 , 1, 00111niib例例28 設(shè)A,B都是n階正交矩陣且|A|=-|B|,求證：秩(A+B)*1。 例例27 設(shè)A為n階正交矩陣 且|A|=-1,求證：|A+E|=0。例例30 設(shè)A,B都是n階正定矩陣, 證明： 例例29 設(shè)A,B為n階實對稱矩陣