高等代數(shù)課件第2章矩陣和向量2.2可逆矩陣

1、, 111 aaaa,11EAAAA 則矩陣則矩陣 稱為稱為 的可逆矩陣或逆陣的可逆矩陣或逆陣.A1 A在數(shù)的運算中，在數(shù)的運算中，當數(shù)當數(shù) 時，時，0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a （或稱（或稱 的逆）；的逆）； 在矩陣的運算中，在矩陣的運算中，E單位陣單位陣 相當于數(shù)的乘法運算中相當于數(shù)的乘法運算中 的的1，A那么，對于矩陣那么，對于矩陣 ，1 A如果存在一個矩陣如果存在一個矩陣 ,使得使得 定義定義 對于對于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個，如果有一個 階矩陣階矩陣 則說矩陣則說矩陣 是是可逆可逆的，并把矩陣的，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,EBAAB

2、 BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設設,21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB說明說明 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.AA若設若設 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即A.1 ACB例例 設設,0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設設 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系數(shù)法利用待定系

3、數(shù)法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因為又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A證明證明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA ,0時時當當 A,0時時當當 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AA

4、aAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.,0,0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時時當當稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時時當當AAAA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.為為非非奇奇異異矩矩陣陣是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A證畢證畢 .,1 ABEBAEAB則則或或若若推論推論證明證明 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運算性質

5、逆矩陣的運算性質 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定義定義時時當當另外另外證明證明 為正整數(shù)為正整數(shù)k .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 則有則有可逆可逆若若證明證明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有為整數(shù)時為整數(shù)時

6、當當, 0 A, AAA . AA 例例1 1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA例例2 201043032

7、1 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 設設.CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又

8、由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設方陣設方陣EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA ;510402321112011111

9、2 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解矩陣方程解矩陣方程例例5 5 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,41511 412341511XE 5104023211120111112 X1112011111510402321 X給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1120111111 得得 1125103241230111111120111113X.9144682592 給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,1230111111 25

10、1121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111 X得得給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1230111111 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,滿滿足足關關系系設設三三階階矩矩陣陣BA例例6 611000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB, 0! 5 A因因由由伴伴隨隨矩矩陣陣法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例7 7 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 逆矩陣的概念及運算性質逆矩陣的概念及運算性質. 0 A逆矩陣的計算方法逆矩陣的計算方法