高等代數(shù)課件第8章線性變換8.2線性變換的運算

1、1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們, 事實上，事實上，()()( ()( ( )( ) 一、一、 線性變換的乘積線性變換的乘積 的的乘積乘積 為：為： ,V 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.( ( )( ( )()( )()( ), ()()( ()( )( ( )()( )kkkkk 基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律： （2），E為單位變換為單位變換 EE（3）交換律一般不成立，即一般地，交換律一般不成立，即一般地，. 例例1. 線性空間中，線性變換線性空間中，線性變換 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx

2、 00 xJDfxJfxft dtfxf 而，而， .DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE (),XAX 例例2. 設(shè)設(shè)A、B為兩個取定的矩陣，定義變換為兩個取定的矩陣，定義變換n nP 則皆為的線性變換，且對有則皆為的線性變換，且對有, n nP ,n nXP ()()( ()()(),XXXBA XBAXB ()()( ()()().XXAXAX BAXB (),XXB n nXP .則則 也是也是V的線性變換的線性變換. 二、二、 線性變換的和線性變換的和 1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們, ,V 的的和和 為：為： 事實上

3、，事實上，()()()() ( )( )( )( )()( )()( ), ()()()()( )( )kkkkk ( ( )( )()( ).kk （3） 0為零變換為零變換.00,（4）乘法對加法滿足左、右分配律：乘法對加法滿足左、右分配律： 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）滿足交換律：）滿足交換律：（2）滿足結(jié)合律：）滿足結(jié)合律： ,V 3負變換負變換設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義變換為：的線性變換，定義變換為： 則則 也為也為V的線性變換，稱之為的的線性變換，稱之為的負變換負變換. 注：注：()0 ,kkV 三、三、 線性變換的數(shù)量乘法線性變換的數(shù)量乘法 1定義定義的的數(shù)量乘積數(shù)量

4、乘積 為：為：k 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.k 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義的線性變換，定義 k 與與 ,kP (1) ()()klk l (2) ()klkl(3)()kkk(4) 1 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)注：注：線性空間線性空間V上的全體線性變換所成集合對于上的全體線性變換所成集合對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性上的一個線性空間，記作空間，記作( ).L V四、四、 線性變換的逆線性變換的逆 E則稱則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作為可逆變換，稱為的逆變換，記作 1. 1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，

5、若有的線性變換，若有V的變換使的變換使 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)(1) 可逆變換的逆變換也是可逆變換的逆變換也是V的線性變換的線性變換. 1 1111 111 11證：對證：對 ,VkP 111 11111kkk 1111kkk是是V的線性變換的線性變換.1 (2) 線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng)線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng). 證：證：設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V上可逆線性變換上可逆線性變換. 任取任取 若若 則有則有( )( ), ,V 111()( )( ( )( ( ) 1()( ). 為單射為單射.其次，對令則且其次，對令則且,V 1( ), ,V 11( )( )( ). 為滿射為滿射.故

6、為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng). 若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為V 的線性變換，且的線性變換，且.E故可逆，故可逆，. 1 線性變換，則可逆當且僅當線性變換，則可逆當且僅當 12(), (), ()n (3) 設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V的一組基，為的一組基，為V的的 12,n 線性無關(guān)線性無關(guān).證：證： 設(shè)設(shè)1122()()()0.nnkkk 于是于是1 122()0nnkkk因為可逆，由因為可逆，由(2)，為單射，又，為單射，又 (0)0, 1 1220nnkkk而線性無關(guān)，所以而線性無關(guān)，所以12,n 0,1,2, .ikin故線性無關(guān)故線性無關(guān).12(), (),

7、()n 若線性無關(guān)，則它若線性無關(guān)，則它12(), (), ()n 也為也為V的一組基的一組基.1122()()(),nnkkk 因而，對有因而，對有,V 即有即有1122().nnkkk 為滿射為滿射.12(), (), ()n 線性無關(guān)線性無關(guān),1,2, ,iiabin若若 則有則有( )( ), 其次，任取其次，任取 設(shè)設(shè),V 11,nniiiiiiab11()(),nniiiiiiab 即即. 由由(2)， 為可逆變換為可逆變換. 故為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng). 從而，為單射從而，為單射. ,nn 當時，規(guī)定（單位變換）當時，規(guī)定（單位變換）.0n 0E 五、線性變換的多項式五、線性變換的

8、多項式 1線性變換的冪線性變換的冪設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，的線性變換，n為自然數(shù)，定義為自然數(shù)，定義 稱之為的稱之為的n次冪次冪. 易證易證 ,0nm nmnmmnm n 注：注： 1nn 當為可逆變換時，定義的當為可逆變換時，定義的負整數(shù)冪負整數(shù)冪為為 一般地，一般地， .nnn 設(shè)設(shè) 10 ,mmfxa xa xaP x 為為V的一個線性變換，則的一個線性變換，則10( )mmfaaa E2線性變換的多項式線性變換的多項式多項式多項式.也是也是V的一個線性變換，稱的一個線性變換，稱 為線性變換的為線性變換的 ( )f 注：注： ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 P x則有，則有， ,hfg fggf即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律. pfg 對有對有( ), ( ) ,f xg xP x fggf 證明：證明：1,1.kkkkk 練習(xí)：練習(xí)：設(shè)為線性變換，若設(shè)為線性變換，若, ,E證：對證：對k作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當當k=2時，若時，若,E對對兩端左乘，得兩端左乘，得 2, 對對兩端右乘，得兩端右乘，得 2,上兩式相加，即得上兩式相加