自動控制7-1描述函數(shù)法

1、1237.1 7.1 典型非線性特性典型非線性特性 前面各章研究的都是線性系統(tǒng)，或者雖然是非線前面各章研究的都是線性系統(tǒng)，或者雖然是非線性系統(tǒng)，但可進行線性化處理，從而可視為線性系統(tǒng)。性系統(tǒng)，但可進行線性化處理，從而可視為線性系統(tǒng)。事實上，幾乎所有的實際控制系統(tǒng)，都不可避免地帶事實上，幾乎所有的實際控制系統(tǒng)，都不可避免地帶有某種程度的非線性。系統(tǒng)中只要具有一個非線性環(huán)有某種程度的非線性。系統(tǒng)中只要具有一個非線性環(huán)節(jié)，就稱為非線性系統(tǒng)。因此實際的控制系統(tǒng)大都是節(jié)，就稱為非線性系統(tǒng)。因此實際的控制系統(tǒng)大都是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)。 本章將主要討論關(guān)于非線性系統(tǒng)的基本概念，以本章將主要討論關(guān)于非線性

2、系統(tǒng)的基本概念，以及兩種基本分析方法：描述函數(shù)法和相平面法。及兩種基本分析方法：描述函數(shù)法和相平面法。 4 在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性特間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性特性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為本質(zhì)非線性。為簡化對問題處理，稱這類非線性為本質(zhì)非線性。為簡化對問題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為來代替，稱為典型非線性特性典型非線性特性。5yx

3、ka- -a0M- -M 飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，放大器及放大器及執(zhí)行機構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和執(zhí)行機構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和。, , |, - -Mxay kxxaMxa1飽和特性飽和特性a為線性區(qū)寬度，為線性區(qū)寬度，k為線性區(qū)斜率。為線性區(qū)斜率。62死區(qū)特性死區(qū)特性 yxka- -a0 0,|=(- ), (+ ), 1，t lnx0/(x0 - -1) 時，時，隨隨 t 增大，增大，x(t) 遞增；遞增；t = lnx0 /(x0 - -1) 時，時，x(t)為無窮大。為無窮大。當(dāng)當(dāng)x01x00 0)(122-xxxx 該方程描

4、述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。 當(dāng)擾動使當(dāng)擾動使x1時，因為時，因為- - (1- -x2 )1時，因為時，因為- - (1- -x2 )0，系統(tǒng)具有正阻尼，此，系統(tǒng)具有正阻尼，此時系統(tǒng)消耗能量，時系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運動呈收斂形式；的運動呈收斂形式； 而當(dāng)而當(dāng)x=1時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動對形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動對x的影響，保的影響，保持幅值為持幅值為1的等幅振蕩。的等幅振蕩。13 所謂所謂是指沒有外界周期變化信號的作用是指沒有外界周期變化信號的作用

5、時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的運運動，簡稱自振。動，簡稱自振。 考慮著名的范德波爾方程考慮著名的范德波爾方程 0 0)(122-xxxx 該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。 當(dāng)擾動使當(dāng)擾動使x1時，因為時，因為- - (1- -x2 )1時，因為時，因為- - (1- -x2 )0，系統(tǒng)具有正阻尼，此，系統(tǒng)具有正阻尼，此時系統(tǒng)消耗能量，時系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運動呈收斂形式；的運動呈收斂形式； 而當(dāng)而當(dāng)x=1時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系

6、統(tǒng)能克服擾動對形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動對x的影響，保的影響，保持幅值為持幅值為1的等幅振蕩。的等幅振蕩。14 非線性系統(tǒng)對于正弦輸入信號的響應(yīng)非線性系統(tǒng)對于正弦輸入信號的響應(yīng)，除了含有，除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有關(guān)于與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有關(guān)于的高的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。能發(fā)生躍變。 考慮有名的杜芬方程考慮有名的杜芬方程 tpxkxkxfxmcos331 x162345 15 到目

7、前為止，非線性系統(tǒng)的研究還缺乏成熟，結(jié)論不能像到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還缺乏成熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進行分析。工程上常用的方法有以下幾種：初始條件等具體情況進行分析。工程上常用的方法有以下幾種：（1）小偏差線性化（非本質(zhì)非線性）小偏差線性化（非本質(zhì)非線性）（2）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性） 這是一種頻域分析方法，其實質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，這是一種頻域分析方法，其實質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性特性線性化，然后用頻率法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)。將非線

8、性特性線性化，然后用頻率法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，這種方法不它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，這種方法不受系統(tǒng)階次的限制。受系統(tǒng)階次的限制。（3）相平面法（本質(zhì)非線性）相平面法（本質(zhì)非線性） 相平面法是求解一、二階常微分方程的圖解法。通過在相相平面法是求解一、二階常微分方程的圖解法。通過在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。這是一種時域分析法，但僅適用于一階和二階系統(tǒng)。這是一種時域分析法，但僅適用于一階和二階系統(tǒng)。 （4）計算機求解法計算機求解法 用模擬計算機或數(shù)

9、字計算機直接求解非線性微分方程，對于用模擬計算機或數(shù)字計算機直接求解非線性微分方程，對于分析和設(shè)計復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的方法。分析和設(shè)計復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的方法。167.2 描述函數(shù)描述函數(shù)法法： 當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時，系統(tǒng)中非線性當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時非線性系統(tǒng)就近似等效為一個線性系統(tǒng)，述函數(shù)。這時非線性系統(tǒng)就近似等效為一個線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率

10、法對系統(tǒng)進行頻域分并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對系統(tǒng)進行頻域分析。析。 描述函數(shù)法主要用于分析在無外作用的情況下，描述函數(shù)法主要用于分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的和和。17 1. 描述函數(shù)的應(yīng)用條件描述函數(shù)的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成一個非線性環(huán)節(jié)）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成一個非線性環(huán)節(jié)N 和一個線性部分和一個線性部分G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的， 即即 y(x) = - - y(- -x)。（3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通

11、濾波特性。）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。7.2.1 描述函數(shù)的描述函數(shù)的定義定義182.描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義 設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號是正弦信號設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號是正弦信號x(t) = Asin t則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏級數(shù)級數(shù)0nnn=1( ) =+(cos+sin)y tAAntBnt 22nn0011=( )cosd=( )sindAy tnttBy tntt非線性環(huán)節(jié)奇對稱非線性環(huán)節(jié)奇對稱，則有，則有A0 = 0其中，其中，A0 是直流分量；是直流分量； Ancosnt+Bnsinnt 為

12、為 n次諧波分量；次諧波分量； An、Bn 為傅里葉系數(shù)。為傅里葉系數(shù)。0 201=( )d2Ay tt19 由于在傅氏級數(shù)中由于在傅氏級數(shù)中n越大，諧波分量的頻率越高，越大，諧波分量的頻率越高，An, Bn越小。此時若系統(tǒng)又滿足第三個條件，則高次諧越小。此時若系統(tǒng)又滿足第三個條件，則高次諧波分量又進一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的波分量又進一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即11111( )( ) =cos+sinsin()y ty tAtBt =Yt + 1 2210011=( )cosd=( )sindAy tttBy ttt22111

13、YAB111= arctanAB20類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比定義件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來表示。來表示。122j11111+( )=e=arctanABYAN AAAB 由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出： (1) 描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個非線性元件近似地看作描述函數(shù)的概念便可以把一個非線

14、性元件近似地看作一個線性元件，因此又叫做諧波線性化。一個線性元件，因此又叫做諧波線性化。 (2) 描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對基波正弦量的傳描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。遞能力。對于常見非線性特性，描述函數(shù)僅是對于常見非線性特性，描述函數(shù)僅是A的函的函數(shù)，記為數(shù)，記為N(A)。217.2.2 描述函數(shù)的求法描述函數(shù)的求法 （1）首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形入下的輸出波形，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 （2）利用傅氏級數(shù)求出）利用傅氏級數(shù)求出y(t) 的基波分量。的基波分量。 （3

15、）將求得的基波分量代入定義式，即得）將求得的基波分量代入定義式，即得N(A) 。 下面計算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。下面計算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。 1. 理想繼電器特性理想繼電器特性 yx0M- -M220 x t2 特點：特點：1）方波信號）方波信號2）與）與x(t)同周期同周期3）奇函數(shù)）奇函數(shù)yx0M- -M y0 tM 2 - -M23直流分量直流分量為：為：基波余弦分量的系數(shù)基波余弦分量的系數(shù) A1為：為：0 -22002011=( )d=dd22=dd02Ay ttMt-MtMtt1 -2020201=( )cosd1cosdcosd=cosdcosd0Ay tttMt

16、t-MttMtttt24所以基波分量為所以基波分量為1( ) =sin4My tt故理想繼電器特性的描述函數(shù)為故理想繼電器特性的描述函數(shù)為即即 N(A)的相位角為零度的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號幅值是輸入正弦信號A的函數(shù)的函數(shù).11Y4MN(A)= =AA基波正弦分量的系數(shù)基波正弦分量的系數(shù)B1為為：1 -2020201=( )sind1sindsind=sindsindBy tttMtt-MttM4Mtttt252.飽和特性飽和特性 直流分量與基波余弦分量直流分量與基波余弦分量的系數(shù)為零的系數(shù)為零A0 = A1= 0，而基，而基波正弦分量的系數(shù)波正弦分量的系數(shù)B1為為y0 x t2 1

17、A a- - 1x0Mka- -M- -M y0 tM 2 1- - 1 特點：特點：1）與）與x(t)同周期同周期2）奇函數(shù)）奇函數(shù)26 式中式中1=arctan(a/A)?？傻蔑柡吞匦缘拿枋龊瘮?shù)為可得飽和特性的描述函數(shù)為12102021( )sin4sin()2arcsin1 ()By ttdtkAtdtkAaaaAAA-212( )arcsin1 ()BkaaaN AAAAA- 由上式可見，飽和特性的由上式可見，飽和特性的N(A)也是輸入正弦信號幅值也是輸入正弦信號幅值A(chǔ)的函數(shù)。這說明飽和特性等效于一個變系數(shù)的比例環(huán)的函數(shù)。這說明飽和特性等效于一個變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)節(jié)，當(dāng)Aa時，比例系

18、數(shù)總小于時，比例系數(shù)總小于k。27 以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，但計算也復(fù)雜得多。此時也可以將復(fù)雜的非線件特性但計算也復(fù)雜得多。此時也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個簡單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再分解為若干個簡單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。線件特件的描述函數(shù)。7.2.3 組合非線性特性的描述組合非線性特性的描述1非線性特性的并聯(lián)計

19、算非線性特性的并聯(lián)計算 設(shè)有兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是設(shè)有兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實數(shù)。單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實數(shù)。28x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2 y1(t) = y11(t) + y12(t) = N1Asin t + N2Asin t = (N1+ N2 ) Asin t N = (N1+ N2 ) 總的描述函數(shù)總的描述函數(shù) 若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的 描述函數(shù)，等于描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和和N2是復(fù)數(shù)時，該是復(fù)數(shù)時，該結(jié)

20、論仍成立。結(jié)論仍成立。290M0kxy+xk0My 一個具有死區(qū)的一個具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A)。30 解：該死區(qū)非線性特性可分解為解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個死區(qū)繼電一個死區(qū)繼電器特性器特性和和一個典型死區(qū)特性一個典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為的并聯(lián)，描述函數(shù)為221242( )1 ()arctan1 ()2242sin1 ()MkN AAAAAAkMkkAAAA- 其中2非線性特性的串聯(lián)計算非線性特性的串聯(lián)計算必須首先求出這兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性必須首先求出這兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。特

21、性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。x(t)N1y(t)N2z(t)311 20 x y 例例7-2 求圖所示兩個非線性特性串聯(lián)后總的描述函求圖所示兩個非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)數(shù)N(A)。 k1=11 20 xz1 20 z yk2=2k=2321 20 x yk=23321112222222( )arctan1()22arctan1()24212211arcsinarcsin1()1()kN AAAAkAAAAAAAAA-其中A1等效為一個死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個具等效為一個死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個具有完全相同的線性區(qū)斜率有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死

22、區(qū)寬度和不同死區(qū)寬度 1=1及及 2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。 34 前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述函數(shù)，一個非線性環(huán)節(jié)就可看作一個線性環(huán)節(jié)，而非函數(shù)，一個非線性環(huán)節(jié)就可看作一個線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進一步應(yīng)用線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的頻率法頻率法進行分析進行分析.7.2.4 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng) 這種利用描述函數(shù)對非線性系統(tǒng)進行分析的方法這種利用描述函數(shù)對非線性系統(tǒng)進行分析的方法稱為稱為描述函數(shù)法描述函數(shù)法，這種方法只

23、能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定，這種方法只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。性和自振蕩。1. 假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足上節(jié)所要求的描述函假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足上節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性或頻率特性G(j)表示。表示。35x(t)y(t)N (A)G(s)r(t)=0c(t)()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj0)()(1jGAN而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或或式中式中- -1/N(A)叫做非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)叫做

24、非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)(負(fù)倒特性負(fù)倒特性曲線曲線)。由結(jié)構(gòu)圖可以得到線性化后的閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為由結(jié)構(gòu)圖可以得到線性化后的閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為)(1)(ANjG-36 對比在線性系統(tǒng)分析中應(yīng)用奈氏判據(jù)，當(dāng)滿足對比在線性系統(tǒng)分析中應(yīng)用奈氏判據(jù)，當(dāng)滿足G( j ) = - -1時，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩時，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。顯然，狀態(tài)。顯然，- -1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(- -1, j0)點。點。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是(- -1, j0)。而非線性。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是- -1

25、/N(A)曲線。曲線。 綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的的方法：方法： 首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極，然后在極坐標(biāo)圖上分別畫出線性部分的坐標(biāo)圖上分別畫出線性部分的G( j )曲線和非線性部分曲線和非線性部分的的- -1/N(A)曲線，并曲線，并假設(shè)假設(shè)G(s)的極點均在的極點均在s 左半平面左半平面，則則37 (1) 若若G(s)曲線不包圍曲線不包圍- -1/N(A)曲線，則非線性系曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2) 若若G(s)曲線包圍曲線包圍- -1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)

26、曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。G( j )0Im-1/N(A)ReG( j )0ImRe-1/N(A)38G( j )0ImRe-1/N(A)M2M1 (3) 若若G(s)曲線與曲線與- -1/N(A)曲線相交，則在理論上曲線相交，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為自振蕩。將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為自振蕩。39 具有具有死區(qū)死區(qū)繼電器特性非線性系繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖所示，試確定統(tǒng)如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍的范圍。013Ks(s+1)(0.5s+1)r(t)=0c(t)40-1/N(A)21A-= -A1N(A)112 1 - ()A其中解：死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函

27、數(shù)為解：死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為當(dāng)當(dāng)A=1時，時， - -1/N(A) = - -當(dāng)當(dāng)A=時，時， - -1/N(A)= - -。其極值發(fā)生在其極值發(fā)生在A=1.414處，處，此時，此時， - -1/N(A)= -/6。0ImReG( j )(10.5(1K)G(jjjj1)1.25(0.25)0.5K(1j11.250.251.5K24224-M2M12Mhh2A-41ImG( j )= 0，得得G( j )曲線與負(fù)實軸交點處的頻率曲線與負(fù)實軸交點處的頻率 =1.414。將將 =1.414代入實部，得該交點為負(fù)實軸代入實部，得該交點為負(fù)實軸上上- -K/3這點。令這點。令解得解得- -

28、36K2K422. 下面從信號的角度分析自振蕩產(chǎn)生的條件。在圖下面從信號的角度分析自振蕩產(chǎn)生的條件。在圖示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自蕩，則意味著系統(tǒng)中有一示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為個正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為x(t)=Asin t則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為y1(t)=N(A)A sin t + N(A)而線性部分的輸出信號為而線性部分的輸出信號為c(t) =G( j )N(A)Asin t + G( j )+ N(A)根據(jù)系統(tǒng)中存在自振蕩的假設(shè)，根據(jù)系統(tǒng)中存在自振蕩的假設(shè)，r(t)

29、=0，故，故x(t) = - - c(t)即即 Asin t = - -G( j )N(A)Asin t + G( j )+ N(A)43所以所以 G( j )N(A) = 1 G( j ) + N(A) = - G( j )0ImRe -1/N(A)M2M1dcbaM1點是穩(wěn)定的自振蕩。點是穩(wěn)定的自振蕩。M2是不穩(wěn)定的振蕩點。是不穩(wěn)定的振蕩點。 對于穩(wěn)定的自振蕩，其對于穩(wěn)定的自振蕩，其振幅和頻率是確定的，并可振幅和頻率是確定的，并可以測量得到。計算時以測量得到。計算時:可由可由- -1/ N(A)曲線的自曲線的自變量變量A 的大小來確定，的大小來確定，由由G( j )曲線的自曲線的自變量變量

30、 來確定。來確定。)(1)(ANjG-44值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件時可知，值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件時可知，對于穩(wěn)定的自振蕩，計算所得到的振幅和頻率是非線對于穩(wěn)定的自振蕩，計算所得到的振幅和頻率是非線性環(huán)節(jié)的輸入性環(huán)節(jié)的輸入信信號號x(t)=Asin t的振幅和頻率，而不是的振幅和頻率，而不是系統(tǒng)的輸出信號系統(tǒng)的輸出信號c(t)。 具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。01r(t)=0c(t)10s(s+1)(s+2)- -145解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為AAMAN44)(G( j )0ImRe- -1/N(A)(2(110)G(jjjj4)5()10(2j453024224-求求G( j )與與- -1/N(A)曲線的交點。曲線的交點。令令I(lǐng)mG( j ) =0，得，得 =1.414 (rad/s)。Re G( j ) =1.414= - -1.66A=2.14)(1AAN-1.664)(1-AAN460132