微積分在實際中的應(yīng)用

1、微積分在實際中的應(yīng)用一、微積分的發(fā)明歷程 如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。微積分是微分學和積分學的總稱。它是一種數(shù)學思想，“無限細分”就是微分，“無限求合”就是積分。微分學包括求導的運算，是一套關(guān)于變化的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可以用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念、求面積的無限小方法、積分與微分的互逆關(guān)系。前兩階段的工作，歐洲及中國的大批數(shù)學家都做出了各自的貢獻。

2、 從17世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數(shù)十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學的一個重要分枝還是牛頓和萊布尼茨。 二、微積分的思想 從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀，古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前287前212）的著作圓的測量和論球與圓柱中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著

3、近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，與此同時，戰(zhàn)國時期莊子在莊子·天下篇中說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，體現(xiàn)了無限可分性及極限思想。公元3世紀,劉徽在九章算術(shù)中提及割圓術(shù)“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣” 用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。他的極限思想和無窮小方法，也是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。雖然最后是歐洲人真正的研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，但中國古代數(shù)學對于微積分的出色工作也是不可忽視的。從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到14世紀初弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學、計算技術(shù)改革和珠

4、算等數(shù)學史上的重要成果，中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院螅斯扇∈恐圃斐闪藢W術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。 三、解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ) 由于16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。 到了

5、17世紀，有許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述問題做了大量的研究工作。 笛卡爾1637年發(fā)表了科學中的正確運用理性和追求真理的方法論（簡稱方法論），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，表示變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應(yīng)關(guān)系。此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長度的量之間不可相加減的束縛。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一

6、了起來。笛卡爾就這樣把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學的廣闊空間。四、牛頓的“流數(shù)術(shù)” 數(shù)學史的另一次飛躍就是研究“形”的變化。17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系。到了17世紀下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學家、物理學家牛頓（16421727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概

7、念直接聯(lián)系的數(shù)學理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是求曲邊形面積、運用無窮多項方程的計算法和流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)。這些概念是力概念的數(shù)學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，依賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形線、角、體，都看作力學位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。 五、牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。（1）已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系，這相當于微分學。 （2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微

8、分方程。 （3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。 牛頓已完全清楚上述（1）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學和積分學之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。 六、萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確 而德國數(shù)學家萊布尼茨（G.W. Leibniz 16461716）則是從幾何方面獨立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法

9、與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達形式采用數(shù)學符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質(zhì)，強有力地促進了高等數(shù)學的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號，正像印度阿拉伯數(shù)碼促進了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進了微積分學的發(fā)展。萊布尼茨是數(shù)學史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一。 牛頓當時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關(guān)鍵之一。

10、 七、牛頓-萊布尼茨公式進一步發(fā)展 事實上，他們二人是各自獨立地建立了微積分。最后還應(yīng)當指出的是，牛頓的“流數(shù)術(shù)”，在概念上是不夠清晰的，理論上也不夠嚴密，在運算步驟中具有神秘的色彩，還沒有形成無窮小及極限概念。牛頓和萊布尼茨的特殊功績在于，他們站在更高的角度，分析和綜合了前人的工作，將前人解決各種具體問題的特殊技巧，統(tǒng)一為兩類普通的算法微分與積分，并發(fā)現(xiàn)了微分和積分互為逆運算，建立了所謂的微積分基本定理（現(xiàn)今稱為牛頓萊布尼茨公式），從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，并為其深入發(fā)展和廣泛應(yīng)用鋪平了道路。由于受當時歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎(chǔ)還不十分牢靠，有些概念比較模

11、糊，因此引發(fā)了長期關(guān)于微積分的邏輯基礎(chǔ)的爭論和探討。經(jīng)過18、19世紀一大批數(shù)學家的努力，特別是在法國數(shù)學家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴格地證明了微積分基本定理即牛頓萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個基本嚴格的完整體系。 八、牛頓萊布尼茨公式的應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式實質(zhì)就是定積分。把微積分的理論應(yīng)用到現(xiàn)實當中，通過數(shù)值的計算，服務(wù)于生產(chǎn)實踐當中。而在生產(chǎn)實踐中求體積是一種很廣泛的應(yīng)用，以下兩個公式就是定積分中的求體積的應(yīng)用公式：繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積公式是V=a,bf(x) 2dx 即：一個簡單的二維圖形繞著二維坐標的x軸旋轉(zhuǎn)，得到的三維的立體圖形的

12、體積。繞y軸旋轉(zhuǎn)體積公式同理,將x,y互換即可,V=a,b(y)2dy即：一個簡單的二維圖形繞著二維坐標的y軸旋轉(zhuǎn)，得到的三維的立體圖形的體積。其中：是積分符號，a,b是積分區(qū)域，a是積分上限，b是積分下限，f(x)是被積分的函數(shù)，dx是積分符號例如下圖求橢球的體積，橢圓的標準方程為： x2/a2+y2/b2=1可以推導出y2=a2b2-b2x2/a2 =f(x) 2 此圖形可以看成是橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)，積分區(qū)域是-15,15,由此可以代入公式就可以得到此托球的體積約是2420*立方厘米。牛頓萊布尼茨公式為實際生產(chǎn)中的計算面積、體積等提供一套通用的方法，同時使得西方的制造業(yè)都得到很好的發(fā)展。以上是積分的應(yīng)用，而在經(jīng)濟應(yīng)用當中，主要是微分的應(yīng)用。例如：變化率（邊際）這一個概念，實際在數(shù)學上就是對經(jīng)濟函數(shù)求微分。R=D*P（收益函數(shù)，R其中代表利潤，D代表需求量，P代表價格）需要知道收益的增長率，就是對該函數(shù)求導（即微分）。微分實質(zhì)就是增量之比的