物理與數(shù)學(xué)的經(jīng)典結(jié)合

1、物理與數(shù)學(xué)的經(jīng)典結(jié)合論偏微分方程的起源 如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡(jiǎn)稱微分方程；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。  在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中，人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函數(shù)來(lái)描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問(wèn)題有多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。比如，從物理角度來(lái)說(shuō)，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述

2、出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)表示。應(yīng)該指出，對(duì)于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個(gè)變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實(shí)際上“在一點(diǎn)”的密度是不存在的。而我們把在一點(diǎn)的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當(dāng)體積無(wú)限縮小的時(shí)候的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。 微積分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作論動(dòng)力學(xué)中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多

3、大注意。1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。  和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題，提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。    偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的

4、時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫出了熱的解析理論，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。偏微分方程的內(nèi)容偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內(nèi)容？這里我們可從一個(gè)例子的研究加以介紹。  弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的 F=ma，但是弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上。然而，如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若干個(gè)極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。    弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性

5、物質(zhì)，比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時(shí)候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng)，雖然只因其所接觸的一段弦振動(dòng)，但是由于張力的作用，傳播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。    用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分方程。偏方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動(dòng)方程，它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程，也就是雙曲型偏微分方程。    偏微分方程的解一般有無(wú)窮

6、多個(gè)，但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活惉F(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。    拿上面所舉的弦振動(dòng)的例子來(lái)說(shuō)，對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器，如果一種是以薄片撥動(dòng)弦，另一種是以弓在弦上拉動(dòng)，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。    

7、;天文學(xué)中也有類似情況，如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)，必須要知道這些天體的質(zhì)量，同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個(gè)起始時(shí)間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，總會(huì)有類似的附加條件。    就弦振動(dòng)來(lái)說(shuō)，弦振動(dòng)方程只表示弦的內(nèi)點(diǎn)的力學(xué)規(guī)律，對(duì)弦的端點(diǎn)就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對(duì)象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問(wèn)題。    當(dāng)然，客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”，如定場(chǎng)問(wèn)題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、

8、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題”，如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無(wú)邊界的弦了。    在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達(dá)同一類物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問(wèn)題的依據(jù)；定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性，它提出了問(wèn)題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問(wèn)題。    求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。    偏微

9、分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級(jí)數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題，分離變數(shù)法可以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。    應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問(wèn)題是不能嚴(yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似解。   常用的方法有變分法

10、和有限差分法。變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的近似解；有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題，如研究某個(gè)不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題，由于求解比較困難，可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì)，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。   隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)