1橢圓的參數(shù)方程 (3)

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程例例1、如下圖，以原點為圓心，分別以如下圖，以原點為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個圓，點為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點，過與小圓的交點，過點點A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點，過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當半徑求當半徑OA繞點繞點O旋轉(zhuǎn)時點旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB分析：分析：點點M的橫坐標與點的橫坐標與點A的橫坐標相同的橫坐標相同,點點M的縱坐標與點的縱坐標與點B的縱坐標相同的縱坐標相同. 而而A、B的坐標可以通過的坐標可以通過引進參數(shù)建立聯(lián)系引進參數(shù)建立聯(lián)系. 設(shè)設(shè)XOA=例例1

2、、如下圖，以原點為圓心，分別以如下圖，以原點為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個圓，點為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點，過與小圓的交點，過點點A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點，過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當半徑求當半徑OA繞點繞點O旋轉(zhuǎn)時點旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即為即為點點M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax)( 為為參參數(shù)數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya1

3、2222x即為即為點點M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. .1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓的參是橢圓的參 數(shù)方程數(shù)方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分分別是橢圓的長半軸長和短半軸長別是橢圓的長半軸長和短半軸長. ab另外另外, 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù)的取值范圍是的取值范圍是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點在 軸cos ,sin .xbYya焦點在 軸OAMxyNB知識歸納知識歸納橢圓的標準方程橢圓的標準方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbyco

4、sa為參數(shù)為參數(shù) xxyO圓的標準方程圓的標準方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為參數(shù)為參數(shù) rrx的幾何意義是的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.【練習練習1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx練習練習2：已知橢圓的參數(shù)方

5、程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是是參數(shù)參數(shù)) ，則此橢圓的長軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），短軸長為），短軸長為（ ），焦點坐標是（），焦點坐標是（ ），離心率是），離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例2、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點上求一點P，使，使P到直線到直線 l：x-y+4=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P設(shè)設(shè)2882|4yy|d則則分析分析2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè)222|4sincos| d則則分析分析3：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點即為所求至首次與橢圓相切，切點即為所求

6、.小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點的坐標用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。點的坐標用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。例例3、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy:10cos ,8sinA解 設(shè)20cos,16sin20 16sincos160sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX練習練習3:已知已知A,B兩點是橢圓兩點是橢圓 與坐標軸正半軸的兩個交點與坐標軸正半軸的兩個交點,在第一象限的橢

7、在第一象限的橢圓弧上求一點圓弧上求一點P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:,ABCABP解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點P(3cos,2sin) S面積一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求點到線的距離最大值線AB的方程為66所以當=時有最大值 面積最大4這時點 的坐標為(, 2)練習練習41、動點、動點P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最最小小值值最最大大值值2、取一切實數(shù)時，連接取一切實數(shù)時，連接A(4sin,6cos)和和B(