廣石化第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念

1、1 流動(dòng)的分類流動(dòng)的分類* * 拉格朗日法和歐拉法拉格朗日法和歐拉法* * 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)* * 跡線和流線跡線和流線* *、流管、流管 有旋流動(dòng)、無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)、無(wú)旋流動(dòng)* *2 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念2 2.1.1 2.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性: :（1 1）流體由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，很難采用質(zhì)點(diǎn)曲線）流體由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，很難采用質(zhì)點(diǎn)曲線 運(yùn)動(dòng)理論來(lái)研究；運(yùn)動(dòng)理論來(lái)研究；（2 2）流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，除了）流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，除了平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)外，還必須外，還必須 考慮流體考慮流體變形變形的因素。的因素。2.12.1概述概述3 在數(shù)學(xué)上，流體的

2、運(yùn)動(dòng)參數(shù)被表示為空間在數(shù)學(xué)上，流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)被表示為空間和時(shí)間的函數(shù)。和時(shí)間的函數(shù)。 vx = vx (x, y, z, t) vy = vy (x, y, z, t) vz = vz (x, y, z, t) 場(chǎng)場(chǎng)：由于流體團(tuán)所占據(jù)的空間每一點(diǎn)都是：由于流體團(tuán)所占據(jù)的空間每一點(diǎn)都是研究對(duì)象，因此就將其看成一個(gè)研究對(duì)象，因此就將其看成一個(gè)“場(chǎng)場(chǎng)”。 流場(chǎng)流場(chǎng)：充滿流體的空間被稱為：充滿流體的空間被稱為“流場(chǎng)流場(chǎng)”。 相應(yīng)地有相應(yīng)地有“速度場(chǎng)速度場(chǎng)”、“加速度場(chǎng)加速度場(chǎng)”、“應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)”、“密度場(chǎng)密度場(chǎng)”等。等。 4 2.1.2 流動(dòng)的分類流動(dòng)的分類 （1）按隨時(shí)間變化特性按隨時(shí)間變化特性:穩(wěn)

3、態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)和和非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng) 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，也叫：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，也叫定常流動(dòng)、恒定流動(dòng)定常流動(dòng)、恒定流動(dòng)。 vx= vx(x,y,z) vy= vy(x,y,z) vz= vz(x,y,z) 非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間有關(guān)，也：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間有關(guān)，也叫叫非定常流動(dòng)、非恒定流非定常流動(dòng)、非恒定流。（例。（例1.2.） 說(shuō)明一點(diǎn)說(shuō)明一點(diǎn)：流體流動(dòng)穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與所選：流體流動(dòng)穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與所選定的參考系有關(guān)。定的參考系有關(guān)。5（2 2）按空間變化特性可分一、二、三維流動(dòng)）按空間變化特性可分一、二、三維流動(dòng) 一維流動(dòng)一維流動(dòng)：通

4、常流體速度只沿一個(gè)空間坐：通常流體速度只沿一個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為一維流動(dòng)。標(biāo)變化的流動(dòng)稱為一維流動(dòng)。 二維流動(dòng)二維流動(dòng)：通常流體速度只沿二個(gè)空間坐：通常流體速度只沿二個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為二維流動(dòng)。標(biāo)變化的流動(dòng)稱為二維流動(dòng)。錄像錄像1 1 錄像錄像2 2 三維流動(dòng)三維流動(dòng)：通常流體速度沿三個(gè)空間坐標(biāo)：通常流體速度沿三個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為三維流動(dòng)。變化的流動(dòng)稱為三維流動(dòng)。 6ZyxVx=0Vy=0Vz= Vz(x,y)Vz(a)二維流動(dòng)二維流動(dòng)rzVr=0V=0Vz= Vz(r)(b)一維流動(dòng)一維流動(dòng) 思考題思考題：如果對(duì)于圖（如果對(duì)于圖（a）中有）中有 Vx=0， Vy=0， Vz=

5、 Vz(x,y,z) 則應(yīng)該屬于幾維流動(dòng)？則應(yīng)該屬于幾維流動(dòng)？ 注意注意：流動(dòng)的流動(dòng)的維數(shù)維數(shù)與流體與流體速度的分量數(shù)速度的分量數(shù)不是一回事。不是一回事。如圖如圖（a） 、(b)所示所示。7（3）按流動(dòng)狀態(tài)可分為）按流動(dòng)狀態(tài)可分為層流層流和湍流（和湍流（1.2.3.） 1883年，著名的年，著名的雷諾雷諾實(shí)驗(yàn)揭示出粘性流動(dòng)有兩種實(shí)驗(yàn)揭示出粘性流動(dòng)有兩種性質(zhì)不同的型態(tài)，層流和湍流。性質(zhì)不同的型態(tài)，層流和湍流。 流態(tài)的判斷：雷諾準(zhǔn)數(shù)流態(tài)的判斷：雷諾準(zhǔn)數(shù)Re=ud /對(duì)于管內(nèi)流動(dòng)，對(duì)于管內(nèi)流動(dòng)，Re4000為湍流。為湍流。8 奧斯本奧斯本雷諾雷諾 (1842-1912) 18421842年年8 8月

6、月2323日出生于日出生于愛爾蘭的貝爾法斯特。愛爾蘭的貝爾法斯特。主要貢獻(xiàn)主要貢獻(xiàn)：對(duì)管流從層流轉(zhuǎn)捩到湍流的流動(dòng)條件的研究。在：對(duì)管流從層流轉(zhuǎn)捩到湍流的流動(dòng)條件的研究。在這項(xiàng)研究中得出一個(gè)無(wú)量綱的動(dòng)力相似準(zhǔn)則，即這項(xiàng)研究中得出一個(gè)無(wú)量綱的動(dòng)力相似準(zhǔn)則，即雷諾數(shù)雷諾數(shù)。用。用時(shí)間平均方法將湍流看作時(shí)均場(chǎng)與脈動(dòng)場(chǎng)的疊加，由此得到的時(shí)間平均方法將湍流看作時(shí)均場(chǎng)與脈動(dòng)場(chǎng)的疊加，由此得到的雷諾平均雷諾平均NSNS方程方程，至今還是湍流計(jì)算中的主要數(shù)學(xué)模型。，至今還是湍流計(jì)算中的主要數(shù)學(xué)模型。 雷諾一生發(fā)表過(guò)雷諾一生發(fā)表過(guò)7070篇學(xué)術(shù)報(bào)告。涉獵的范圍包括流體力學(xué)、篇學(xué)術(shù)報(bào)告。涉獵的范圍包括流體力學(xué)、熱力

7、學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)、水汽冷凝、船用螺旋推進(jìn)器、船用渦輪熱力學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)、水汽冷凝、船用螺旋推進(jìn)器、船用渦輪推進(jìn)器、水力剎車、水力潤(rùn)滑以及用于測(cè)定熱功當(dāng)量的實(shí)驗(yàn)儀推進(jìn)器、水力剎車、水力潤(rùn)滑以及用于測(cè)定熱功當(dāng)量的實(shí)驗(yàn)儀器等。器等。19031903年時(shí)，雷諾出版了一部名為年時(shí)，雷諾出版了一部名為宇宙的亞層力學(xué)宇宙的亞層力學(xué)的的書。在這部書中，雷諾聲稱整個(gè)空間是由非常小的球體填充而書。在這部書中，雷諾聲稱整個(gè)空間是由非常小的球體填充而成的。至今也沒有人能完全明白這本書的內(nèi)容。成的。至今也沒有人能完全明白這本書的內(nèi)容。92.2 2.2 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 2.2.12.2.1拉格

8、朗日法拉格朗日法（又稱（又稱質(zhì)點(diǎn)法質(zhì)點(diǎn)法） 通過(guò)研究流場(chǎng)中單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)通過(guò)研究流場(chǎng)中單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而研究流體的整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。具體地說(shuō)：是沿而研究流體的整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。具體地說(shuō)：是沿流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行跟蹤研究。流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行跟蹤研究。 基本思想基本思想：將流體質(zhì)點(diǎn)表示為空間坐標(biāo)、將流體質(zhì)點(diǎn)表示為空間坐標(biāo)、時(shí)間的函數(shù)。在描述流體時(shí)，跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)，時(shí)間的函數(shù)。在描述流體時(shí)，跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)，指出各流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置和有關(guān)的物指出各流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置和有關(guān)的物理參數(shù)（比如速度，壓強(qiáng)、密度、溫度等）。理參數(shù)（比如速度，壓強(qiáng)、密度、溫度等）。10 要跟蹤流體，首先要區(qū)別

9、流體質(zhì)點(diǎn)，最簡(jiǎn)單的方法是：要跟蹤流體，首先要區(qū)別流體質(zhì)點(diǎn)，最簡(jiǎn)單的方法是：以某一初始時(shí)刻以某一初始時(shí)刻t t0 0質(zhì)點(diǎn)的位置作為質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。質(zhì)點(diǎn)的位置作為質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置用直角坐標(biāo)系可表示為：流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置用直角坐標(biāo)系可表示為：r0r(a,b,c,t0)(x,y,z,t)式中：式中：a,b,c被稱為拉格朗日變數(shù)。不同的一組（被稱為拉格朗日變數(shù)。不同的一組（a,b,c） 表示不同的流體質(zhì)點(diǎn)。表示不同的流體質(zhì)點(diǎn)?；蛴檬噶勘硎緸榛蛴檬噶勘硎緸?1kvjvivktzjtyitxtrvzyx 其加速度可表示為：其加速度可表示為：kajaiaktvjtvitvtvazyxz

10、yx ：v x = vx(a,b,c,t) vy = vy(a,b,c,t) vz = vz(a,b,c,t) ax = ax(a,b,c,t) ay = ay(a,b,c,t) az = az(a,b,c,t) 對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)，其速度可表示為：對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)，其速度可表示為： 12同樣流體密度、壓力和溫度可表示為：同樣流體密度、壓力和溫度可表示為： 對(duì)于流體任一物理參數(shù)對(duì)于流體任一物理參數(shù)B均可類似地表示為均可類似地表示為 B=B(a,b,c,t). 對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)的任一物理參數(shù)對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)的任一物理參數(shù)B的變化率都可的變化率都可以表示為：以表示為： 13ttcbaBtB),( 用

11、拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)看起來(lái)比較簡(jiǎn)用拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，實(shí)際上函數(shù)單，實(shí)際上函數(shù)B（a,b,c,t)一般是不容易找到的，一般是不容易找到的，往往不能用統(tǒng)一的函數(shù)形式描述所有質(zhì)點(diǎn)的物往往不能用統(tǒng)一的函數(shù)形式描述所有質(zhì)點(diǎn)的物理參數(shù)的變化。所以這種方法只在少數(shù)情況下理參數(shù)的變化。所以這種方法只在少數(shù)情況下使用，在本書中主要使用歐拉法。使用，在本書中主要使用歐拉法。14 2.2.2 歐拉法歐拉法（也叫（也叫場(chǎng)法場(chǎng)法） 基本思想：在確定的空間點(diǎn)上來(lái)考察流體的流動(dòng)，在確定的空間點(diǎn)上來(lái)考察流體的流動(dòng)，將流體的運(yùn)動(dòng)和物理參量直接表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的將流體的運(yùn)動(dòng)和物理參量直接表示為空間坐標(biāo)和

12、時(shí)間的函數(shù)，而不是沿運(yùn)動(dòng)的軌跡去追蹤流體質(zhì)點(diǎn)。函數(shù)，而不是沿運(yùn)動(dòng)的軌跡去追蹤流體質(zhì)點(diǎn)。 例：在直角坐標(biāo)系的任意點(diǎn)（例：在直角坐標(biāo)系的任意點(diǎn)（x,y,z）來(lái)考察流體流）來(lái)考察流體流動(dòng)，該點(diǎn)處流體的速度、密度和壓力表示為：動(dòng)，該點(diǎn)處流體的速度、密度和壓力表示為： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k =(x,y,z,t) p=p(x,y,z,t) 15 按歐拉法，流動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的任意物理量按歐拉法，流動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的任意物理量（可以（可以是矢量，也可以是標(biāo)量）均可表示為：是矢量，也可以是標(biāo)量）均可表示為： = （x,y,z,t） 若流

13、場(chǎng)中任何一物理量若流場(chǎng)中任何一物理量都不隨時(shí)間變化，這都不隨時(shí)間變化，這個(gè)流場(chǎng)就稱之為穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)。相應(yīng)的流動(dòng)稱為穩(wěn)態(tài)個(gè)流場(chǎng)就稱之為穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)。相應(yīng)的流動(dòng)稱為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或定常流動(dòng)，或者說(shuō)對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)有：流動(dòng)或定常流動(dòng)，或者說(shuō)對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)有：0t16 2.2.3 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 定義：流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率。定義：流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率。 拉格朗日法拉格朗日法中，由于直接給出了質(zhì)點(diǎn)的物理量的表達(dá)中，由于直接給出了質(zhì)點(diǎn)的物理量的表達(dá)式，所以很容易求得物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。式，所以很容易求得物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。ttcbaBtB),(如速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（即加速度）為：如速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

14、（即加速度）為：),(),(tcbaattcbav17 對(duì)于對(duì)于歐拉法歐拉法描述的流場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)以速度為例描述的流場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)以速度為例分析：分析：假設(shè)在直角坐標(biāo)系中存在速度假設(shè)在直角坐標(biāo)系中存在速度場(chǎng)場(chǎng) v(x,y,z,t)。 設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻t和空間點(diǎn)和空間點(diǎn)p(x,y,z)處，處，流體質(zhì)點(diǎn)的速度為流體質(zhì)點(diǎn)的速度為： vp=v(x,y,z,t)zxyppvt經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔t后后，該流體該流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p(x+vxt,y+vyt,z+vzt)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的距離為點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的距離為vt。在在p點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的速度為點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：18vp=v(x+vxt, y+vyt

15、, z+vzt, t+t) 顯然，經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔顯然，經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔t后，流體質(zhì)點(diǎn)的速度增量為：后，流體質(zhì)點(diǎn)的速度增量為： v= vp- - vp= v(x+vxt, y+vyt, z+vzt, t+t)-v(x,y,z,t) 對(duì)上式右邊第一項(xiàng)作泰對(duì)上式右邊第一項(xiàng)作泰勒展開并略去二階以上高階無(wú)窮勒展開并略去二階以上高階無(wú)窮小量得：小量得：ttvzvvyvvxvvvzyx)(又由矢量運(yùn)算公式又由矢量運(yùn)算公式：zvvyvvxvvvvzyx其中矢量算子其中矢量算子kzjyix 叫叫哈密頓算子哈密頓算子19于是質(zhì)點(diǎn)的速度增量可以表示為：于是質(zhì)點(diǎn)的速度增量可以表示為：ttvvvv)(則速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)則速度的

16、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)加速度加速度tvzvvyvvxvvtvvvtvazyxt0lim由上式可見，在歐拉法中，流體速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或由上式可見，在歐拉法中，流體速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或加速度包括兩部分：加速度包括兩部分：20一部分是隨空間的變化率隨空間的變化率 顯示流場(chǎng)在空間中的不均勻性。vv另一部分是隨時(shí)間的變化率隨時(shí)間的變化率v/t 表示流場(chǎng)的非穩(wěn)態(tài)部分。通常用符號(hào)通常用符號(hào)Dv/Dt來(lái)表示歐拉法中的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，則加來(lái)表示歐拉法中的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，則加速度可以寫成：速度可以寫成：tvzvvyvvxvvtvvvDtvDazyx類似地，可用同樣方法得到其他物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，如密度和壓力的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)分別為：21tpzpvypvx

17、pvDtDptzvyvxvDtDzyxzyx推而廣之，歐拉法中任意物理量推而廣之，歐拉法中任意物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可以寫成：以寫成：tzvyvxvDtDzyxtzvyvxvDtDzyx稱為稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子22 以以D/Dt表示的導(dǎo)數(shù)通常稱為表示的導(dǎo)數(shù)通常稱為隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)。為使用方便，。為使用方便，給出柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子的表達(dá)式：給出柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子的表達(dá)式： 柱坐標(biāo)：柱坐標(biāo)：r徑向坐標(biāo)，徑向坐標(biāo)，周向坐標(biāo)，周向坐標(biāo)，z軸向坐標(biāo)軸向坐標(biāo))1(tzvrvrvDtDzr 球坐標(biāo)：r徑向坐標(biāo)，周向坐標(biāo)，軸向坐標(biāo))sin11(tvrvrvDtDr23例例

18、2-1. 已知流場(chǎng)的速度為已知流場(chǎng)的速度為 v=xti+ytj+ztk溫度為溫度為T=At2/(x2+y2+z2)。求：求：1）流體質(zhì)點(diǎn)溫度的變化率。）流體質(zhì)點(diǎn)溫度的變化率。 2）速度變化率即加速度。）速度變化率即加速度。2422222223222222222222222222222)1 (222)(2)(2)(22zyxtAtzyxAtzyxAtzyxzAtztzyxyAtytzyxxAtxtzyxAtzTvyTvxTvtTDtDTzyx解：1）T=At2/(x2+y2+z2)25)(1() 1() 1() 1(00)()222222zkyjxitkajaiaatztvzvvzyvvxvvD

19、tDvatytvzvvyvvxvvDtDvatxxxttvzvvyvvxvvDtDvatvzvvyvvxvvDtDvzyxzzzyzxzzyyzyyyxyyxxzxyxxxxzyxv=xti+ytj+ztk26思考題1.1.流體流動(dòng)與固體運(yùn)動(dòng)有何區(qū)別？流體流動(dòng)與固體運(yùn)動(dòng)有何區(qū)別？2.2.流體流動(dòng)如何分類？流體流動(dòng)如何分類？3.3.拉格朗日法和歐拉法的基本思想有何不同？拉格朗日法和歐拉法的基本思想有何不同？4.4.兩種方法質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的求法是否相同？為什么？?jī)煞N方法質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的求法是否相同？為什么？5.5.流體的速度導(dǎo)數(shù)包括哪兩部分？流體的速度導(dǎo)數(shù)包括哪兩部分？272.2.42.2.4兩種方法的關(guān)系兩

20、種方法的關(guān)系（拉格朗日法和歐拉法拉格朗日法和歐拉法） 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同方法。描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同方法。拉格朗日法拉格朗日法 (a,b,c,t)歐拉法歐拉法(x,y,z,t)在數(shù)學(xué)上可以互相推導(dǎo)在數(shù)學(xué)上可以互相推導(dǎo)兩種變數(shù)之間的數(shù)學(xué)變換兩種變數(shù)之間的數(shù)學(xué)變換(1)拉格朗日表達(dá)式拉格朗日表達(dá)式歐拉表達(dá)式歐拉表達(dá)式),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx可解得可解得：),(),(),(tzyxcctzyxbbtzyxaa則代入則代入= (a,b,c,t)后，就得到該物理參數(shù)的歐后，就得到該物理參數(shù)的歐拉法表達(dá)式拉法表達(dá)式 = (x,y,z,t)。 若已知拉格朗日法變數(shù)若已知拉格

21、朗日法變數(shù)(a,b,c,t)表示的物理參表示的物理參數(shù)數(shù)= (a,b,c,t)。 由式由式29(2)歐拉法表達(dá)式歐拉法表達(dá)式拉格朗日表達(dá)式拉格朗日表達(dá)式),(, ),(, ),(tzyxvdtdztzyxvdtdytzyxvdtdxzyx對(duì)上面微分方程進(jìn)行求解，其結(jié)果為：對(duì)上面微分方程進(jìn)行求解，其結(jié)果為：),(, ),(, ),(321tcyxzztzcxyytzycxx其中其中c1，c2，c3，是積分常數(shù)，由，是積分常數(shù)，由t=t0時(shí)的初始條時(shí)的初始條件件(a,b,c)決定。決定。 若已知用歐拉法變數(shù)若已知用歐拉法變數(shù)(x,y,z,t)表示的物理量表示的物理量= (x,y,z,t)，則首先由

22、歐拉法的速度表達(dá)式求，則首先由歐拉法的速度表達(dá)式求出歐拉變數(shù)出歐拉變數(shù)30),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx并代入歐拉方法表達(dá)式并代入歐拉方法表達(dá)式= (x,y,z,t)后就得到后就得到該物理量的拉格朗日法表達(dá)式該物理量的拉格朗日法表達(dá)式= (a,b,c,t)。則有則有31例例.給定流場(chǎng)給定流場(chǎng)ktktktcezbeyaex/)/2(,其中其中k為常數(shù)。試判斷流動(dòng)是否穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。為常數(shù)。試判斷流動(dòng)是否穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。（拉格朗日）（拉格朗日）32解：解：1 1）由拉格朗日流場(chǎng)得速度分量為）由拉格朗日流場(chǎng)得速度分量為ktzktyktxekcdtdzvekbdtdyvekadtdxv/)

23、/2(233由已知條件得由已知條件得ktktktzecyebxea/2,代入速度分量式得代入速度分量式得kzvkyvkxvzyx,2所以，該流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。所以，該流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。ktktktcezbeyaex/)/2(,342.3.1跡線跡線 定義：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線。跡線定義：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線。跡線是某一流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路徑。是某一流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路徑。(看錄像) 拉格朗日法表達(dá)式就是跡線的參數(shù)方程，即：拉格朗日法表達(dá)式就是跡線的參數(shù)方程，即：2.3跡線和流線),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx從這個(gè)方程組中消去從這個(gè)方程

24、組中消去參數(shù)參數(shù)t并給定并給定(a,b,c)的的質(zhì)點(diǎn)就可以得到以質(zhì)點(diǎn)就可以得到以x,y,z表示的流體質(zhì)點(diǎn)表示的流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的軌跡。的軌跡。35 在歐拉方法中，根據(jù)速度定義在歐拉方法中，根據(jù)速度定義v=dr/dt。因此，軌跡的微分方程即因此，軌跡的微分方程即),(),(),(tzyxvdtdztzyxvdtdytzyxvdtdxzyx解這個(gè)方程并消解這個(gè)方程并消去參數(shù)去參數(shù)t后可得到后可得到跡線方程。跡線方程。36例例2-2.2-2.已知用歐拉法表示的速度場(chǎng)已知用歐拉法表示的速度場(chǎng) v =Axi-Ayj其中其中A為常數(shù)。為常數(shù)。求：流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。求：流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。37 解：

25、解：方法一方法一 用速度場(chǎng)的跡線的微分方程為用速度場(chǎng)的跡線的微分方程為AyvdtdyAxvdtdxyx,分離變量得：分離變量得：AdtydyAdtxdx,分別積分上式得：分別積分上式得：21lnlnlnlncAtycAtx其中，其中，c1，c2是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。消去參數(shù)消去參數(shù)t得跡線方程得跡線方程:2121lnlnlnlnccxyccyx則跡線為一雙曲線跡線為一雙曲線 （b） (a)38 方法二 拉格朗日法 由(b)式得：AtAtecyecx21對(duì)于t=t0時(shí)位于x=x0=a,y=y0=b的流體質(zhì)點(diǎn)，由上式可得拉格朗日變數(shù)為：002010AtAtecybecxa于是可得積分常數(shù)0021

26、AtAtbecaec （c）3921ccxy 其結(jié)果與歐拉法結(jié)果相同。 說(shuō)明一點(diǎn)：拉格朗日法的結(jié)果也可寫成)(2)(100ttAAtttAAtbeecyaeecx再代入(c)式的該質(zhì)點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程402.3.22.3.2流線流線 (1)(1)流線的定義與性質(zhì)流線的定義與性質(zhì) 定義定義：流線是任一時(shí)刻流場(chǎng)中存在的這樣一條曲流線是任一時(shí)刻流場(chǎng)中存在的這樣一條曲線，該曲線上任一點(diǎn)的切線方向與流體在該點(diǎn)的速度線，該曲線上任一點(diǎn)的切線方向與流體在該點(diǎn)的速度方向一致。方向一致。（看錄像看錄像） 注意注意：流線與跡線是兩個(gè)不同的概念。流線與跡線是兩個(gè)不同的概念。流線流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的一條流體線是

27、同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的一條流體線( (可用可用照相機(jī)實(shí)現(xiàn)照相機(jī)實(shí)現(xiàn)) )；而；而跡線是同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻跡線是同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)的空間點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡線經(jīng)過(guò)的空間點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡線( (可用錄像機(jī)實(shí)可用錄像機(jī)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)) )。 41流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)： 1 1）除了在速度為零（）除了在速度為零（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不確定或任意質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不確定或任意）和無(wú)窮大的那些點(diǎn)和無(wú)窮大的那些點(diǎn)（該點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)是不連續(xù)該點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)是不連續(xù)）以外，以外，經(jīng)經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能相交過(guò)空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能相交； 2 2）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有的流線形成）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有的流

28、線形成； 3 3）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，并與跡線重合。非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置是隨時(shí)并與跡線重合。非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的。間變化的。42（2 2）流線方程）流線方程流線上矢量增流線上矢量增量與質(zhì)點(diǎn)速度量與質(zhì)點(diǎn)速度流線流線zxryrvdr0設(shè)設(shè)r是流線上某點(diǎn)的位置矢量，是流線上某點(diǎn)的位置矢量，v是是流體在該點(diǎn)的速度矢量。根據(jù)流線流體在該點(diǎn)的速度矢量。根據(jù)流線的定義，由于速度與流線相切，所的定義，由于速度與流線相切，所以流線微元段對(duì)應(yīng)的矢徑增量必然以流線微元段對(duì)應(yīng)的矢徑增量必然與該點(diǎn)的速度平行，由于兩個(gè)平行與該點(diǎn)的

29、速度平行，由于兩個(gè)平行矢量的乘積為零，所以有矢量的乘積為零，所以有000sindzdydxvvvkjidrvrdvzyx即43上式即為流線方程的矢量表達(dá)式。在直角坐上式即為流線方程的矢量表達(dá)式。在直角坐標(biāo)系中表示為標(biāo)系中表示為：zyxvdzvdyvdx 說(shuō)明說(shuō)明：由于流線是對(duì)同一時(shí)刻而言的，所以在上由于流線是對(duì)同一時(shí)刻而言的，所以在上面方程積分時(shí)，變量面方程積分時(shí)，變量t t被當(dāng)作常數(shù)處理。在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)被當(dāng)作常數(shù)處理。在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)下，流體速度是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在積分結(jié)果下，流體速度是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在積分結(jié)果中則包含中則包含t t，因此不同時(shí)刻有不同的流線。，因此不同時(shí)刻有不同的流

30、線。44例例2-3.2-3. 已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng) vx=x+t，vy=y+t試求：跡線方程；試求：跡線方程； 流線方程；流線方程； 45解解 ： 將將vx=x+t，vy=y+t代入跡線微分方程得：代入跡線微分方程得：tyvdtdytxvdtdxyx解這個(gè)一階常系數(shù)微分方程得：解這個(gè)一階常系數(shù)微分方程得：1, 1tbeytaextt 其中其中a，b為積分常數(shù)為積分常數(shù)將將vx=x+t，vy=y+t代入流線微分方程得：代入流線微分方程得：tydytxdx46dxxPdxxPdxxPeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdy)()()()(0)(,0)()()(時(shí)

31、，為非齊次方程，當(dāng)為齊次方程，時(shí)當(dāng)一階線性微分方程：47t 被看成常數(shù)，則積分上式得：被看成常數(shù)，則積分上式得：)(ln)ln()ln(tyctxctytx即：即： 由這個(gè)流線方程可見，流線是隨時(shí)間變化的，由這個(gè)流線方程可見，流線是隨時(shí)間變化的，不同時(shí)刻有不同的流線。不同時(shí)刻有不同的流線。 48小結(jié)：小結(jié)：1.拉格朗日法和歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同拉格朗日法和歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同方法，方法，對(duì)同一流場(chǎng)，兩種方法都可以使用。對(duì)同一流場(chǎng)，兩種方法都可以使用。因此兩因此兩種方法在數(shù)學(xué)上是可以互推的。種方法在數(shù)學(xué)上是可以互推的。2.拉格朗日法表達(dá)式就是跡線的參數(shù)方程為：拉格朗日法表達(dá)式就

32、是跡線的參數(shù)方程為：),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx從這個(gè)方程組中消去參數(shù)從這個(gè)方程組中消去參數(shù)t并給定并給定(a,b,c)的質(zhì)點(diǎn)就可以的質(zhì)點(diǎn)就可以得到以得到以x,y,z表示的流體質(zhì)點(diǎn)表示的流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的軌跡。的軌跡。494.流線微分方程在直角坐標(biāo)系中表示為：流線微分方程在直角坐標(biāo)系中表示為：3.在歐拉方法中解下面方程并消去參數(shù)在歐拉方法中解下面方程并消去參數(shù)t后可得到跡后可得到跡線方程。線方程。),(),(),(tzyxvdtdztzyxvdtdytzyxvdtdxzyxzyxvdzvdyvdx502.3.3 流管流管 定義定義：在流場(chǎng)中，作一條不與流線重合的

33、任意封：在流場(chǎng)中，作一條不與流線重合的任意封閉曲線，則通過(guò)此曲線的所有流線將構(gòu)成一個(gè)管狀曲閉曲線，則通過(guò)此曲線的所有流線將構(gòu)成一個(gè)管狀曲面，這個(gè)管狀曲面稱為流管。面，這個(gè)管狀曲面稱為流管。幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明： （1）根據(jù)流線不相交的性質(zhì)，流管表面不可能有）根據(jù)流線不相交的性質(zhì)，流管表面不可能有流體穿過(guò)；流體穿過(guò)； （2）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置都不隨時(shí)間）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置都不隨時(shí)間變化；變化； （3）非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置一般都是）非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置一般都是隨時(shí)間而變化的。隨時(shí)間而變化的。51n2v2流線流線流線流線v1n1dAdAA1A2如圖所示，流管表面與兩個(gè)流管如圖所示，流管表面與兩個(gè)流管截面截面A1，A2構(gòu)成一個(gè)封閉的曲面。構(gòu)成一個(gè)封閉的曲面。在穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件下，該封閉曲面在穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件下，該封閉曲面中的流體質(zhì)量不隨時(shí)間變化，又中的流體質(zhì)量不隨時(shí)間變化，又由于流管表面沒有流體流線通過(guò)，由于流管表面沒有流體流線通過(guò)，則根據(jù)質(zhì)