《數值計算方法》試題集及答案(1-6)2

1、計算方法期中復習試題、填空題:1、已知f(1)1.0, f(2) 12 f(3) 1.3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得31 f(x)dx，用三點式求得f答案：2.367, 0.252、f(1)1, f(2)2, f(3) 1 ,則過這三點的二次插值多項式中x2的系數為拉格朗日插值多項式為11答安 1L2(x)-(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) -(x 1)(x2)3、近似值x* 0.231關于真值x 0.229有(2 )位有效數字;4、設f(x)可微，求方程x f(x)的牛頓迭代格式是()；xn f(xn )xn 1 xn答案1 f (xn)35、對 f(x)x x 1,差商

2、f0,123(1),f0,1,2,3,4(0)；6、計算方法主要研究( 截斷)誤差和( 舍入 )誤差;7、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內的根時，二分 n次后的誤差限為)；8、已知f(1)=2, f(2) = 3, f(4) = 5.9,則二次Newton插值多項式中x2系數為(0.15 );11、兩點式高斯型求積公式11 .1 r .3 1'310fa*。" 2f(17T) f(17T),代數精12、度為(5);為了使計算y 10達式改寫為(310(44(x 1)216t)t)t,t 二6(x 1)3的乘除法次數盡量地少,應將該表,為了減少舍入誤差，應將

3、表達式V2001 4999 改寫為 <2001 J1999313、用二分法求方程f(x) x x 1 0在區(qū)間0,1內的根，進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5, 1，進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5, 0.75。114、計算積分0.5、xdx,取4位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268 .用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309 ,梯形公式的彳t數精度為1，辛卜生公式的代數精度為3 015、設 f(0) 0, f(1) 16, f(2) 46,則 11(x) k(x) x(x 2)_, f(x)的二次牛頓插值多項式為_N2(X)16x 7x(x 1)_0bnf (x)dxAk

4、f(xk)16、求積公式ak 0的代數精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n 1)次代數精度。5f(x)dx17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求1=(12)一3.19、如果用二分法求方程x x 4(10)次。3xS(x)1/八 3/八2-(x1)a(x1)20、已知2a=(3), b= (3),18、 設 f(1)=1, f=2, f (3)=0,用三點式求 f (2.5 )。0在區(qū)間1,2內的根精確到三位小數，需對分0 x 1b(x 1) c 1 x 3是三次樣條函數，則c= (1)。21、l0(x), l1(x), ,ln(x)是以整數點x0

5、, x1, ,xn為節(jié)點的Lagrange插值基函數，則nnlk(x)xklj(xk)k 0(1), k 0n(x4 x23)lk(x)42k 0( x x 3)022、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數S(均在 數。(xj),當 n 2 時a,b上具有直到 2階的連續(xù)導1)的形式，使計算結果較精確23、改變函數 f (x) x xx ( x2724、若用二分法求方程f x 0在區(qū)間1,2內的根，要求精確到第3位小數，則需要對S x25、設a= 3 , b= -3, c=126、若用復化梯形公式計算o1e0dx,要求誤差不超過10 ,利用余項公式估計,至少用分10 次2x3, 0 x 132x a

6、x bx c，1 x 2是3次樣條函數，則477個求積節(jié)點27、若 f(x)3x4 2x 1 ,則差商 f2,4,8,16,3228、數值積分公式2。選擇題121f (x)dx -f( 1) 98f(0)f (1)的代數精度為1、三點的高斯求積公式的代數精度為(B )A. 2 B. 5 C. 3D. 42、舍入誤差是(A )產生的誤差。A.只取有限位數B .模型準確值與用數值方法求得的準確值C.觀察與測量D.數學模型準確值與實際值3、3.141580是冗的有(B )位有效數字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 74、用1+x近似表示ex所產生的誤差是( C)誤差。A.模型 B.觀測C.截斷

7、D.舍入x5、用1 + 3近似表示3所產生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B.觀測 C.模型 D.截斷6、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數字。A. 5B. 6 C. 7D. 87、設f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數為(A )。A.-0. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -28、三點的高斯型求積公式的代數精度為(C )。A. 3 B. 4 C. 5 D. 29、( D )的3位有效數字是0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D) 23

8、5.54X 10- 110、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x= (x),則f(x)=0的根是(B )。(B) y=x與y= (x)交點的橫坐標(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(D) y=x與y= (x)的交點11、拉格朗日插值多項式的余項是(B)，牛頓插值多項式的余項是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2,xnx®(x x2) (x xn 1)(x xn),Rn(x) f (x)(B)f(n 1)()R(x)( (n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f (x)(D),xn)(x)(x x

9、1)(x x2)(x xn 1)(xxn),f (n 1) ()Pn(x)n1(x)(n 1)!12、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A),則它的解數列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f(x) 0(C)f(%)f(x) 0(D)f(x”(x) 013、為求方程x3-x2-1=0在區(qū)間1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A2 x(A)1，一，,，迭代公式：xk 1x 1_1_x xk1x(B)4,迭代公式:xk1 x1xk3(C)xx2,迭代公式:xk

10、1(12、1/3 xk)3 x(D)x2,迭代公式：xk 12 xkxk14、在牛頓-柯特斯求積公式:bf(x)dx a(ba)(n)中，當系數Ci是負值時,x00.511.5212.5f(x)-2-1.75-10.2524.25(4) n所確定的插值多項式的次數是(0(1)二次;(2)三次;(4)五次10,6,)公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中, 使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n23、有下列數表時的牛頓-柯特斯求積公式不(3)四次；15、取石1.732計算x 電1)4 ,下列方法中哪種最好？(A) 28 1673；S(x) 26、已知 ()(A)6, 6;(B)(43 x

11、2局.2(x31) a(x 2)(C)0b 2(4162何2 ；16(D) (V3 1)4 04是三次樣條函數，則a,b的值為xi11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(C)8, 6;8；(D)8, 8。(B)6,16、由下列數表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數是()(D) 2(A)5；ObA3f (x3)的高斯(Gauss)型求積公式的代數精(C) 3;A2 f (X2)(B)4;f (x)dx A1f (x1)17、形如 度為(A)9；)(B)7；(C) 5；(D) 318、計算V3的Newton迭代格式為Xk (A)Xk 31萬£

12、;(B)Xk22xk ； (C)XkXk12xk ； (D)Xk19、用二分法求方程 則對分次數至少為(4x2 )100在區(qū)間1,2內的實根，要求誤差限為Xko1 1032(A)10;(B)12;(C)8；(D)9o20、設 li(x)是以 xk k(kLagrange插值基函數，貝U9kli(k)k 0(A)x；(B) k ；(C)33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式,(A)5;(B)4；(C)6；至少具有(D)3o(D) 1。)次代數精度S(x)21、已知(A)6, 6;35、已知方程()3x2(x 1)3a(x 2)(B)63 2x8；5(C)8,6；24是三次樣條函數，則(D)8, 8

13、。2附近有根，下列迭代格式中在0在x3(C) xk 1xk xk 5 -a,b的值為(XoXk (D)x01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數為()(A) xk 13/2xk 5 .22、由下列數據(C)1；(D)3。(A) 4;(B)2;2不收斂的是2x3 523x2 2ko1f (x) dx1、求A、B使求積公式1Af( 1)1. 1f (1) Bf () f()22的代數精度盡量23、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數精度為()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非題(認為正確的在后面的括弧中打，否則打)1、已知觀察值(為，yi)(i 0，3、(x1

14、 x0)(x1 x2)表示在節(jié)點xi的二次(拉格朗日)插值基函數。()4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。()311535、矩陣A=125具有嚴格對角占優(yōu)。() 四、計算題: 當f(x) x時，公式顯然精確成立；當 ，m)，用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時, pn(x)的次數n可以任意取。()2x2、用1- 2近似表示cosx產生舍入誤差。()(x X0 )( x X2 )21I dx高，并求其代數精度；利用此公式求1 x (保留四位小數)2答案：f(x) 1,x,x是精確成立，即2A 2B 22A 1B 2 A -,B -23 得 99求積公

15、式為11f (x)dx9f(1).8.1.1f(1) 9f( 2)f(2)21f(x)/時，左=5 ,右=3。所以代數精度為31 tdx x2x 3 1111181dt 1t 391 3 1 391/2 311 2 32、已知xi1345f(xi)2654970.69286140分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f (x)的三次插值多項式P3(x),并求 f(2)的近似值(保留四位小數)2(x 3)(x 4)(x 5) 6(x 1)(x 4)(x 5)答案：(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)5 4(41)(43)(45)

16、(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f (2)P3(2)5.55、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次擬合曲線P2(x),并求f (0)的近似值答案：解：ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi yi正規(guī)方程組為1114P2(X)10311 2x x7 1014P2(X)31011一 x70-244-816-8161-121-1P 1P -2212010000031311r 1r 33 142548161

17、020015100343415ao 10a2 1510al 310ao 34 a241103, a1, a2710f (0)P2(0)6、已知sinx區(qū)間0.4, 0.8的函數表xi0.40.50.60.70.8x0.389420.479430.564640.644220.71736310如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解： 應選三個節(jié)點，使誤差M 3|R2(x)| 可3| 3(x)|盡量小，即應使 3(x)|盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點0.5。6。7最好，實際計算結果Sin0.63891 0.596274,且

18、sin 0.63891 0.5962741 |(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7) 0.55032 107、構造求解方程e性，并將根求出來,1 xn 1 xn |10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)20, f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10f(x) 0在(0,1)內有唯一實根.將方程f (x) 0變形為110(2則當x (。，。時(x)x) I (x)|e一 110故迭代格式10x 2 。的根的迭代格式4 1(xn)，n 0，1,2，討論其收斂f (x) e解：當 0<x<1 時，f (x) ex,則要求近似

19、值有5位有效數字，只須誤差Ri(n)(f)2104xn 1(2 exn)10收斂。取x0 0.5,計算結果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0086且滿足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 008xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.43510、已知下列實驗數據試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數據。1exdx 且0e有一位整數.R(

20、n)(f)9亙|f ( )|由12n,只要r(e2)將方程(2)改寫為)-e- -e 1 10 412n12n2即可，解得n e 102 67.30877612、取節(jié)點x00,x1所以 n 68,因此至少需將0,1 68等份。0-5，x2 1,求函數f(x) e x在區(qū)間0,1上的二次插值多項式P2(x),并估計誤差解:° (x 0.5)(x D(0 0.5)(0 1)0.5 e(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)( x 0.5)e (1 0)(1 0.5)一 _0 5_1_2(x 0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)f (x)

21、 e x, f (x) e x,M 3 max | f (x) | 1又x 0,1|R2(x)| |e x P2(x)| ；|x(x 0.5)( x 1)|故截斷誤差3!x14、給定方程 f(x) (x 1)e 1 01)分析該方程存在幾個根；2)用迭代法求出這些根，精確到 5位有效數字；3)說明所用的迭代格式是收斂的。解：1)將方程(x 1)ex 1 0(1)改寫為xx 1 e(2)x*作函數f1(x) x 1, f2(x) e的圖形(略)知(2)有唯一根X (1,2)Xk構造迭代格式計算結果列表如下:Xk 11 e k當 X 1,2時,(x)(2), (1)1,2,且k123456789X

22、k1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785)6 1,278441.278471.27846(k 0,1,2,)X(x) e x3)(x) 1 eX0 1.5I (x)| e 1 1所以迭代格式Xk 1(Xk) (k0,12 )對任意x。1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求 延的近似值 取X0=1.7,計算三次，保留五位小數。解：再是f(x) X2 3。的正根,f (X)2x牛頓迭代公式為x2 3xn 1 xnXn 17 2 (n0,12)n123xn1.732351.732051.73205取X0=1.7,列表如下:2xn16、已知f (-1)

23、=2, f (1)=3, f(2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(1, 5)的近似值, 取五位小數。解:L2(x) 2(X 1)(X 2)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1)34(1 1)( 12)(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)|(X 1)(x342) 2(x 1)(x 2) 3(x 1)(x 1).1f(1.5)L2(1.5)0,041672417、n=3,用復合梯形公式求10exdX的近似值(取四位小數)，并求誤差估計。解：0eXdx T3 1Ae0 2 3 1 32(ee23) e1 1,7342f(X) ex, f (x) ex, 0x 1 時，1f

24、 (x)| e|R| |exT3I12 321080.0250.05至少有兩位有效數字。20、（8分）用最小二乘法求形如y a bx2的經驗公式擬合以下數據:xi19253038*19.032.349.073.3解：span1, x (0.8824969 0.7788008 0.60653066AT1111192 252312 382解方程組 A AC AT yATA其中433913391 35296030.9255577C解得：0.0501025所以yT 19.0 32.3 49.0 73.3T 173.6ATy179980.7a 0.9255577, b 0.050102521、（15分）

25、用n 8的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算1 a xd0e dX時，試用余項估計其誤差。用n 8的復化梯形公式（或復化 值。Simpson公式）計算出該積分的近似|RTf解：T(8) hf(a)212h2f ()11282e017680.00130272 g f(b) k 10.53526140.472366550.41686207) 0.367879470.63294343/22、（15 分）萬程 x x 1x飛乂 1對應迭代格式xn1x x3 1對應迭代格式xn 10在x 1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）3 xn3 xn1 x1 ； (2)11xn 1x對應

26、迭代格式11xn ； (3)1。判斷迭代格式在x0 5的收斂性，選一種收斂格式計算x解：（1）1.5附近的根，精確到小數點后第三位。1-（x） 3（x ° 1 d閭 0.18 L 故收斂;(3)選擇(x)(x)(1):2x23x2Xo1.5X5(1.5)(1.5)3 1.52Xi1.324761.3572x2X625、數值積分公式形如1oxf(x)dx S(x) Af (0)0.17 1 ,故收斂;、故發(fā)散1.3309x3 1.32594 1.32491.32472Bf (1) Cf(0) Df試確定參數A,B,C,D使公式代數精4 一度盡量高；(2)設f(x) C 0,1,推導余項

27、公式R(x)10xf(x)dx S(x)并估計誤差。23A解：將f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20，B20，B30,D120力(為)f(xi)構造HermW插值多項式H3(x)滿足 力(為)f (為)i 0，1其中x。0,x1則有:1°xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)(4) /-Tx2(x 1)2R(x)10xf(x) S(x)dx1 f (4)()f(4)()4!32 ,x (x 1) dxf (4)(4!f(4)3 /x (x1)2dx4! 60144027、(10 分)已知數值積分公式為:.h .2 . '.f(x)dx 2f(0)f(h)hf

28、 f(h),試確定積分公式中的參數使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。解：f(x) 1顯然精確成立；f(x)f(x)2x時,x時,h 2x dx0hxdx0h2220 hh21f(x)3 x時,h 3 x dx0f(x)所以,4x時,hx4dx0其代數精確度為h3 3 h44h553。h 020h rc202028、h2h202h1；h32 h2112 h3 h20 3h2 12h41 h20 4h3 126 (8分)已知求Ja(a 0)的迭代公式為:xk 1mxk-) xkxo0 k 0,1,21所以xk1 xk,即序列xk是單調遞減有下界，從而證明：對一切k 1,2, , xk

29、 從而迭代過程收斂。1 a 1xk 1 2(xk) 2證明：2xk2故對一切k 1,2,小 1(1 當 31 1)又 xk2xk2迭代過程收斂。Ja ,且序列xk是單調遞減的,八a.一2 xk 一 a kQ1,2xk,xk. a °29、(9分)數值求積公式 其代數精度是多少？3f(x)dx f(1) f (2)2是否為插值型求積公式？為什么?解：是。因為f(x)在基點x 2x 1p(x)f (1)f (2)1、2處的插值多項式為122 1p(x)dx 2f f(2)其代數精度為1。30、(6斂性。分)寫出求方程4xcos x1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收(6分)xn

30、 1xn114COS xn，n=0,1,2,1人x -sin x4對任意的初值x0 0,1,迭代公式都收斂。31、(12 分)以 100,121,144 計誤差。為插值節(jié)點，用插值法計算屈5的近似值，并利用余項估用Newton插值方法：差分表:100100.0476190-0.000094113612114411120.0434783,115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f''' xR 115 100 115 121 115 1443!1 32100 2 15 6 29 0.0016368I32、（10分）用復化Simpson公式計算積分1 sin x0 xdx的近似值,要求誤差限為_ 50.5 10 。c 1 1S1f 0 4f f 10.946145886211S2f 0 4f 2f124134f -f 10.9460869324c1 -I S2 S2 s0.39315, sin x f x 或利用余項：xIS2 0.946086932468, xxxx1 - 3!5!7!9!24r (4)If x -5£ (4)1 x xf x b a f (4) 2880n45 7 2! 9 4!4 0.5 10 °2880 5n