點線面之間位置關系知識點總結

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高中空間點線面之間位置關系知識點總結DCBA第二章 直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為LA·ALBL => L AB公理1作用

2、：判斷直線是否在平面內C·B·A·（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 => 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。P·L符號表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面

3、內，沒有公共點同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=>acab。2 公理4：平行于cb強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算

4、中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內 有無數個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b => aab2.2.2 平面與平面平行的判定1

5、、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線

6、、平面垂直的判定及其性質2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3

7、、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。異面直線所成的角是指經過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉化到三角形中求角，注意角的范圍.例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM( ).A .是AC和MN的公垂線. B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .

8、與AC、MN都不垂直.錯解:B.錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A. 例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點. 錯解：證明：、F分別是AB,AD的中點,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T, ,F分別是AD.AC與FH交于一點.直線EG,FH,AC相交于一點正解：證明：、F分別是AB,AD的中點,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T, 平面ABC,FH平

9、面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直線EG,FH,AC相交于一點T.例3 在立方體ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影；（2）直線BD1和直線AC的位置關系如何？（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？ 解：(1)連結BD, 交AC于點O .(2)BD1和AC是異面直線.(3)過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結MA、MC，則MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角.不難得到MAMC，而O為AC的中點，因此MOAC，即MOA90°，異面直線BD1與AC所成的角為90°.例4 a和b為異面直

10、線，則過a與b垂直的平面( ). A有且只有一個 B一個面或無數個 C可能不存在 D可能有無數個錯解：A.錯因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5 在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點求證：EF垂直平面BB1O證明 ： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點E、F分別是AB、BC的中點，EF是ABC的中位線，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，AC平面BB1O(線面垂直判定定理)ACEF， EF平面BB1O 例6如圖，在正

11、方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 分析：本題考查的是線面垂直的判定方法根據線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內找兩條相交直線與OE 垂直證明：連結B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分別是B1B 和DB 的中點，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 為DB1 在面AA1D1D 內的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可證B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE 平面ACD1 點 評：要

12、證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉化方法在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應用，也要注意有時是從數量關系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應用例7如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上, 點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF. MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,B

13、1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.點、線、面之間的位置關系單元測試 第1題. 下列命題正確的是（）經過三點確定一個平面經過一條直線和一個點確定一個平面四邊形確定一個平面兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面答案：第2題. 如圖，空間四邊形中，分別是，的中點求證：四邊形是平行四邊形答案：證明：連接因為是的中位線，所以，且同理，且因為，且所以四邊形為平行四邊形第3題. 如圖，已知長方體中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是

14、多少度？答案：（）；（）第4題. 下列命題中正確的個數是（）若直線上有無數個點不在平面內，則若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都沒有公共點A123答案：第5題. 若直線不平行于平面，且，則下列結論成立的是（）內的所有直線與異面內不存在與平行的直線內存在唯一的直線與平行內的直線與都相交答案：第6題. 已知，是三條直線，角，且與的夾角為，那么與夾角為答案： 第7題. 如圖，是長方體的一條棱，這個長方體中與垂直的棱共條答案：8條第8題. 如果，是異面直線，直線與，都相交，那么這三

15、條直線中的兩條所確定的平面共有個答案：2個第9題. 已知兩條相交直線，則與的位置關系是答案：，或與相交第10題. 如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面？答案：3個，3個第11題. 如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：與平行與是異面直線與成角與垂直以上四個命題中，正確命題的序號是（），答案：第12題. 下列命題中，正確的個數為（ ）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過空間四邊形的頂點引的平行線段，則是異面直線與所成的角；四邊相等，且四個角也

16、相等的四邊形是正方形0123答案：第13題. 在空間四邊形中，分別是，的中點，則與的大小關系是答案：第14題. 已知是一對異面直線，且成角，為空間一定點，則在過點的直線中與所成的角都為的直線有條答案：第15題. 已知平面，是平面外的一點，過點的直線與平面分別交于兩點，過點的直線與平面分別交于兩點，若，則的長為答案：第16題. 空間四邊形中，分別是，的中點，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是答案：第17題. 已知正方體中，分別為，的中點，求證：（），四點共面；（）若交平面于點，則，三點共線答案：證明：如圖（）是的中位線，在正方體中，確定一個平面，即，四點共面（）正方體中，設確定的平面為，又設平

17、面為，又，則是與的公共點，又，則故，三點共線第18題. 已知下列四個命題： 很平的桌面是一個平面； 一個平面的面積可以是m； 平面是矩形或平行四邊形； 兩個平面疊在一起比一個平面厚其中正確的命題有（）個個個個答案：第19題. 給出下列命題：和直線都相交的兩條直線在同一個平面內；三條兩兩相交的直線在同一平面內；有三個不同公共點的兩個平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個平面其中正確命題的個數是（）答案：第20題. 直線，在上取點，上取點，由這點能確定的平面有（）個個個個答案：第21題. 三條直線相交于一點，可能確定的平面有（）個個個個或個答案：第22題. 下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每兩條都相交但不共點的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個點確定一個平面；兩條互相垂直的直線共面與與與與答案：第23題. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）異面直線相交直線不相交直線不平行直線答案：第24題. 在長方體中，點，分別是四邊形，的對角線的交點，點，分別是四邊形，的對角線的交點，點，分別是四邊形，的對角線的交點求證：答案：證明：如圖，連結，由三角形中位線定理可知 ，又，同理可證由等角定理可得第25題. 若，是異面直線，也是異面直線，則與的位置關系是（）異面相交或平行平行或異面相交或平行