復變函數(shù)論第5章第2節(jié)

1、第二節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點1、孤立奇點的三種類型、孤立奇點的三種類型2、可去奇點、可去奇點3、施瓦茨引理、施瓦茨引理4、極點、極點5、本質(zhì)奇點、本質(zhì)奇點6、皮卡定理、皮卡定理( ),( )af zf za若若 是是函函數(shù)數(shù)的的孤孤立立奇奇點點 則則在在 的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)1、孤立奇點的三種類型主要部分主要部分正則部分正則部分( )()nnnnf zcza 10()()nnnnnnczacza 三種類型三種類型-定義定義5.35.31) 1) 如果如果 中不含中不含 的負冪項的負冪項, ,即主要部分為零即主要部分為零za )(zf那么孤立奇點那么孤立奇點a稱為稱

2、為 的的可去奇點可去奇點.)(zf3) 3) 如果如果 在點在點a主要部分為無窮多項主要部分為無窮多項, ,則稱則稱a為為)(zf的的本質(zhì)奇點本質(zhì)奇點.)(zf2) 2) 如果如果 在點在點a主要部分為有限多項主要部分為有限多項, ,設(shè)為設(shè)為)(zf那么那么a為為 的的m階極點階極點.)(zf1()mnnncza 如：如：242sin1( 1),03!5!(21)!nnzzzzzzn sin0zzz以為可去奇點.22232sin11( 1),03!5!(21)!nnzzzzzzn 3sin0zzz以為二階極點.321111 111sin( 1),03!(21)!nnzzzznz 10sinzz

3、以為本質(zhì)奇點. 2 可去奇點可去奇點(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù)無負無負0z)(zf在在如果如果冪項冪項則則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.(2)由極限判斷由極限判斷:)(lim0zfzz若極限若極限存在存在且為且為有限值有限值,則則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.(3)由有界判斷由有界判斷若若f (z)在點在點a的某去心鄰域有界的某去心鄰域有界,則則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.如果補充定義如果補充定義:0 z時時, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例1 42! 51! 311sinzzzz中不含負冪項中不含負冪項,0 z是是z

4、zsin的可去奇點的可去奇點 . 例例2 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點的可去奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點的可去奇點.zez1 無負冪項無負冪項另解另解 zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可去奇點.為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 定理5.3( )af z若 為的孤立奇點,則下列三條件等價,因此,它們中任何一條都是可去奇點的特征(1)( );f za在點 的主要部分為零(2) lim( ), ();zaf zb b (3)( )f za在點 的某去心鄰域內(nèi)有界.證明(1)(

5、2)01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim( )zaf zc故; (2)(3)lim( ), ();zaf zb b 由于由函數(shù)極限的性質(zhì),( );f za在點 的某去心鄰域內(nèi)有界(3)(1)( ), f zM zKa設(shè)( )f za考察在點 的主要部分1()nnncza() 11( ),(1,2,.)2()nnfcdnia,Ka 而 為 內(nèi)的圓周可以充分小 于是由() 1( )12nnfcda() 1122nM nM0(0,0)n1,2,0,nnc故時( )f za即在點 的主要部分為零.例3tan( )zf zz確定函數(shù)的孤立奇點的特征.解tan( )0,zf

6、 zzz的孤立奇點為00tanlim( )limzzzf zz由于1,tan0( )zzf zz所以為的可去奇點. Schwarz引理引理( )1,f zz 如果函數(shù)在單位圓內(nèi)解析 并且滿足條件(0)0;( )1,(1);ff zz1z 則在單位圓內(nèi)恒有( )f zz(0)1;f且有0,10,()zz如果上式等號成立 或在圓內(nèi)一點處前一式的等號成立 則 當且僅當( ),(1);iaf ze zz.a其中 為一實常數(shù)證明212( )1,f zc zc zz設(shè)12( )( )01,f zzcc zzz設(shè)1(0)(0),cf定義( )1,zz則在內(nèi)解析( )1(1),f zz由于,01,rrzr因此

7、對在上有( )1( );f zzzrzr在上,由最大模原理1( )( );zrzMaxzr1,r 令( )1(1),zz得于是于是(0)(0)1,f0,z 且當時 有( )( )1;f zzz即即( ),f zz(0)1,f若001()1;zzz則在內(nèi)有點 使( )1,zz即模在內(nèi)達到最大值由最大模原理由最大模原理,( ),;z這只有常數(shù) 且該常數(shù)模為1( )(),iazea故為常數(shù)亦即亦即( ).iaf ze z注1 幾何意義幾何意義( ),(0)0,0,wf zfzz任一解析函數(shù)當把單位圓變到單位圓內(nèi)區(qū)域 時 圓內(nèi)任一點的像比 距坐標原點為近 如果有一點像與這個點本身距原點距離相同 則 為

8、單位圓.00000,1(),zzf zz或有使(0)(0)1,f使10;z 則在內(nèi)有點xy10rzuv10r( )f z( )wf z注2,( ),f z保留假設(shè)條件 如果原點是的 階零點 則( ),f zz( ).iaf ze z并且只有當時等號才成立4 極點極點 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即階極點階極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?) 定義定義 0zz 如果洛朗級數(shù)中只有有

9、限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的負冪項負冪項, 20201)()()(zzczzcczgmmm1.內(nèi)內(nèi)是是解解析析函函數(shù)數(shù)在在 0zz2.0)(0 zg特點特點:(2)的極點的極點 , 則則0z)(zf為函數(shù)為函數(shù)如果如果.)(lim0 zfzz例例3 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)2(23)(2 zzzzf是二階極點是二階極點, 0 z2 z是一階極點是一階極點.2)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負冪項為的負冪項為有有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.在點在點 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析

10、, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷(但但不知道階數(shù)不知道階數(shù)) .1 ( )( )g zf z令以以a為為m m階零點階零點( (可去奇點可去奇點a要當作解析點看要當作解析點看, ,只要令只要令g( (a)=0).)=0).(4) 由零點的階數(shù)判別由零點的階數(shù)判別定理5.4( )af z若 為的孤立奇點,則下列三條件等價,因此,它們中任何一條都是m階極點的特征(1)( )f za在點 的主要部分為(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)(

11、 )f za在點 的某去心鄰域內(nèi)能表成( )( )(5.11);()mzf zza1(3)( )( )( )0).g zamf zg a以點 為 階零點 可去奇點當解析點看,只要令( )( )0;zaa其中在點 的鄰域內(nèi)解析,且證明(1)(2)若(1)為真,則在點a的某去心鄰域內(nèi)有(1)11( )()()mmmmcccf zzazaza1(1)1()()mmmcczacza( ),()mzza( )( )0;mzaac其中顯然在點 的鄰域內(nèi)解析,且(2)(3)若(2)為真, 則在點a的某去心鄰域內(nèi)有1( )( )g zf z(),( )mzaz10;( )aa1其中在點 的鄰域內(nèi)解析,且(z)

12、01()()nncc zacza101()()mmc zac za1()mza因此,( ),ag z為的可去奇點作為解析點看,只要令( )0,g a ( );ag zm為的 階零點(3)(1)1( );( )ag zmf z由于 為的 階零點則在點a的某鄰域內(nèi)有( )()( ),mg zzaz( )( )0,za其中在此鄰域內(nèi)解析,且這樣一來11( ),()( )mf zzaz( )az1因在點 的鄰域內(nèi)解析,故在此鄰域內(nèi)有1(1)101()()()( )mmmmcczaczac zaz( )f za則在點 的主要部分為10.( )mca(1)11,()()mmmmccczazaza定理5.5

13、( )f za函數(shù)的孤立奇點 為極點的充要條件是lim( ).zaf z 證明( )f za函數(shù)以 為極點1( )amf z以點 為 階零點lim( ).zaf z 注( ),( )af zaf zm設(shè) 為的孤立奇點 則 為的 階極點的充要條件是:lim()( ).mzazaf z存在且不為零課堂練習課堂練習求求1123 zzz的奇點的奇點, 如果是極點如果是極點, 指出它的指出它的階數(shù)階數(shù).答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函數(shù)數(shù)的的一一階階極極點點所所以以 z.1是是函函數(shù)數(shù)的的二二階階極極點點 z,)1)(1(12 zz例例4 函數(shù)函數(shù)zsin1有些什么奇點有些什么奇點, 如果

14、是極點如果是極點, 指出指出它的階它的階.解解 函數(shù)的奇點是使函數(shù)的奇點是使0sin z的點的點,這些奇點是這些奇點是，)2,1,0( kkz 是孤立奇點是孤立奇點. kzkzzzcos)(sin因因為為的一級零點，的一級零點，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級極點的一級極點.即即),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二階極點不是二階極點, 而是一階極點而是一階極點.例例5 問問0 z是是21zez 的二階極點嗎的二階極點嗎?注意注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .5

15、 本質(zhì)奇點如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本質(zhì)奇點的本質(zhì)奇點.的負冪項的負冪項,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個含有無窮多個z的負冪項的負冪項 特點特點: 在本質(zhì)奇點的鄰域內(nèi)在本質(zhì)奇點的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. 為為本本質(zhì)質(zhì)奇奇點點，所所以以0 z同時同時zze10lim不存在不存在.定理5.6( )f za的孤立奇點 為本質(zhì)奇點的充要條件是()lim( ),zabf z有限數(shù)lim( ).zaf z即不存在注由定理5.3(2)及定理5.5易證.定理5.

16、7( )1,( ).zaf zazaf z 若為函數(shù)之一本質(zhì)奇點,且在點的充分小去心鄰域內(nèi)不為零 則亦為的本質(zhì)奇點證明1( ),( )zf z令( );zaz則必為的孤立奇點( )zaz若為的可去奇點(解析點),( )zaf z則必為的可去奇點或極點,與假設(shè)矛盾;( )zaz若為的極點,( )zaf z則必為的可去奇點(零點),亦與假設(shè)矛盾;1( )( )zazf z故必為的本質(zhì)奇點.綜上所述綜上所述:孤立奇點孤立奇點可去奇點可去奇點m階極點階極點本質(zhì)奇點本質(zhì)奇點洛朗級數(shù)特點洛朗級數(shù)特點)(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值有限值不存在不存在且不為且不為 無負冪項無負冪項含無窮多個負冪項

17、含無窮多個負冪項含有限個負冪項含有限個負冪項10)( zzmzz )(0關(guān)于關(guān)于的最高冪的最高冪為為Picard定理定理定理5.8(Weierstrass)( ), naf zAaz如果 為函數(shù)的本質(zhì)奇點,則對任何常數(shù)不管它是有限還是無窮 都有一個收斂于 的點列使得lim().nnzaf zA證明(1),.A 在的情形 定理正確( )f za因在 的任何去心鄰域無界,( ).af z否則 為的可去奇點(2),A 設(shè),( ).,.azf zA可能有這種情形發(fā)生 在點 的任意小去心鄰域有這樣一點 存在 使在這種情形下 定理已得證( ).f zA這樣由定理5.7,函數(shù)1( )( )zf zA ,.K

18、aa在內(nèi)解析 且以 為本質(zhì)奇點, aKa因此 假定在點 的充分小去心鄰域內(nèi)由(1)的結(jié)論, ,naz必有一個趨于 的點列存在 使得lim().nnzaz lim().nnzaf zA從而注:( ),( )af zf z設(shè) 為函數(shù)的本質(zhì)奇點,則無論怎樣小的去心鄰域內(nèi)函數(shù)可以取任意接近于預先給定的任何數(shù)值.例51( )sin0f zzz研究函數(shù)在孤立奇點性質(zhì).解2101( 1)1( )sin,(21)!kkkf zzkz由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(1),A ,nizn取1()sin2nnnneef zzi則();n (2),A 1sin,Az由有211rcsin(1),AALn iAAz

19、i2ln(1)2niziAAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此例61( )0zf zez研究函數(shù)在孤立奇點性質(zhì).解101 1( ),!znnf zen z由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(1),A 10,nzn取()nnf ze則();n (2)0,A 10,nzn 取()nnf ze則();n 0(3),0;A 1,zeA由有1LnAz1ln2nzAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此Picard大定理0( ), ,naf zAAAaz 如果 為函數(shù)的本質(zhì)奇點,則對于每一個除掉可能一個外 必有趨于 的無限點列使得定理5.9()(1,2,).nf zAn 本性奇點本性奇點(essential singularity)。如果不是前兩種奇點，那么就是這種奇。如果不是前兩種奇點，那么就是這種奇點了。這類奇點其實才是真正可怕的！我們來看看點了。這類奇點其實才是真正可怕的！我們來看看Casorati-Weierstrass這個這個定理說了什么。通俗來說，這個定理說的是定理說了什么。通俗來說，這個定理說的是 f(z)可以可以