數(shù)學高中知識點6向量

1、六、向量向量向量的概念向量的運算向量的運用向量的加、減法實數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積定比分點公式平 移物理學中的運用幾何中的運用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件一、基本概念：（1）向量的定義：叫做向量，可用字母表示，如：；也可用向量的有向線段的起點和終點字母表示，如：；（2）向量的兩個要素：、；其中向量的大小又稱為；記為：；（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，數(shù)量是只有大小的量，其大小可以用正數(shù)、負數(shù)或0來表示；它是一個代數(shù)量，可以進行各種代數(shù)運算；數(shù)量之間可以進行大小比較，“大于”、“小于”的概念對數(shù)量是適用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正數(shù)或0，是可以

2、進行大小比較的；由于方向不能比較大小，因此“大于”、“小于”對向量來說是沒有意義的。（4）特殊形式的向量：零向量：；記為：；方向為；規(guī)定：零向量與任一向量；單位向量：；自由向量：一個向量只要不改變它的大小和方向，它的起點和終點可以任意平行移動的向量，叫做自由向量(本書研究的都是自由向量)平行向量：叫做平行向量(也稱為共線向量)；向量與向量平行，記作：；相等向量：叫做相等向量；向量與向量相等，記作：；注：零向量與零向量相等；任意兩個相等的非零向量，都可以用一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。兩個向量相等是一個很重要的概念，從幾何意義上看，就是這兩個向量的長度相等且方向相同；從代數(shù)表達式考

3、慮，就是它們對應(yīng)的系數(shù)相等；對于用坐標表示的向量來說，就是這兩個向量的坐標相等，這一點在解題中有很重要的作用。相反向量：叫做相反向量，向量與向量相反，記作：；二、向量的表示法（1）幾何表示法：用有向線段表示，如：；（2）字母表示法：用一個小寫字母表示，如：；注意：解題時，向量中的箭頭不可省。 （3）坐標表示法：在直角坐標系內(nèi)，分別取的兩個單位自量作基底，則對任一向量有且只有一對實數(shù)，使，就把叫做向量的(直角)坐標，記作；注意：叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標。；三、向量的運算：（1）向量的加法：向量法：三角形法則，平行四邊形法則坐標法：若，則；重要結(jié)論：圍成一周順次始終相結(jié)的向量的和為；當兩

4、向量平行時，平行四邊形法不適用，可用三角形法則。（2）向量的減法向量法：三角形法則、平行四邊形法坐標法：若，則；重要結(jié)論：；從幾何圖形的角度理解：取左邊不等號中等號的條件取右邊不等號中等號的條件取左邊不等號中小于號的條件取右邊不等號中小于號的條件異向或其中至少有一個零向量同向或其中至少有一個零向量不能異向不能同向同向或其中至少有一個零向量異向或其中至少有一個零向量不能同向不能異向注意：若將變?yōu)橐容^絕對值的大小，且；若將變?yōu)橐容^的模的大小，且；（3）實數(shù)與向量的積(數(shù)乘)定義：一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：、當時，的方向與的方向相同，當時，的方向與的方向相反

5、。坐標法：若，則；運算律：設(shè)為實數(shù)，為向量：結(jié)合律：；第一分配律：；第二分配律：；（4）平面向量的數(shù)量積數(shù)量積：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫做和 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：；注意：、夾角的范圍：；其中當時；當 時；當時；當兩個向量的夾角是銳角時，它們的數(shù)量積大于0；當兩個向量的夾角是鈍角時，它們的數(shù)量積小于0；零向量與任何向量的數(shù)量積等于0。、投影：叫做向量在方向上的投影。坐標法運算：若，則； 運算律：交換律：；結(jié)合律：；分配律：； 注意：重要性質(zhì)：、設(shè)都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則：；、；、當與同向時，；當與反向時，；特別是：，或、向量的夾角公式：； 、四

6、、定理與公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么該平面內(nèi)任一向量，只有一對實數(shù)，使；我們把不共線的向量和叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（2）兩個向量平行的充要條件：設(shè)，為實數(shù)向量式：；坐標式：；（3）兩個向量垂直的充要條件：設(shè)向量式：；坐標式：；（4）兩點間距離公式：設(shè)，則；如：求函數(shù)的最小值。xOP1PP2y（5）線段的定比分點公式：設(shè)， 向量式：；當時，中點對應(yīng)向量公式；坐標式：中點對應(yīng)向量公式；當時，中點坐標公式；如：已知直線及兩點當與線段相交時求的取值范圍。（還可以從斜率的角度，通過數(shù)形結(jié)合解題）注意：要分清內(nèi)分點和外分點

7、當分點在線段上時，點叫的內(nèi)分點，這時值為；當分點在線段或的延長線時，點叫外分點，值為；點在延長線上時，這時值為；點在延長線上時，這時值為；不能寫成（沒有定義兩向量的除法），有時可寫成；三角形重心公式：其中、為三角形三頂點的坐標。 （6）平移公式：平移：設(shè)是坐標平面上的一個圖形，將上所有點按照同一方向，移動同長度，得到圖形，這個過程就是圖形的平移。平移公式：是圖形的任意一點，按照平移后圖形上的對應(yīng)點為，則；（注：）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步驟：設(shè)平移后圖形的任意一點，把平移公式變形為，代入原解析式中，得到了平移后的解析式。（此法在函數(shù)平移變換和解幾的求軌跡方程中得以充分的體現(xiàn)）五、運用向量證明平面幾何問題：（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用兩個基向量（不共向）來表示；這樣在解題的一開始，設(shè)出兩個不公線的向量，其他所有涉及的向量用這兩個基向量來表示；（2）從要證明的結(jié)論出發(fā)，充分挖掘向量將的幾何關(guān)系：垂直