泰勒公式及應(yīng)用

1、泰勒公式及其應(yīng)用本文論述了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，并著重介紹了它在數(shù)學(xué)分析中的一些應(yīng)用。泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí)，在某些題目中運(yùn)用泰勒公式會(huì)達(dá)到快速解題的目的。本文主要從六個(gè)方面對(duì)泰勒公式進(jìn)行綜合論述利用泰勒公式求極限、證明中值公式、證明不等式、估計(jì)、在方程中的應(yīng)用、在近似計(jì)算的的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泰勒公式 佩亞諾余項(xiàng) 拉格朗日余項(xiàng) 泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒公式及其余項(xiàng)1：泰勒公式對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè) 次多項(xiàng)式，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒(Taylor)多項(xiàng)式,的各項(xiàng)系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。2：泰勒余項(xiàng)定理1：若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有；即其中稱為泰勒公式的余項(xiàng)。形如的

2、余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng)。特殊的當(dāng)時(shí);稱為（帶有佩亞諾型余項(xiàng)的）麥克勞林(Maclaurin)公式。定理2：（泰勒定理） 若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)(a,b)使得其中,稱為拉格朗日型余項(xiàng)。特殊的當(dāng)時(shí); 稱為（帶有拉格朗日型余項(xiàng)的）麥克勞林(Maclaurin)公式。一、 泰勒公式的應(yīng)用1、 利用泰勒公式求極限例1， 求極限解：因而求得例2，設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界，求證：證：要證明，即要證明:,當(dāng)x>時(shí),利用泰勒公式,即記因有界，所以,使得故由知,首先可取.充分小，使得,然后將固定.因,所以,當(dāng)時(shí)從而由式即得例3，設(shè)

3、在內(nèi)是階連續(xù)可微函數(shù)，此外當(dāng)時(shí),有，但是；當(dāng)時(shí),有其中證明：證：我們要設(shè)法從式中解出.為此,我們將式左邊的及右端的在處展開.注意條件,知使得.,于是式變成從而因利用的連續(xù)性,由此可得2、 證明中值公式例4，設(shè)在上三次可導(dǎo),試證:使得證：（待定常數(shù)法）.設(shè)為使下式成立的實(shí)數(shù)這時(shí)，我們的問題歸為證明:使得令則根據(jù)羅爾定理,使得,由式,即:這是關(guān)于的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式:其中，比較，可得式證畢。3、 證明不等式例5，設(shè)有二階導(dǎo)數(shù),試證證：二式相加，并除以,有令取極限得：4、 估計(jì)例6，若在上有二階導(dǎo)數(shù),試證:,使得證：應(yīng)用泰勒公式，將分別在點(diǎn)展開，注意,使得(3)-(2)得,故例7，設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù),時(shí),試證：當(dāng)時(shí),證：所以5、 方程中的應(yīng)用例8，設(shè)在內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程試證：是一次或二次函數(shù)證：?jiǎn)栴}在于證明:，為此將（1）式對(duì)求導(dǎo)，注意與無(wú)關(guān).我們有: (2)從而,令取極限，得若,由此為一次函數(shù);若,(2)式給出此式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，減去;除以,然后令取極限,即得;為二次函數(shù)6