常微分方程初等積分法解法研究(四)常微分方程及積分因子

1、全微分方程全微分方程 與與 積分因子積分因子主講人：張雨萌張雨萌全微分方程全微分方程2引言引言1分項組合法4積分因子積分因子3致謝5分項組合法分項組合法4致謝致謝5引言 之前已經(jīng)介紹了可分離變量方程、可化為分離變量方程、線性方程、伯努利方程四種初等解法，而這四種類型的方程都可以借助其積分因子化為全微分方程。因此，全微分方程是一種更為一般的解法，先看一下上述五種方程之間的關(guān)系：2022-5-145/1/20222022-5-151.定義2.判別3.求解4.例題全微分方程：2022-5-16定義： 對一階微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0;如果存在二元函數(shù)u(x,y),使得：P(x,y

2、)dx+Q(x,y)dydu(x,y)= u/ x*dx+ u/ y*dy則稱此方程為全微分方程，函數(shù)u(x,y)稱為此方程的原函數(shù)，其通解為：u(x,y)=C 。2022-5-17判別：對方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0；設(shè)函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在區(qū)域D：axb,cyd內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) P(x,y)/ y與 Q(x,y)/ x,則上述方程是全微分方程的充分條件為恒等式： P(x,y)/ y= Q(x,y)/ x 在D內(nèi)成立.這時該方程的通解為： P(x,y)dx+Q(x,y)- P(x,y)dx/ ydy=C 或： (x0,y0) D)2022-5-18求解：由關(guān)系

3、式 出發(fā)；首先，將y看成參數(shù)，兩邊對x積分得 這里g(y)是y的任意可微函數(shù)，下面來選擇g(y)，使u同時滿足式 。 因為 所以 （*）2022-5-19求解：現(xiàn)證明上*式右端與x無關(guān)，即右端對x的偏導(dǎo)數(shù)為零，有 在我們的假設(shè)之下，上述交換求導(dǎo)的順序是合理的。于是*式右端只是y的函數(shù)， 2022-5-110求解：對其積分有將上式帶入式 ，即得到 因此，全微分方程的通解是5/1/20222022-5-111求解：當(dāng)然，我們也可以通過定積分來求原方程的解。取定ax0b，將方程 兩邊對x積分得 其中g(shù)(y)為y的任意階可微函數(shù)。為使u 滿足 ，有2022-5-112求解：由參變量積分的性質(zhì)和條件 ，

4、上式可變?yōu)?或 從而有 取定cy0d,將上式兩端積分得2022-5-113求解：因為只需要一個g(y)就夠了，所以取c=0，于是所要求的函數(shù)就是 故原方程通解為 滿足初始條件y(x0)=y0的解為2022-5-114例題：求方程 的通解 解解： ，是全微分方程, 原方程的通解為：2022-5-1151.定義2.判別積分因子3.求積分因子 4.例題積分因子：2022-5-116定義： 對方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0； 如果存在連續(xù)可微的函數(shù) (x,y)0，使得： (x,y)P(x,y)dx+ (x,y)Q(x,y)dy=0 （*）為全微分方程，即存在函數(shù)u(x,y),使： (x,y

5、)P(x,y)dx+ (x,y)Q(x,y)dy=du(x,y) 則稱 (x,y)為上述方程的積分因子；此時 u(x,y)=C是*式的通解，也是微分方程 的解2022-5-117判別： 由定義中的討論可得：u(x,y)為方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的積分因子的充分必要條件為： 即： 2022-5-118求積分因子： 其中 只是x的函數(shù)，若以上條件成立，則可求出原方程的一個積分因子： 同理，原方程只與y有關(guān)的積分因子的 充分必要條件是：2022-5-119例題：求解解： 此方程不為全微分方程，但 只與y有關(guān)。所以我們得到積分因子 給方程兩邊同乘 于是得到：這是一個全微分程，利用全微

6、分方程求解得通解0)2032(22dyyxxydxxPyxQx4yxyxxPPQyx3433yedyy3yy 0)2032(35324dyyyyxdxxycyyyx434257321積分因子yx121x221yx221yx 2xy2022-5-121例題： 求解 解：解：整理得 即 選擇積分因子 ，同乘兩邊 得 ，即 因此通解為 ，即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 為任意常數(shù) 0)1 ()1 (xdyxyydxxy0)()(xdyydxxyxdyydx0)()(22ydyxdxyxxyd221),(yxyxu0)()(2ydyxdxxyxyd0|)|(|)|()1(yIndxIndxyd|1CInyxInxyxyCeyx1分項組合法例題：求微分方程求微分方程解解:將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有原方程的通解為原方程的通解為 .0)1(222的的通通解解 dyyxdxyxx, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(